Inverse Matrix (part 1)

Taking the inverse of a 2x2 matrix

.

لقد تعلمنا عن جمع المصفوفات، طرح المصفوفات

وضرب المصفوفات

وربما كنت تتساءل، هل هذا

يعادل قسمة المصفوفات؟

وقبل البدء في ذلك، دعوني اوضح

بعض المفاهيم لكم

ثم سنرى انه يوجد شيئ ما ربما لا

يعتبر قسمة بالضبط، بل يشابهها

وقبل البدء في ذلك، سأوضح لكم

مفهوم مصفوفة الوحدة

اذاً مصفوفة الوحدة عبارة عن مصفوفة

وسأشير اليها بالرمزL

عندما اضربها بمصفوفة اخرى

--لا اعلم اذا كان يجب ان اكتب تلك النقطة هنا-- لكن على اي حال

عندما اضربها بمصفوفة اخرى

سأحصل على مصفوفة اخرى

او عندما اضرب هذه المصفوفة بمصفوفة الوحدة

سأحصل علىى مصفوفة مرة اخرى

ومن المهم ان تدرك انه عندما تقوم

بضرب المصفوفات، فإن الاتجاه يكون له اهمية

وفي الواقع انا اعطيكم بعض المعلومات هنا والتي

--لا يمكننا ان نفترض اننا نقوم بعملية ضرب عادية

بحيث ان a × b = b × a

من المهم انه عندما نضرب المصفوفات

ان نؤكد على اهمية الاتجاه الذي نتبعه في

عملية الضرب

لكن على اي حال، وهذا ينجح بكلا الطريقتين فقط اذا

كنا نتعامل مع مصفوفات مربعة

يمكن ان تنجح باتجاه واحد او بآخر اذا كانت هذه المصفوفة

غير مربعة، لكن لا تنجح بكلا الطريقتين

ويمكنك ان تفكر في هذا من حيث الكيفية

التي تعلمنا بها ضرب المصفوفات ، لما يحدث هذا؟

لكن على اي حال، سأقوم بتعريف المصفوفة

الآن كيف تبدو هذه المصفوفة؟

انها بسيطة للغاية

اذا كان لدينا مصفوفة 2x2، مصفوفة الوحدة هي 1, 0, 0, 1

اذا اردتم 3x3، فهي 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1

اعتقد انك لاحظت النمط

اذا اردتم 4x4، فمصفوفة الوحدة ستكون 1, 0, 0, 0

0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1

يمكنك ان ترى جميع ذلك، ان اي مصفوفة، لأي

بعد --اعني انه يمكننا ان نمد هذه لمصفوفة n × n--

ان لدينا 1 فقط على طول هذه الاقطار العلوية اليسرى الى السفلية

اليمنى

وكل شيئ آخر هو 0

لقد اخبرتكم بذلك

دعونا نثبت انه ينجح

دعونا نأخذ هذه المصفوفة ونضربها

بمصفوفة اخرى

ونثبت ان تلك المصفوفة لا تتغير

فاذا اخذنا 1, 0, 0, 1

دعونا نضربها بـ --دعونا نضع مصفوفة عامة

حتى ترون ان هذا ينجح لجميع الاعداد

a, b, c, d

.

كم يساوي هذا؟

1 ×

سنضرب هذا الصف بهذا العامود

1 × a + 0 × c يساوي a

وذلك الصف × هذا العامود

1 × b + 0 × d

يساوي b

ثم هذا الصف × هذا العامود

0 × a + 1 × c يساوي c

ثم اخيراً، هذا الصف × هذا العامود

0 × b + 1 × d

حسناً، هذا يساوي d

لقد حصلنا عليها

وربما يكون تمرين ممتع لتحاولوا حله

بالطريقة الاخرى كذلك

ومن الافضل ان تجربوه ايضاً

مع 3x3

وسترى ان جميعها ستنجح

والتمرين الجيد لكم هو ان تفكروا في سبب نجاحها

واذا فكرتم به، فهو بسبب حصولكم على

معلومات الصف من هنا

ومعلومات العامود من هنا

وفي اي وقت تضربون به، دعونا نفترض

هذا المتجه × هذا المتجه، تضربون

العبارات المتماثلة ومن ثم تجمعوهم، اليس كذلك؟

فاذا كان لديكم 1 و 0، الـ 0 سسيتم حذفه

اي شيئ ما عدا العبارة الاولى في متجه العامود هذا

ولهذا السبب يتبقى لدينا a

ولهذا السبب يتم حذف كل شيئ ما عدا

العبارة الاولى في متجه هذا العامود

ولهذا السبب يتبقى لدينا b

وبشكل مشابه، هذا سيحذف كل شيئ ما عدا

العبارة الثانية

ولهذا السبب يتبقى لدينا c

هذا × هذا

يتبقى لدينا c

هذا × هذا

ويتبقى لدينا d

ويتم تطبيق الشيئ نفسه عندما تنتقلون الى

متجهات 3x3 او n × n

هذا مثير للاهتمام

لدينا متجه الوحدة

الآن اذا اردنا ان نكمل التشابه

--دعونا نفكر بهذا

نحن نعلم في الرياضيات العادية، اذا كان لدينا 1 ×

a، سنحصل على a

ونعلم ايضاً ان 1/a × a --هذا مجرد

رياضيات عادية، لا علاقة له بالمصفوفات-- = 1

وتعلمون، اننا نسمي هذا بمعكوس a

وهذا ايضاً يعادل القسمة على العدد a

اذاً هل يوجد تشابه مصفوفة؟

دعوني اغير الالوان، لأنني قد استخدمت هذا اللون الاخضر

لمرات عديدة--

هل هناك مصفوفة، حيث اذا اردت الحصول على المصفوفة a، و

ضربتها بهذه المصفوفة --سأسمي هذا بمعكوس

a-- هل هناك مصفوفة يكون ناتجها، ليس العدد

1، بل سأحصل منها على 1 يعادل

الموجود في عالم المصفوفات؟

حيث احصل على مصفوفة الوحدة؟

وسيكون من الجيد ايضاً اذا كان بامكاني ان اقلب

عميلة الضرب هذه

اذاً A × معكوس A يجب ايضاً ان يساوي

مصفوفة الوحدة

واذا فكرتم بهذا، اذا كانت كل هذه الاشياء صحيحة

بالتالي ليست معكوس A فقط سيكون معكوس A، بل

A ايضاً سيكون معكوس معكوس A

اذاً هما معكوس بعضهما البعض

هذا هو كل ما قصدت قوله

ويتبين ان هذه مصفوفة

تسمى بمعكوس A ، كما

قلت 3 × فعلياً

والآن سأريكم كيفية حسابها

دعونا نفعل ذلك اذاً

وسنرى ان حساب 2x2 يكون

مباشراً جداً

رغم انكم ربما كنتم تفكرون بانه غامض بعض الشيئ كما في كيفية

حصول الاشخاص على ميكانيكياتها، او

لوغاريتمها

3x3 تصبح متشعبة

4x4 ستتطلب منكم يوماً كاملاً

5x5، سترتكب اخطاء عن غير قصد بلا شك

اذا كنت تجد معكوس مضفوفة 5x5

ومن الافضل ترك هذا للحاسوب

لكن على اي حال، كيف نحسب المصفوفة؟

دعونا نفعل ذلك، ومن ثم سنثبت انه

المعكوس

اذا كان لدي المصفوفة A، وهي a, b, c, d

واريد ان احسب معكوسها

في الواقع ان معكوسها --وهذا

يبدو وكأنه شعوذة--

في العروض المقبلة، سأعطيكم مزيداً من

البداهة عن سبب نجاحها، او في الواقع سأوضح لكم كيف

اتى

لكن الآن من الافضل ان نحفظ الخطوات

حتى تكونوا واثقسن من انكم تعلمون انه

يمكنكم حساب المعكوس

انه يساوي 1 / هذا العدد × هذا، a × d

- b × c

ad - bc

وهذه الكمية الموجودة في الاسفل، اي ad - bc، تسمى

محدد المصفوفة A

وسنقوم بضرب هذا

انه مجرد عدد

هذه كمية متدرجة

وسنقوم بضرب ذلك بـ --نبدل

الـ a و الـ d

نبدل اعلى اليسار واسفل اليمين

فيتبقى لدينا d و a

وتجعل هذان، اي تجعل اسفل اليسار و

اعلى اليمين، تجعلهم سالبان

اذاً - c - b

والمحدد --مرة اخرى، هذا شيئ

ستأخذه ببعض من الثقة التامة الآن

في العروض المقبلة، اعدكم بأني سأعطيكم بداهة اكثر

لكنه من التمرس نوعاص ما ان تتعلموا ما

هو المحدد

واذا فعلتم هذا في المدرسة الثانوية

فعليكم ان تعرفوا كيفية حسابه

رغم اني لا احب ان اقول ذلك لكم

ما هذا اذاً؟

هذا ايضاً يسمى بمحدد A

ربما ستواجه في الامتحان، اوجد

محدد A

دعوني اقول لكم ذلك

وهذا يرمز له بـ |A| هذا بين رمز القيمة المطلقة

وهذا يساوي ad - bc

ولقول ذلك بطريقة اخرى، فإن هذا يمكن ان يكون 1/

المحدد

اذاً يمكنكم ان تكتبوا ان معكوس A = 1/

محدد A مضروباً بـ d - b - c, a

على اي حال تنظر اليها

لكن دعونا نطبق هذا على مسألة حقيقية، وسترون انه

ليس بهذا السوء

اذاً دعونا نغير الاحرف، حتى تعرفون انها ليست دائماً

يجب ان تكون A

لنفترض ان لدي المصفوفة B

والمصفوفة B هي 3 --سأختار

اعداد عشوائية-- -4، 2، -5

دعونا نحسب معكوس B

معكوس B = 1 /

محدد B

ما هو المحدد؟

انه 3 × -5 - 2 × -4

3 × -5 = -15، - 2 × -4

2 × -4 = -8

سنقوم بطرح ذلك

اذاً + 8

+ 8

وسنقوم بضرب ذلك بماذا؟

حسناً، نبدل هاتان العبارتان. اذاً -5 و 3

ونجعل هاتان العبارتان سالبتان

-2 و 4

4 كانت -4، فتصبح الآن 4

ودعونا نرى اذا كان يمكننا ان نبسط هذا قليلاً

معكوس B = -15 + 8

تلك -7

اذاً هذا -1/7

اذاً محدد B --يمكننا ان نكتب محدد B--

= -7

وهذه -1/7 × - 5،4 - 2،3

ما يساوي --هذا مجرد تدرج، هذا مجرد

عدد، اذاً نضربه بكل واحد من العناصر

فيكون الناتج -، -، +

5/7

5/7 - 4/7

دعونا نرى

موجب 2/7

2/7

ثم -3/7

-3/7

انها متشعبة قليلاً

حصلنا على كسور هنا واشياء اخرى

لكن دعونا نثبت ان هذا هو معكوس

المصفوفة B

دعونا نضربهم

وقبل ان افعل ذلك علي ان اصنع مساحة

سأترك مساحة فارغة هنا

لن احتاج لهذا بعد الآن

.

هيا بنا

حسناً

دعونا نثبت ان ذلك × هذا، او هذا ×

ذلك، يساوي مصفوفة الوحدة

لنفعل ذلك

دعوني اغير الالوان

اذاً معكوس B هو 5/7، هذا اذا لم ارتكب

اي خطأ غير مقصود

-4/7

2/7

و -3/7

هذا هو معكوس B

ودعوني اضرب ذلك بـ B

3 - 4

2 - 5

وهذا سيكون ناتج المصفوفة

احتاج بعض المساحة حتى اقوم بالحسابات

دعونا نرى

دعوني اغير الالوان

سآخذ هذا الصف × هذا العامود

اي 5/7 × 3، كم يساوي؟

15/7

+ - 4/7 × 2

-4/7 × 2 = - --دعوني اتأكد من ان

هذا صحيح-- 5 × 3 = 15/7

-4 --اوه صحيح، صحيح-- 4×2، اذاً -8/7

-8/7

الآن سنضرب هذا الصف بهذا العامود

اي 5 × -4 = -20/7

+ - 4/7 × -5

ذلك + 20/7

بدأت اتأنى، علي ان احل ضرب المصفوفة

بكسور سالبة

لكن هذا تمرين جيد لعدة

اجزاء من الدماغ

لكن على اي حال

دعونا ننزل ونحل هذه العبارة

الآن سنضرب هذا الصف بهذا العامود

اي 2/7 × 3 = 6/7

+ -3/7 × 2

= -6/7

تبقى عبارة واحدة

اقتربنا

2/7 × -4 = -8/7

-8/7، اخذت 2/7 وضربته بـ -4 فكان الناتج -8/7

+ -3/7 × -5

اذاً يتم حذف الاشارات السالبة، ويتبقى لدينا موجب 15/7

واذا بسطنا، على ماذا سنحصل؟

15/7 - 8/8 = 7/7

حسناً، هذا يساوي 1

وهذا بكل وضوح 0

هذا 0

6/7 - 6/7 = 0

ثم -8/7 + 15/7 = 7/7

هذا 1 مرة اخرى

وحصلنا عليها

لقد سعينا لعكس هذه المصفوفة

وكان في الواقع اثباتها اصعب عندما قمنا

بضرب المعكوس، ولانه علينا ان نقوم بحساب جميع هذه الكسور

والاعداد السالبة

لكن اتمنى ان هذا ارضاكم

وبمكنكم ان تحاولوا حل ذلك بالطريقة الاخرى حتى تثبتوا انه اذا

ضربتم باستخدام الطريقة الاخرى، ستحصلون ايضاً على

مصفوفة الوحدة

لكن على اي حال، هكذا تحسبون

معكوس الـ 2x2

وكما سنرى في العرض التالي، حساب

معكوس مصفوفة 3x3 سيكون ممتعاً اكثر

اراكم قريباً

.