-
...
-
Ons het geleer van optel van matrikse, aftrek van matrikse,
-
matriks vermenigvuldiging.
-
So jy wonder dalk, is daar die
-
gelykstaande aan matriks deling?
-
En voor ons daar uitkom, laat ek 'n paar
-
konsepte aan jou verduidelik.
-
En dan sal ons sien daar is iets wat dalk nie
-
presies deling is nie, maar dit is gelyksoortig daar aan.
-
So voor dat ons dit voorstel, Gaan ek jou voorstel aan
-
die konsep van 'n identiteitsmatriks.
-
So 'n identiteitsmatriks is 'n matriks.
-
En ek sal dit voorstel met 'n hoofletter I.
-
Wanneer ek dit maal met 'n ander matriks-- eintlik weet
-
ek nie of ek hierdie punt hier moet sit nie-- maar in elk geval,
-
wanneer ek maal met 'n ander matriks
-
kry ek daardie ander matriks.
-
Of wanneer ek daardie matriks maal met die identiteitsmatriks,
-
kry ek die matriks weer.
-
En dit is belangrik om agter te kom wanneer ons matriks
-
vermenigvuldiging doen, dat rigting saak maak.
-
Ekt eintlik hier inligting gegee wat--ons
-
kan nie net aanneem dat wanneer ons gewone matriks vermenigvuldiging doen
-
dat a maal b is gelyk aan b maal a nie.
-
Dit is belangrik wanneer ons matriks vermenigvuldiging doen,
-
om te bevestig dat dit saak maak in watse rigting
-
jy maal.
-
Maar in elk geval, en hierdie werk altwee kante toe net as ons
-
werk met vierkantige matrikse.
-
dit kan werk in een rigting, of die ander as die matriks
-
nie vierkantig is, maar nie in altwee nie.
-
En jy kan dink hiervan op dieselfde manier as waarin
-
ons matriks vermenigvuldiging gedoen het, hoekom dit gebeur.
-
maar in elk geval, ek het hierdie matriks gedefinieer.
-
Nou hoe lyk hierdie matriks eintlik?
-
Dit is eintlik redelik maklik.
-
As ons 'n 2 by 2 matriks het, die identiteitsmatriks is 1, 0, 0, 1.
-
As jy 3 by 3 wil he, is dit 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1.
-
Ek dink jy sien die patroon.
-
As jy 'n 4 by 4 wil he, is die identiteitsmatriks 1, 0, 0, 0
-
0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1.
-
So jy kan sien al wat enige matriks is, vir enige gegewe
-
dimensie-- Ek bedoel ons kan hierdie uitbrei tot enige n by n
-
matriks-- is jy het net 1'e op die linker boonste tot
-
regter onderste diagonaal.
-
En alles anders is 0.
-
So ekt dit vir jou vertel.
-
Laat ons bewys dit werk rerig.
-
Kom ons vat hierdie matriks en maal dit
-
met 'n ander matriks.
-
En bevestig dat daardie matriks nie verander nie.
-
so as ons 1, 0, 0, 1 vat.
-
Kom ons maal dit met-- kom ons doen 'n algemene matriks.
-
net sodat jy kan sien dit werk vir alle getalle.
-
a, b, c, d.
-
...
-
So dit is gelyk aan wat?
-
...
-
Ons gaan hierdie ry maal met hierdie kolom.
-
1 maal a plus 0 maal c is a.
-
En daardie ry maal hierdie kolom.
-
1 maal b plus 0 maal d.
-
dit is b.
-
Dan hierdie ry maal hierdie kolom.
-
0 maal a plus 1 maal c is c.
-
Dan uiteindelik, hierdie ry maal hierdie kolom.
-
0 maal b plus 1 maal d.
-
wel, dit is slegs d.
-
Daar het jy dit.
-
En dit kan dalk 'n lekker oefening wees om dit
-
anders om te probeer.
-
En eintlik is dit selfs beter om dit te doen
-
met 'n 3 by 3.
-
En jy sal sien dit werk alles uit.
-
En 'n goeie oefening is vir jou om te ding oor hoekom dit werk.
-
En as jy dink daaroor, is dit omdat jy die
-
ry inligting kry van hier af, en jou kolom
-
inligting van hier af.
-
En basies, wanneer ookal jy maal, kom on se
-
hierdie vektor maal met hierdie vektor, maal jy die
-
ooreenstemmende terme en plus hulle dan, ne?
-
So as jy 'n 1 en 'n 0 het, die 0 gaan enigeiets
-
behalwe die eerste term in die kolom vektor uit kanselleer.
-
So dit was hoekom jy gelos word met net a.
-
En dit is hoekom dit alles gaan uit kanselleer behalwe die
-
eerste term in die kolom vektor.
-
En dit is hoekom net die b oorbly.
-
En ook, dit sal alles behalwe die
-
tweede term uit kanselleer.
-
Dit is hoekom jy net c hier oor het.
-
Hierdie maal hierdie.
-
Los jou met net c.
-
hierdie maal hierdie.
-
Los jou met net d.
-
En dieselfde geld ook wanneer jy 'n
-
3 by 3 of, 'n n by n vektore gebruik.
-
So dit is interessant.
-
Jy het die identiteitsvektor.
-
Nou as ons ons vergelyking wil klaar maak-- so
-
kom ons dink daaroor.
-
Wel ons weet in gewone wiskunde, as ons 'n 1 maal
-
a, kry mens a.
-
En ons weet ook dat 1 gedeel deur a-- dit is nou net gewone
-
wiskunde, dit het niks met matrikse te doen nie-- i gelyk aan 1.
-
En jy weet, ons noem hierdie die inverse van a.
-
En dit is dieselfde ding as om te deel met die nommer a.
-
So is daar 'n matriks ekwivalent?
-
Laat ek gou kleure verander, want ekt hierdie kleur al bietjie
-
te veel gebruik.
-
Is daar 'n matriks, waar as ek sou matriks a gehad het,
-
en ek maal dit met hierdie matriks-- en ek sal dit die
-
inverse van a noem-- is daar 'n matriks waar ek gelos word met, nie die nommer
-
1 nie, maar met die 1 ekwivalent
-
in die matriks wereld?
-
waar ek gelos word met die identiteitsmatriks?
-
En dit sal ekstra lekker wees as ek selfs hierdie
-
vermenigvuldiging kon rond skuif.
-
So A maal A inverse behoort gelyk te wees aan
-
die identiteitsmatriks.
-
En as jy daaroor dink, as altwee hierdie goed waar is,
-
dan is A inverse nie net die inverse van A nie, maar
-
A is ook die inverse van A inverse.
-
So hulle is mekaar se inverses.
-
Dit is al wat ek bedoel het om te se.
-
En toevallig is daar net so 'n matriks.
-
Dit word die inverse van A, soos
-
wat ek al 3 keer gese het
-
En nou sal ek jou wys hoe om dit uit te werk.
-
So kom ons doen dit.
-
En ons sal sien dat om dit vir 'n 2 by 2 uit te werk is redelik
-
voor die hand liggend.
-
Alhoewel jy dalk sal dink dat dit vreemd is hoe
-
mense die meganika agter dit uitgedink het, of die
-
algoritme vir dit.
-
3 by 3 word harig.
-
4 by 4 sal jou heel dag vat.
-
5 by 5, jy gaan amper definitief 'n nalatige fout maak
-
as jy die inverse van 'n 5 by 5 matriks.
-
En did is beter om dit te los vir 'n rekenaar.
-
Maar in elk geval, hoe werk ons die matriks uit?
-
So kom ons doen dit, en dan sal ons vasstel dat dit
-
die inverse is.
-
So as ek die matriks A het, en dit is a, b, c, d.
-
En ek sy inverse kry.
-
Die inverse is eintlik-- en hierdie gaan
-
lyk soos voodoo.
-
In toekomstige videos, ek sal vir jou 'n bietjie meer
-
intuïsie gee vir hoekom dit werk, of ek sal eintlik vir jou wys hoe
-
die tot bestaan gekom het.
-
Maar vir nou is dit amper beter om net die stappe te memoriseer,
-
net sodat jy die selfvertroue het dat jy weet dat
-
jy kan 'n inverse uitwerk.
-
Dit is gelyk aan 1 oor hierdie nommer maal hierdie. a maal d
-
minus b maal c.
-
ad minus bc.
-
En hierdie hoeveelheid hier onder, ad minus bc, dit noem ons
-
die determinant van die matriks A.
-
En ons gaan daardie maal.
-
Hierdie is net 'n nommer.
-
Hierdie in net 'n skalaar hoeveelheid.
-
En ons gaan dit maal met-- jy ruil
-
die a en die d.
-
Jy ruil die linker boonste en die regter onderste terms.
-
So jy het d en a oor.
-
En jy maak hierdie 2, jy maak die linker onderste en die
-
regter boonste, jy maak hulle negatief.
-
So minus c minus b.
-
En die determinant-- weereens hierdie is net iets
-
wat jy op geloof gaan moet vat vir nou.
-
In toekomstige videos belowe ek om jou meer intuïsie te gee.
-
Maar dit is redelik gesofistikeerd om te leer wat
-
die determinant is.
-
En as jy hierdie doen in jou hoerskool klas, jy hoef
-
eintlik net te weet hoe om dit uit te werk.
-
Alhoewel ek nie daarvan hou om dit vir jou te se nie.
-
So wat is hierdie?
-
Hierdie word ook die determinant van A genoem.
-
So jy sal dalk in die eksamen iets sien soos, werk uit wat
-
die determinant van A is.
-
So laat ek jou net dit vertel.
-
En dit word voorgestel deur A in absolute waarde tekens.
-
en dit is gelyk aan ad minus bc.
-
So 'n ander manier om dit te se, hierdie kan wees 1 gedeel deur
-
die determinant.
-
So jy kan se A inverse is gelyk aan 1 gedeel met
-
determinant van A maal d minus b minus c, a.
-
enige manier wat jy daarna kyk.
-
Maar kom ons gebruik hierdie op 'n regte probleem, en jy sal sien dat
-
dit nie eintlik so erg is nie.
-
So kom ons verander die letters, net sodat jy weet dit hoef nie
-
altyd A te wees nie
-
Kom ons se ek het 'n matriks B.
-
En die matriks B is 3-- ek gaan net ewekansige getalle
-
gebruik-- minus 4, 2 minus 5.
-
Kom ons werk B se inverse uit.
-
So B inverse gaan 1 gedeel met
-
die determinant van B.
-
Wat is die determinant?
-
Dit is 3 maal -5 minus 2 maal -4.
-
So 3 maal -5 is -15, -2 maal -4..
-
2 maal -4 is -8.
-
Ons gaan dit aftrek.
-
So dit is plus 8.
-
...
-
En ons gaan dit maal met wat?
-
Wel, ons het hierdie twee terme om geruil. So dit is -5 en 3.
-
En ons maak hierdie 2 terme negatief.
-
-2 en 4.
-
4 was -4, so nou word dit 4.
-
En kom ons sien of ons dit kan vereenvoudig.
-
So B inverse is gelyk aan -15 plus 8.
-
Dit is -7
-
So hierdie is 1 gedeel met 7.
-
So die determinant van B-- ons kan skryf B se determinant--
-
is gelyk aan -7.
-
So dit is -1/7 maal -5, 4, -2, 3.
-
Wat gelyk is aan-- hierdie is net 'n skalaar, dit is net 'n
-
nommer, so ons kan dit maal met elke element--
-
So dit is gelyk aan minus, minus, plus.
-
Dit is 5/7.
-
5/7 minus 4/7.
-
Kom ons sien
-
posetief 2/7.
-
...
-
En dan -3/7.
-
...
-
Dit is 'n bietjie harig.
-
Ons het op geeindig met breuke en sulke goed hier.
-
Maar laat ons vasstel dat hierdie rerig die inverse is
-
van die matriks B.
-
kom ons maal hulle uit.
-
So voordat ek dit doen moet ek eers plek maak.
-
...
-
Ek kort hierdie nie eers meer nie.
-
...
-
Daar het jy dit.
-
OK.
-
So kom ons bevestig dat daardie maal hierdie, of hierdie maal
-
daardie, is rerig gelyk aan die identiteitsmatriks.
-
SO kom ons doen dit.
-
So laat ek kleure verander.
-
So B inverse is 5/7, as ek nie
-
enige nalatige foute gemaak het nie.
-
-4/7
-
2/7.
-
en -3/7.
-
Dit is B inverse.
-
En laat ek daai maal met B.
-
3 minus 4.
-
2 minus 5.
-
En hierdie gaan die produk matriks wees.
-
Ek kort so bietjie plek om my wiskunde te doen.
-
...
-
Laat ek kleure verander.
-
Ek gaan hierdie ry maal met hierdie kolom.
-
So 5/7 maal 3 is wat?
-
15/7.
-
Plus -4/7 maal 2.
-
So -4/7 maal 2 is minus-- laat ek seker maak
-
dit is reg-- 5 maal 3 is 15/7.
-
-4 -- O ja, reg --4 maal 2, so -8/7.
-
...
-
Nou gaan ons hierdie ry maal met hierdie kolom.
-
So 5 maal -4 is 20/7.
-
Plus -4/7 maal -5.
-
Dit is plus 20/7.
-
My brein begin stadiger word, Om matriks
-
vermenigvuldiging te doen met breuke en negatiewe getalle.
-
Maar hierdie is 'n goeie oefening vir baie
-
dele van die brein.
-
maar in elk geval.
-
So laat ons afgaan, en hierdie term doen.
-
So nou gaan ons hierdie ry maal met hierdie kolom
-
so 2/7 maal 3 is 6/7.
-
plus -3/7 maal 2.
-
So dit is -6/7.
-
Een term oor.
-
Laaste deel.
-
2/7 maal -4 is -8/7.
-
...
-
plus -3/7 maal -5.
-
So daardie minusse kanselleer uit, en ons het 15/7 oor.
-
En as ons vereenvoudig, wat kry ons?
-
15/7 -8/8 is 7/7.
-
Wel dit is 1.
-
Hierdie is duidelik 0.
-
Hierdie is 0.
-
6/7 minus 6/7 is 0/
-
En dan -8/7 plus 15/7 dit is 7/7.
-
Dit is weer 1.
-
En daar het jy dit.
-
Ons het dit reg gekry om die inverse matriks te kry.
-
En dit was moeiliker om te bewys dat dit die inverse was
-
deur vermenigvuldiging, net want ons moes dit doen met al die breuke,
-
en negatiewe getalle.
-
Maar hopenlik is dit goed genoeg vir julle.
-
En as jy andersom kan probeer om te verseker dat
-
as jy dit andersom maal dat jy ook
-
die identiteitsmatriks kry.
-
Maar in elk geval, dit is hoe jy die inverse
-
van 'n 2 by 2 uitwerk.
-
En soos ons sal sien in die volgende video, om die
-
inverse van 'n 3 by 3 te doen is nog lekkerder.
-
Sien jou binnekort.
-
...
