Magija Fibonačijevih brojeva

Matematika je logična, funkcionalna i jednostavno... sjajna. Matemagičar Artur Bendžamin istražuje skrivena svojstva čudnog i predivnog skupa brojeva, Fibonačijevog niza. (I podseća vas da matematika može i da nadahnjuje!)

Zašto učimo matematiku?

U suštini, iz tri razloga:

računanje,

primena

i poslednje i nažalost najmanje bitno,

što se tiče vremena
koje mu posvećujemo,

nadahnuće.

Matematika je nauka o šablonima

i proučavamo je kako bismo saznali
kako da mislimo logički,

kritički i kreativno,

ali previše matematike
koju učimo u školama

nije valjano motivisano

i kada naši učenici pitaju:

"Zašto učimo ovo?",

često čuju da će im to
biti potrebno

na nekom budućem testu
ili času matematike.

Ali zar ne bi bilo sjajno

kad bismo se, s vremena na vreme,
bavili matematikom

jednostavno jer je zabavna ili predivna

ili zato što je uzbudljiva za um?

Znam da dosta ljudi nije imalo

priliku da vidi kako ovo
može da se desi,

zato hajde da vam dam brz primer

sa mojim omiljenim skupom brojeva,

Fibonačijevim brojevima.
(Aplauz)

Da! Ovde već imam
Fibonačijeve fanove.

To je sjajno.

Ove brojeve možete razumeti

na mnogo različitih načina.

Sa stanovišta računanja,

jednako ih je lako razumeti

kao 1 + 1, što je 2.

1 + 2 je onda 3,

2 + 3 je 5,
3 + 5 je 8,

i tako dalje.

Zaista, osoba koju nazivamo Fibonači

se zapravo zvala Leonardo od Pize

i ovi brojevi se pojavljuju
u njegovoj knjizi "Liber Abaci",

koja je Zapadni svet naučila

aritmetičkim metodama
koje danas koristimo.

Što se tiče primene,

Fibonačijevi brojevi se u prirodi

pojavljuju iznenađujuće često.

Broj latica na cvetu

je tipično Fibonačijev broj,

ili broj spirala na suncokretu

ili ananasu,

to su takođe uglavnom
Fibonačijevi brojevi.

Zapravo postoji još dosta
primena Fibonačijevih brojeva,

ali ono što je za mene najinspirativnije
u vezi sa njima

su predivni šabloni brojeva
koje oni prikazuju.

Dozvolite da vam pokažem
jedan od meni omiljenih.

Recimo da volite da kvadrirate brojeve,

a iskreno, ko to ne voli?
(Smeh)

Hajde da pogledamo kvadrate

prvih nekoliko Fibonačijevih brojeva.

1 na kvadrat je 1,

2 na kvadrat je 4.
3 na kvadrat je 9,

5 na kvadrat je 25,
i tako dalje.

Ne iznenađuje činjenica

da kada dodate uzastopne
Fibonačijeve brojeve,

dobijate sledeći Fibonačijev broj.
Zar ne?

Tako oni nastaju.

Ali ne biste očekivali da se desi
ništa posebno

kada saberete kvadratne vrednosti.

Ali pogledajte ovo.

1 + 1 nam daje 2,

i 1 + 4 daje 5.

4 + 9 je 13,

9 + 25 je 34,

i da, šablon se nastavlja.

Zapravo, evo još jednog.

Recimo da želite da pogledate

sabiranje kvadratnih vrednosti
prvih nekoliko Fibonačijevih brojeva.

Da vidimo šta tu dobijamo.

1 + 1 + 4 je 6.

Tome dodajte 9, to je 15.

Dodajte 25, to je 40.

Dodajte 64 i to je 104.

Sada pogledajte te brojke.

To nisu Fibonačijevi brojevi,

ali ako ih pogledate pažljivo,

videćete Fibonačijeve brojeve

sakrivene unutar njih.

Vidite li ih? Pokazaću vam.

6 je 2 puta 3, 15 je 3 puta 5,

40 je 5 puta 8,

2, 3, 5, 8.
Kome odajemo priznanje?

(Smeh)

Fibonačiju! Naravno.

Koliko god da je zabavno
otkrivati ove šablone,

još je veće zadovoljstvo razumeti

zašto su tačni.

Hajde da pogledamo
poslednju jednačinu.

Zašto bi kvadratne vrednosti
brojeva 1, 1, 2, 3, 5 i 8

sabrane, dale 8 puta 13?

Pokazaću vam uz pomoć
jednostavnog crteža.

Počećemo sa kvadratom
dimenzija 1x1

i pored ćemo dodati
još jedan kvadrat dimenzija 1x1.

Zajedno daju pravougaonik
dimenzija 1x2.

Ispod toga, dodaću kvadrat
dimenzija 2x2,

a pored toga,
kvadrat dimenzija 3x3,

ispod toga, kvadrat dimenzija 5x5

i onda kvadrat dimenzija 8x8,

stvarajući jedan
ogromni pravougaonik, zar ne?

Dozvolite da vam postavim
jednostavno pitanje:

koja je površina pravouganika?

Sa jedne strane,

to je zbir površina

kvadrata unutar njega, zar ne?

Baš kao što smo ga napravili.

To je 1 na kvadrat + 1 na kvadrat

+ 2 na kvadrat + 3 na kvadrat

+ 5 na kvadrat + 8 na kvadrat.
Zar ne?

To je površina.

Sa druge strane, zbog toga
što je to pravougonik,

površinu dobijemo kada pomnožimo
visinu i osnovu,

a visina je očigledno 8

dok je osnova 5 + 8,

što je sledeći Fibonačijev broj, 13.
Zar ne?

Površina je takođe 8 puta 13.

Pošto smo tačno izračunali površinu

na dva različita načina,

to mora da bude isti broj

i zbog toga kvadradne vrednosti
brojeva 1, 1, 2, 3, 5 i 8

sabrane daju 8 puta 13.

Ako nastavimo ovaj proces

dobićemo pravouganike formata 13x21,

21x34 i tako dalje.

Pogledajte sada ovo.

Ako podelite 13 sa 8

dobijate 1,625.

A ako veći broj podelite manjim brojem,

ove srazmere se sve više približavaju

vrednosti oko 1,618,

što je mnogima poznato
kao Zlatni presek,

broj koji vekovima fascinira

matematičare, naučnike i umetnike.

Ovo sve vam pokazujem zato što,

baš kao u dobrom delu matematike,

postoji prelepa strana toga

za koju se bojim
da ne dobija dovoljno pažnje

u našim školama.

Puno vremena provodimo
učeći o računanju,

ali ne zaboravimo na primenu,

uključujući možda i
najbitniju primenu od svih,

učenje kako se misli.

Kada bih ovo mogao da sažmem
u jednu rečenicu,

to bi bilo sledeće:

matematika ne znači samo
pronaći vrednost x,

već takođe i otkriti zašto.

Hvala vam mnogo.

(Aplauz)