Čarobnost Fibonaccijevih števil

Matematika je logična, uporabna in preprosto ... krasna. Matemag Arthur Benjamin raziskuje skrite lastnosti čudnega in čudovitega niza števil, ki se imenuje Fibonaccijevo zaporedje. (In nas opomni, da je tudi matematika lahko vir navdiha!)

Torej, zakaj se učimo matematike?

V glavnem imamo tri razloge:

računanje

uporaba

in na koncu še razlog,
ki je žal daleč zadaj,

kar se tiče časa, ki mu ga namenimo,

navdih.

Matematika je znanost vzorcev

in učimo se je, da se naučimo
razmišljati logično,

kritično in ustvarjalno.

Ampak prevečkrat za matematiko,
ki jo učijo v šoli,

ni učinkovite motivacije

in ko nas učenci vprašajo:

"Zakaj se to učimo?"

pogosto slišijo,
da bodo znanje potrebovali

pri pouku matematike
ali pri naslednjem testu.

Ampak, ali ne bi bilo krasno,

če bi kdaj pa kdaj uporabljali matematiko

preprosto zato, ker je zabavna ali lepa

ali pa ker spodbuja razmišljanje?

Veliko ljudi ni imelo priložnosti,

da bi videli, kako se to lahko zgodi,

zato vam bom na hitro pokazal primer

s svojo najljubšo zbirko številk,

Fibonaccijevimi števili. (Aplavz)

To! Tu je nekaj
Fibonaccijevih oboževalcev.

Odlično.

Torej, ta števila so krasna

na veliko različnih načinov.

Z vidika računanja

so tako lahko razumljiva

kot ena plus ena, kar je dva.

Potem imamo ena plus dva je tri,

dva plus tri je pet, tri plus pet je osem

in tako naprej.

V resnici se je oseba,
ki ji pravimo Fibonacci,

imenovala Leonardo Pisano

in ta števila so zapisana
v njegovi knjigi "Liber Abaci",

ki je zahodni svet naučila

aritmetičnih metod,
ki jih uporabljamo danes.

Kar se tiče uporabe,

se Fibonaccijeva števila
v naravi pojavljajo

presenetljivo pogosto.

Število cvetnih listov na roži

je ponavadi Fibonaccijevo število,

pa tudi število spiral na sončnici

ali ananasu

je pogosto Fibonaccijevo število.

Pravzaprav je možnosti uporabe
Fibonaccijevih števil veliko več,

a sam mislim, da so pri njih
najbolj navdušujoči

lepi številski vzorci, ki jih ustvarjajo.

Pokazal vam bom enega
od svojih najljubših.

Recimo, da radi kvadrirate števila,

konec koncev, kdo jih pa ne? (Smeh)

Poglejmo kvadrate

prvih nekaj Fibonaccijevih števil.

Torej, ena na kvadrat je ena,

dva na kvadrat je štiri,
tri na kvadrat je devet,

pet na kvadrat je 25 in tako naprej.

No, ni prav presenetljivo,

da, ko seštejemo
zaporedna Fibonaccijeva števila,

dobimo naslednje
Fibonaccijevo število. Drži?

Tako nastanejo.

Ne bi pa pričakovali, da se zgodi

kaj posebnega,
ko seštejemo njihove kvadrate.

Pa poglejte zdaj tole.

Ena plus ena je dva

in ena plus štiri je pet.

In štiri plus devet je 13,

devet plus 25 je 34,

in ja, vzorec se nadaljuje.

V bistvu imamo še en vzorec.

Recimo, da bi hoteli pogledati

seštevek kvadratov
prvih nekaj Fibonaccijevih števil.

Pa poglejmo, kaj dobimo.

Torej, ena plus ena plus štiri je šest.

Dodajmo še devet in dobimo 15.

Dodamo 25 in dobimo 40.

Dodamo 64, dobimo 104.

Zdaj pa poglejmo ta števila.

To niso Fibonaccijeva števila,

ampak, če jih pogledate od blizu,

boste videli, da se Fibonaccijeva števila

skrivajo v njih.

Jih vidite? Vam bom pokazal.

Šest je dva krat tri, 15 je tri krat pet,

40 je pet krat osem,

dva, tri, pet, osem, koga občudujemo?

(Smeh)

Fibonaccija! Jasno.

Zelo zabavno je odkrivati vzorce,

a v še večje zadovoljstvo je razumeti

zakaj držijo.

Poglejmo zadnjo enačbo.

Zakaj mora seštevek kvadratov od
ena, ena, dva, tri, pet in osem

znašati osem krat 13?

To vam bom pokazal s preprosto sliko.

Začeli bomo s kvadratom ena krat ena

in zraven njega narisali
še en kvadrat ena krat ena.

Skupaj sestavljata
pravokotnik ena krat dva.

Pod njega bom narisal
kvadrat dva krat dva,

zraven njega pa kvadrat tri krat tri,

pod njega kvadrat pet krat pet

in nato kvadrat osem krat osem,

in tako sem sestavil ogromen pravokotnik.

Zdaj vam bom postavil preprosto vprašanje:

Kolikšna je ploščina pravokotnika?

No, po svoje

je vsota ploščin

vseh kvadratov v njem, drži?

Kot smo ga naredili.

Ena na kvadrat plus ena na kvadrat

plus dva na kvadrat plus tri na kvadrat

plus pet na kvadrat plus osem na kvadrat.

To je ploščina.

Po drugi strani pa, ker je pravokotnik,

je ploščina enaka višini krat širini

in višina je očitno osem,

širina pa pet plus osem,

kar je naslednje
Fibonaccijevo število, 13. Je tako?

Tako imamo ploščino osem krat 13.

Ker smo pravilno izračunali ploščino

na dva različna načina,

moramo dobiti enako številko

in zato je seštevek kvadratov od
ena, ena, dva, tri, pet in osem

skupaj osem krat 13.

Če nadaljujemo s tem postopkom,

bomo ustvarili pravokotnike
s stranicami 13 krat 21,

21 krat 34 in tako naprej.

Zdaj pa poglejte tole.

Če 13 delimo z osem,

dobimo 1,625.

In če delimo večje število
z manjšim številom,

se razmerje vedno bolj približuje

okoli 1,618,

kar veliko ljudi pozna kot zlati rez,

število, ki je stoletja navduševalo

matematike, znanstvenike in umetnike.

To vam kažem, ker,

kot toliko matematike,

v sebi skriva nekaj lepega,

čemur mislim, da v naših šolah žal

ne posvečamo dovolj pozornosti.

Veliko časa se učimo o računanju,

ampak ne smemo pozabiti na uporabo,

vključno z morda najpomembnejšo uporabo,

da se naučimo, kako razmišljati.

Če bi lahko to zajel v enem stavku,

bi rekel tole:

Matematika ni samo iskanje x-a,

ampak tudi smisla.

Najlepša hvala.

(Aplavz)