La màgia de la Successió de Fibonacci

Les matemàtiques són lògiques, funcionals i... simplement genials.
El matemàtic Arthur Benjamin explora les propietats ocultes de l'estranya i meravellosa Successió de Fibonacci. (I ens recorda que les matemàtiques també poden ser estimulants!)

Per què aprenem matemàtiques?

Essencialment, per tres raons:

pel càlcul,

per l'aplicació,

i per últim, i, per desgràcia, menys important,

des del punt de vista del temps que hi dediquem,

per la inspiració.

Les matemàtiques són la ciència dels patrons,

i l'estudiem per aprendre a pensar amb lògica,

crítica i creativament,

però gran part de les matemàtiques
que aprenem a l'escola

no ens motiven eficaçment,

i quan els alumnes pregunten

"Per què fem això?"

solem explicar-los que ho necessitaran

per les properes classes, o per algun examen.

Però no seria genial

si alguna vegada féssim matemàtiques

tan sols perquè són divertides, o boniques,

o perquè ens estimulen la ment?

Ja sé que molta gent no ha tingut

la oportunitat de veure com això és possible,

així que us en donaré un exemple ràpid

amb la meva col·lecció de nombres preferida:

la Successió de Fibonacci. (Aplaudiment)

Bé! Ja hi ha fans de Fibonacci, aquí!

Fantàstic!

Podem apreciar aquests nombres

de moltes maneres diferents.

Des del punt de vista del càlcul,

són tan fàcils d'entendre

com un més un, que fan dos,

un més dos fan tres,

dos més tren fan cinc, tres més cinc fan vuit,

etcètera.

La persona a qui anomenem Fibonacci

es deia Leonardo da Pisa,

i aquests nombres apareixen al seu llibre "Liber Abaci",

que va descobrir al món occidental

els mètodes aritmètics que s'usen avui en dia.

Pel que fa a les aplicacions,

els nombres de Fibonacci es troben a la natura

sorprenentment sovint.

El nombre de pètals d'una flor

sol ser un nombre de Fibonacci,

i també el nombre d'espirals d'un girasol,

o d'una pinya

acostumen a ser nombres de Fibonacci.

De fet, hi ha moltes més
aplicacions dels nombres de Fibonacci,

però el que em sembla més
interessant d'aquests nombres

són els preciosos patrons que descriuen.

Us n'ensenyaré un dels meus preferits.

Suposo que gaudiu elevant nombres al quadrat,

de fet, a qui no li agrada? (Riure)

Què passa si elevem al quadrat

els primers nombres de Fibonacci?

U elevat al quadrat és u,

dos elevat al quadrat és quatre, tres és nou

cinc és vint-i-cinc, etcètera.

No ens ve pas de nou

que si sumem dos nombres
consecutius de la successió

el resultat és el nombre següent. Oi?

Així és com es creen.

Però no ens esperem que passi res especial

quan sumem els nombres elevats al quadrat.

Però pareu atenció:

Un i un fan dos,

i un més quatre fan cinc.

Quatre més nou fan tretze,

nou més 25 fan 34

i sí, el patró segueix.

Aquí en teniu un altre:

Diguem que volem sumar

els primers nombres de Fibonacci
elevats al quadrat.

A veure què passa.

Un i un i quatre fan sis.

Si hi sumem nou, fan quinze.

Més 25, 40.

Més 64, 104.

Ara mireu bé aquests nombres.

No són pas nombres de Fibonacci,

però si us hi fixeu bé,

hi veureu els nombres de Fibonacci

enterrats dins seu.

Ho veieu? Us ho ensenyo:

Sis és dues vegades tres; 15 és tres cops cinc,

40 és cinc vegades vuit,

dos, tres, cinc, vuit; recordeu el que us he dit?

(Riure)

Fibonacci! És clar.

Per molt divertit que sigui descobrir aquests patrons,

és encara més satisfactori entendre

per què són veritat.

Mirem l'última equació:

Per què els quadrats d'un, un,
dos, tres, cinc i vuit

sumen vuit vegades tretze?

Us ho ensenyaré amb un dibuix senzill:

Començarem amb un quadrat d'un per un,

i n'hi posarem un altre al costat.

Junts, formen un rectangle d'un per dos.

A sota, hi posem un quadrat de dos per dos,

i, al costat, un de tres per tres,

sota, un de cinc per cinc,

i després un de vuit per vuit,

i creem un rectacle enorme, veieu?

Ara us preguntaré una cosa ben simple:

quina és l'àrea d'aquest rectangle?

Bé, d'una banda,

és la suma de les àrees

dels quadrats que hi ha dins, oi?

Exactament com l'hem fet.

És u al quadrat més u al quadrat

més dos al quadrat més tres al quadrat

més cinc al quadrat més vuit al quadrat. Oi?

Aquesta és l'àrea.

D'altra banda, com que és un rectangle,

l'àrea és igual a l'alçada multiplicada per la base,

i l'alçada és clarament vuit,

i la base és cinc més vuit,

que és el següent nombre de Fibonacci, 13, oi?

Per tant, l'àrea també és vuit vegades tretze.

Com que hem calculat l'àrea correctament

de dues maneres diferents,

el resultat ha de ser el mateix,

i és per això que u, u, dos,
tres, cinc i vuit al quadrat

sumen vuit vegades tretze.

Si continuem el procés,

generarem rectangles de 13x21,

21x24, etcètera.

Ara escoleu bé això:

Si dividim tretze entre vuit,

fan 1,625.

I si divideixes el nombre més gran
pel nombre més petit,

les proporcions s'acosten cada cop més

a 1,618,

un nombre conegut també com a Secció Àuria,

un nombre que ha fascinat matemàtics,

científics i artistes durant segles.

Tot això, us ho ensenyo perquè,

com passa molt en matemàtiques,

això té un cantó molt bonic

però em temo que no s'hi dóna prou importància,

a les escoles.

Passem molt temps aprenent càlcul,

però no ens oblidem de l'aplicació,

incloent-hi, potser, l'aplicació
més important de totes:

aprendre a pensar.

Si ho pogués resumir en una sola frase,

seria aquesta:

Les matemàtiques no són només buscar la X,

sinó també pensar per què.

Moltes gràcies.

(Aplaudiment)