Polynomials1

밑변 길이가 2r
높이가 p인 직사각형과

지름이 4r인 원의 넓이의
차를 구해봅시다

p > 7r 이라는 조건이 있네요

먼저 밑변이 2r, 높이가 p인

직사각형의 넓이를 생각해 봅시다

여기에 밑변이 p, 높이가 2r인
직사각형을 그리겠습니다

이 직사각형의 넓이는 얼마일까요?

직사각형의 넓이공식은
밑변과 높이의 곱이죠

그래서 직사각형의 넓이는
2r × p = 2rp 가 됩니다

밑변×높이를 하거나
높이×밑변을 하는 것이죠

이렇게 직사각형의 넓이인
2rp를 구했습니다

이제 아까 구한 직사각형의 넓이와

원의 넓이의 차를 구해야 하는데요

원의 지름은 4r이라고 주어져 있습니다

그럼 원의 넓이는 얼마가 될까요?

자, 원도 여기 그려볼게요

원을 그리고
지름은 4r입니다

그럼 원의 넓이는 어떻게 구할까요?

원의 넓이의 공식은 πr² 이고
이때 r은 원의 반지름입니다

이 문제에는 지름이 주어졌는데
반지름은 지름의 반이니까

지름 4r의 반을 하면
반지름 2r을 구할 수 있습니다

그래서 원의 넓이는
π(2r)² 입니다

반지름이 2r이니까
2r 전체를 제곱해야 되겠죠?

그래서 π × 4 × r² 가 됩니다

보기 좋게 순서를 바꿔서
4πr²로 만들어줍니다

이제 원의 넓이도 구했으니
직사각형과의 차이를 구해봅시다

차를 구할 때는
그 값이 음수보다는 양수인게 더 낫겠죠

이 두 넓이 중
더 큰 넓이는 뭘까요?

아까 문제에 p > 7r 라는
조건이 있었죠?

생각해 봅시다

p가 7r보다 크다면

여기에 써볼게요

p가 7r보다 크다는 것을
알고 있으니까

이 부등식의 양변에
2r을 곱해준다면

길이는 모두 양수이니까
2r도 양수이죠?

그래서 양변에 2r을 곱해도
부등식의 방향이 변하지 않습니다

좌변에 2r을 곱하고
우변에도 똑같이 곱해줍니다

그러면 부등식이
2rp > 14r² 가 됩니다

왜 2r을 곱했을까요?

바로 넓이가 2rp인
직사각형의 넓이를 구하기 위해서입니다

그래서 이것이
직사각형의 넓이가 되는거죠

그럼 14r²는 뭘까요?

4π < 14 입니다

4π < 14 입니다

14 = 4 × 3.5 입니다

맞죠?

그래서 3.14인 π는 3.5보다 작으니까
4π는 14보다 작습니다

그래서 이 값이 여기 있는 값인

4πr²보다 크다는 것을
알 수 있습니다

따라서 직사각형이 원보다
더 크다는 것을 알 수 있죠

직사각형의 넓이에서
원의 넓이를 빼면

바로 차를 구할 수 있겠네요

그래서 구하고 싶은 차는

먼저 구한 직사각형 넓이
2rp에서

원의 넓이를 빼면
그 값이 나옵니다

원의 넓이는 4πr²이죠?

그래서 이 문제의 답을 구했습니다

아까 원넓이의 공식은

πr² 이라고 했죠

문제에서 구하는 원의 반지름은

r이 아니라 2r이죠
따라서 r의 자리에 2r을 넣는 것입니다

헷갈리지 않길 바랍니다

r은 일반적인 반지름의 기호입니다

이 문제에서의 반지름인 2 × r 의 r은
반지름 기호가 아닌 그냥 문자입니다

그래서 이 공식에
이걸 집어넣은 것이죠

배운 내용이
유용하게 쓰이길 바랍니다