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Bienvenue à notre présentation sur les dérivées
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Je crois que vous allez trouver que c'est à partir de maintenant que les maths commenceront
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à devenir beaucoup plus amusantes qu'elles l'étaient il y a quelques chapitres.
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Eh bien, commençons avec nos dérivées
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Je sais que ça a l'air très compliqué
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Eh bien, en général, si j'ai une ligne droite -- voyons voir si je
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peux dessiner une ligne droite -- si j'ai une ligne
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droite -- voici mes axes de coordonnées, qui ne sont pas droits
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ceci est une ligne droite.
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Mais quand j'ai une ligne droite comme celle-ci et que je vous demande de
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trouver la pente -- Je crois que vous savez déjà comment faire cela---
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c'est seulement le changement en y divisé par le changement en x.
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Si je voulais trouver la pente -- vraiment, je veux dire la pente est la
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même parce qu'il s'agit d'une ligne droite, la pente est la même
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à travers la ligne en entier, mais si je veux trouver la pente à n'importe
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quel point sur la ligne, ce que je ferais, c'est que je prendrais un
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point x -- disons que je choisirais ce point
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Nous prendrions une couleur différente -- je prendrais ce point, je choisirais
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ce point -- c'est assez arbitraire, je pourrais choisir n'importe quels deux
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points, et je trouverais quel est le changement en y -- ceci
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est le changement en y, delta y, c'est seullement une autre façon de
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dire changement en y -- et ceci est le changement en x.
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delta x.
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Et nous trouvons que la pente est definie comme étant
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le changement en y divisé par le changement en x.
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Une autre façon de dire cela est delta -- le triangle---
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delta y divisé par delta x.
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C'est très simple.
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Maintenant, que se passerait-il, cependant, si nous n'avions pas affaire
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à une ligne droite?
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Voyons voir si j'ai assez d'espace pour dessiner cela,
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Un autre axe de coordonnées.
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Encore assez malpropre, mais je crois que vous comprenez.
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Maintenant, disons que, plutôt qu'avoir une simple ligne comme celle-là, celle-ci
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suit la règle y est égal à mx plus b
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Disons seulement que j'avais un courbe y est égal à x au carré.
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Laissez moi la dessiner avec une couleur différente.
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Alors y est égal à x au carré ressemble à quelque chose comme ceci.
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C'est une courbe, que vous connaissez probablement bien maintenant.
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Et ce que je vais vous demander c'est, quel est la pente
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de cette courbe?
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Et pensez-y.
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Qu'est-ce que prendre la pente d'une courbe veut dire maintenant?
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Eh bien, sur cette ligne, la pente était la même sur
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toute la ligne.
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Mais si nous regardons cette courbe, la pente ne change-t-elle
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pas, n'est-ce pas?
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Ici, la courbe est presque plate, et ici, elle est de plus en plus à pic
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jusqu'à tant qu'elle devienne assez à pic.
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Et si nous allons très très loin, elle devient extrêmement à pic.
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Alors vous vous disez probablement, eh bien, comment trouve-t-on
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la pente de la courbe si la pente change constamment?
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Eh bien, il n'y a pas de pente pour la courbe en entier.
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Pour une ligne, il y a une pente pour la ligne en entier parce que
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la pente ne change jamais.
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Mais ce que nous pourrions essayer de faire, c'est de trouver quel est
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la pente à un certain point.
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Et la pente à un certain point serait la même que
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la pente de la ligne tangente.
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Par exemple -- laissez-moi prendre un vert --- la pente à ce point
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ici serait la même que la pente de cette ligne.
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N'est-ce pas?
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Parce que cette ligne est tangente à la courbe
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Alors si elle ne touche que la courbe, et à ce point exact, elles
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auraient -- cette courbe bleue, y est égal à x au carré aurait
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la même pente que cette ligne verte.
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Mais si nous allons vers un point là-bas, même s'il s'agit d'un graphique
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très mal dessiné, la pente serait
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quelque chose comme ceci.
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La pente de la tangente.
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La pente serait une pente négative, and ici, il s'agit d'une pente positive,
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mais si nous prenons un point ici, la pente serait
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encore plus positive
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Alors, comment allons-nous trouver cela?
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Comment allons nous trouver ce qu'est la pente à n'importe quel point
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sur cette courbe y est égal à x au carré?
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C'est à ce moment que la dérivée devient d'usage et maintenant
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pour la première fois que vous allez voir pourquoi la limite est
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un concept utile.
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Alors laissez moi redessiner la courbe.
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OK, je vais dessiner mes axes, voici l'axe des y -- je vais juste
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le dessiner pour le premier quadrant --- et ceci-- I dois vraiment trouver un
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meilleur outil pour faire mes -- ceci est l'axe des x, et ensuite
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laissez-moi dessiner ma courbe en jaune.
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Alors y égal x au carré ressemble à quelque chose comme ceci.
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Je suis vraiment en train de me concentrer pour dessiner ça
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au moins décemment.
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OK.
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Alors disons que nous voulons trouver la pente à ce point.
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Appelons ce point a.
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Et ce point, x égal a.
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And bien sûr, ceci est f de a.
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Alors ce que nous pourrions essayer de faire, c'est d'essayer de trouver
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la pente de la ligne sécante.
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Une ligne entre -- nous prenons un autre point, disons,
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assez proche, à ce point sur le graphique, disons juste ici, et si
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nous pourrions trouver la pente de cette ligne, ce serait
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un peu comme une approximation de la pente de la courbe
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exactement à ce point.
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Alors laissez-moi tracer une ligne sécante.
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Quelque chose comme ça.
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Une ligne sécante ressemble à quelque chose comme ça.
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And disons qu'à ce point juste ici, il y a un plus h, ou
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la distance est seuelement h, ceci est un plus h, nous allons seulement aller
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h loin de a and ensuite, à ce point juste ici
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est f d'un plus h.
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Mon stylo fonctionne mal.
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Alors ceci serait une approximation de ce qu'est la
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pente à ce point.
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Et plus h se rapproche, le plus près ce point se
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rapproche de ce point. Notre approximation deviendra meilleure et meilleure
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jusqu'à temps que nous pourrons avoir
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la pente ou h est égal à 0, ce qui serait la pente
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instantannée, à ce point sur la courbe.
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Mais comment trouve-t-on la pente quand h est égal à 0?
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Alors, en ce moment, nous disons que la pente entre ces deux
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points, ce serait le changement en y, alors
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quel est le changement en y?
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C'est ceci, pour que ce point ici -- la coordonnée en
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x est -- mon truc n'arrête pas de gâcher -- la coordonnée x
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est a plus h et la coordonnée en y est f(a) plus h.
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Et à ce point-ci, la coordonnée est a et f(a).
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Alors, si nous utilisons seulement la formule, comme auparavant, nous
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dirions changement en x sur changement en x.
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Eh bien, quel est le changement en y?
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C'est f(a+h) -- cette coordonnée en y moins cette coordonnée en y
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--- moins f(a) sur le changement en x.
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Eh bien le changement en x est cette coordonnée en x, a plus h, moins
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cette coordonnée en x, moins a.
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Et bien sûr, ce a et ce a s'annulent.
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Alors c'est f(a) plus h, moins f(a), tout cela divisisé par h.
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ceci est seulement la pente de la ligne sécante.
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Et si nous voulons trouver la pente de la ligne tangente, nous
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n'aurions qu'à trouver ce qui se passe si h devient plus petit et
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petit et petit.
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Et je crois que vous savez vers quoi je me dirige.
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Vraiment, ce que nous voulons, si nous volons trouver la pente de cette
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ligne tangente, nous n'avons qu'à trouver la limite
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de cette valeur quand h tend vers 0.
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Et ensuite, quand h tend vers 0, cette ligne sécante va
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se rapprocher de la pente de la ligne tangente.
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And puis nous allons savoir la pente exacte à
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ce point instantanné sur cette courbe.
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Et en fait, il s'avère que ceci est la définition
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de la dérivée.
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Et la dérivée n'est rien de plus que la pente de la
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courbe à un point précis.
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Et ceci est très utile parce que pour la première fois,
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tout ce dont nous avons parlé jusqu'à maintenant est
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la pente d'une ligne.
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Mais maintenant, nous pouvons prendre n'importe quelle courbe continue ou la plupart
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des courbes continues,et trouver la pente de la courbe
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à un point précis.
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Alors maintenant que je vous ai donné la définition de ce qu'est une dérivée
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et probablement, espérons peut-être un peu plus d'intuition, dans
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la prochaine présentation je vais utiliser cette définition pour
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l'appliquer à certaine fonctions, comme x au carré et d'autres, et
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vous donner quelques problèmes de plus.
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Je vais vous voir dans la prochaine présentation
