< Return to Video

Calcul: Les dérivés 1

  • 0:01 - 0:04
    Bienvenue à notre présentation sur les dérivées
  • 0:04 - 0:06
    Je crois que vous allez trouver que c'est à partir de maintenant que les maths commenceront
  • 0:06 - 0:11
    à devenir beaucoup plus amusantes qu'elles l'étaient il y a quelques chapitres.
  • 0:11 - 0:12
    Eh bien, commençons avec nos dérivées
  • 0:12 - 0:13
    Je sais que ça a l'air très compliqué
  • 0:13 - 0:17
    Eh bien, en général, si j'ai une ligne droite -- voyons voir si je
  • 0:17 - 0:21
    peux dessiner une ligne droite -- si j'ai une ligne
  • 0:21 - 0:28
    droite -- voici mes axes de coordonnées, qui ne sont pas droits
  • 0:28 - 0:29
    ceci est une ligne droite.
  • 0:32 - 0:35
    Mais quand j'ai une ligne droite comme celle-ci et que je vous demande de
  • 0:35 - 0:37
    trouver la pente -- Je crois que vous savez déjà comment faire cela---
  • 0:37 - 0:40
    c'est seulement le changement en y divisé par le changement en x.
  • 0:40 - 0:44
    Si je voulais trouver la pente -- vraiment, je veux dire la pente est la
  • 0:44 - 0:46
    même parce qu'il s'agit d'une ligne droite, la pente est la même
  • 0:46 - 0:50
    à travers la ligne en entier, mais si je veux trouver la pente à n'importe
  • 0:50 - 0:52
    quel point sur la ligne, ce que je ferais, c'est que je prendrais un
  • 0:52 - 0:56
    point x -- disons que je choisirais ce point
  • 0:56 - 1:00
    Nous prendrions une couleur différente -- je prendrais ce point, je choisirais
  • 1:00 - 1:03
    ce point -- c'est assez arbitraire, je pourrais choisir n'importe quels deux
  • 1:03 - 1:06
    points, et je trouverais quel est le changement en y -- ceci
  • 1:06 - 1:10
    est le changement en y, delta y, c'est seullement une autre façon de
  • 1:10 - 1:16
    dire changement en y -- et ceci est le changement en x.
  • 1:16 - 1:17
    delta x.
  • 1:17 - 1:22
    Et nous trouvons que la pente est definie comme étant
  • 1:22 - 1:30
    le changement en y divisé par le changement en x.
  • 1:34 - 1:38
    Une autre façon de dire cela est delta -- le triangle---
  • 1:38 - 1:41
    delta y divisé par delta x.
  • 1:41 - 1:43
    C'est très simple.
  • 1:43 - 1:45
    Maintenant, que se passerait-il, cependant, si nous n'avions pas affaire
  • 1:45 - 1:46
    à une ligne droite?
  • 1:46 - 1:50
    Voyons voir si j'ai assez d'espace pour dessiner cela,
  • 1:50 - 1:53
    Un autre axe de coordonnées.
  • 1:53 - 1:56
    Encore assez malpropre, mais je crois que vous comprenez.
  • 2:00 - 2:03
    Maintenant, disons que, plutôt qu'avoir une simple ligne comme celle-là, celle-ci
  • 2:03 - 2:05
    suit la règle y est égal à mx plus b
  • 2:05 - 2:10
    Disons seulement que j'avais un courbe y est égal à x au carré.
  • 2:10 - 2:12
    Laissez moi la dessiner avec une couleur différente.
  • 2:12 - 2:16
    Alors y est égal à x au carré ressemble à quelque chose comme ceci.
  • 2:16 - 2:19
    C'est une courbe, que vous connaissez probablement bien maintenant.
  • 2:19 - 2:21
    Et ce que je vais vous demander c'est, quel est la pente
  • 2:21 - 2:23
    de cette courbe?
  • 2:23 - 2:24
    Et pensez-y.
  • 2:24 - 2:27
    Qu'est-ce que prendre la pente d'une courbe veut dire maintenant?
  • 2:27 - 2:29
    Eh bien, sur cette ligne, la pente était la même sur
  • 2:29 - 2:30
    toute la ligne.
  • 2:30 - 2:32
    Mais si nous regardons cette courbe, la pente ne change-t-elle
  • 2:32 - 2:33
    pas, n'est-ce pas?
  • 2:33 - 2:37
    Ici, la courbe est presque plate, et ici, elle est de plus en plus à pic
  • 2:37 - 2:39
    jusqu'à tant qu'elle devienne assez à pic.
  • 2:39 - 2:41
    Et si nous allons très très loin, elle devient extrêmement à pic.
  • 2:41 - 2:43
    Alors vous vous disez probablement, eh bien, comment trouve-t-on
  • 2:43 - 2:46
    la pente de la courbe si la pente change constamment?
  • 2:46 - 2:48
    Eh bien, il n'y a pas de pente pour la courbe en entier.
  • 2:48 - 2:51
    Pour une ligne, il y a une pente pour la ligne en entier parce que
  • 2:51 - 2:52
    la pente ne change jamais.
  • 2:52 - 2:54
    Mais ce que nous pourrions essayer de faire, c'est de trouver quel est
  • 2:54 - 2:57
    la pente à un certain point.
  • 2:57 - 3:00
    Et la pente à un certain point serait la même que
  • 3:00 - 3:01
    la pente de la ligne tangente.
  • 3:01 - 3:08
    Par exemple -- laissez-moi prendre un vert --- la pente à ce point
  • 3:08 - 3:18
    ici serait la même que la pente de cette ligne.
  • 3:18 - 3:19
    N'est-ce pas?
  • 3:19 - 3:21
    Parce que cette ligne est tangente à la courbe
  • 3:21 - 3:24
    Alors si elle ne touche que la courbe, et à ce point exact, elles
  • 3:24 - 3:28
    auraient -- cette courbe bleue, y est égal à x au carré aurait
  • 3:28 - 3:31
    la même pente que cette ligne verte.
  • 3:31 - 3:33
    Mais si nous allons vers un point là-bas, même s'il s'agit d'un graphique
  • 3:33 - 3:37
    très mal dessiné, la pente serait
  • 3:37 - 3:39
    quelque chose comme ceci.
  • 3:39 - 3:40
    La pente de la tangente.
  • 3:40 - 3:43
    La pente serait une pente négative, and ici, il s'agit d'une pente positive,
  • 3:43 - 3:48
    mais si nous prenons un point ici, la pente serait
  • 3:48 - 3:51
    encore plus positive
  • 3:51 - 3:52
    Alors, comment allons-nous trouver cela?
  • 3:52 - 3:56
    Comment allons nous trouver ce qu'est la pente à n'importe quel point
  • 3:56 - 3:59
    sur cette courbe y est égal à x au carré?
  • 3:59 - 4:02
    C'est à ce moment que la dérivée devient d'usage et maintenant
  • 4:02 - 4:03
    pour la première fois que vous allez voir pourquoi la limite est
  • 4:03 - 4:06
    un concept utile.
  • 4:06 - 4:09
    Alors laissez moi redessiner la courbe.
  • 4:09 - 4:16
    OK, je vais dessiner mes axes, voici l'axe des y -- je vais juste
  • 4:16 - 4:23
    le dessiner pour le premier quadrant --- et ceci-- I dois vraiment trouver un
  • 4:23 - 4:29
    meilleur outil pour faire mes -- ceci est l'axe des x, et ensuite
  • 4:29 - 4:32
    laissez-moi dessiner ma courbe en jaune.
  • 4:34 - 4:38
    Alors y égal x au carré ressemble à quelque chose comme ceci.
  • 4:38 - 4:41
    Je suis vraiment en train de me concentrer pour dessiner ça
  • 4:41 - 4:42
    au moins décemment.
  • 4:42 - 4:43
    OK.
  • 4:43 - 4:47
    Alors disons que nous voulons trouver la pente à ce point.
  • 4:54 - 5:00
    Appelons ce point a.
  • 5:00 - 5:02
    Et ce point, x égal a.
  • 5:02 - 5:07
    And bien sûr, ceci est f de a.
  • 5:11 - 5:13
    Alors ce que nous pourrions essayer de faire, c'est d'essayer de trouver
  • 5:13 - 5:15
    la pente de la ligne sécante.
  • 5:15 - 5:20
    Une ligne entre -- nous prenons un autre point, disons,
  • 5:20 - 5:27
    assez proche, à ce point sur le graphique, disons juste ici, et si
  • 5:27 - 5:30
    nous pourrions trouver la pente de cette ligne, ce serait
  • 5:30 - 5:34
    un peu comme une approximation de la pente de la courbe
  • 5:34 - 5:35
    exactement à ce point.
  • 5:35 - 5:38
    Alors laissez-moi tracer une ligne sécante.
  • 5:44 - 5:45
    Quelque chose comme ça.
  • 5:45 - 5:47
    Une ligne sécante ressemble à quelque chose comme ça.
  • 5:47 - 5:56
    And disons qu'à ce point juste ici, il y a un plus h, ou
  • 5:56 - 6:00
    la distance est seuelement h, ceci est un plus h, nous allons seulement aller
  • 6:00 - 6:05
    h loin de a and ensuite, à ce point juste ici
  • 6:05 - 6:09
    est f d'un plus h.
  • 6:12 - 6:13
    Mon stylo fonctionne mal.
  • 6:18 - 6:20
    Alors ceci serait une approximation de ce qu'est la
  • 6:20 - 6:21
    pente à ce point.
  • 6:21 - 6:25
    Et plus h se rapproche, le plus près ce point se
  • 6:25 - 6:27
    rapproche de ce point. Notre approximation deviendra meilleure et meilleure
  • 6:27 - 6:31
    jusqu'à temps que nous pourrons avoir
  • 6:31 - 6:34
    la pente ou h est égal à 0, ce qui serait la pente
  • 6:34 - 6:37
    instantannée, à ce point sur la courbe.
  • 6:37 - 6:41
    Mais comment trouve-t-on la pente quand h est égal à 0?
  • 6:45 - 6:47
    Alors, en ce moment, nous disons que la pente entre ces deux
  • 6:47 - 6:50
    points, ce serait le changement en y, alors
  • 6:50 - 6:51
    quel est le changement en y?
  • 6:51 - 6:57
    C'est ceci, pour que ce point ici -- la coordonnée en
  • 6:57 - 7:01
    x est -- mon truc n'arrête pas de gâcher -- la coordonnée x
  • 7:01 - 7:11
    est a plus h et la coordonnée en y est f(a) plus h.
  • 7:15 - 7:22
    Et à ce point-ci, la coordonnée est a et f(a).
  • 7:22 - 7:25
    Alors, si nous utilisons seulement la formule, comme auparavant, nous
  • 7:25 - 7:28
    dirions changement en x sur changement en x.
  • 7:28 - 7:29
    Eh bien, quel est le changement en y?
  • 7:29 - 7:38
    C'est f(a+h) -- cette coordonnée en y moins cette coordonnée en y
  • 7:38 - 7:47
    --- moins f(a) sur le changement en x.
  • 7:47 - 7:53
    Eh bien le changement en x est cette coordonnée en x, a plus h, moins
  • 7:53 - 7:56
    cette coordonnée en x, moins a.
  • 7:56 - 7:58
    Et bien sûr, ce a et ce a s'annulent.
  • 7:58 - 8:01
    Alors c'est f(a) plus h, moins f(a), tout cela divisisé par h.
  • 8:01 - 8:05
    ceci est seulement la pente de la ligne sécante.
  • 8:05 - 8:09
    Et si nous voulons trouver la pente de la ligne tangente, nous
  • 8:09 - 8:12
    n'aurions qu'à trouver ce qui se passe si h devient plus petit et
  • 8:12 - 8:13
    petit et petit.
  • 8:13 - 8:14
    Et je crois que vous savez vers quoi je me dirige.
  • 8:14 - 8:17
    Vraiment, ce que nous voulons, si nous volons trouver la pente de cette
  • 8:17 - 8:19
    ligne tangente, nous n'avons qu'à trouver la limite
  • 8:19 - 8:29
    de cette valeur quand h tend vers 0.
  • 8:29 - 8:33
    Et ensuite, quand h tend vers 0, cette ligne sécante va
  • 8:33 - 8:37
    se rapprocher de la pente de la ligne tangente.
  • 8:37 - 8:41
    And puis nous allons savoir la pente exacte à
  • 8:41 - 8:42
    ce point instantanné sur cette courbe.
  • 8:42 - 8:44
    Et en fait, il s'avère que ceci est la définition
  • 8:44 - 8:47
    de la dérivée.
  • 8:47 - 8:51
    Et la dérivée n'est rien de plus que la pente de la
  • 8:51 - 8:53
    courbe à un point précis.
  • 8:53 - 8:56
    Et ceci est très utile parce que pour la première fois,
  • 8:56 - 8:59
    tout ce dont nous avons parlé jusqu'à maintenant est
  • 8:59 - 9:00
    la pente d'une ligne.
  • 9:00 - 9:03
    Mais maintenant, nous pouvons prendre n'importe quelle courbe continue ou la plupart
  • 9:03 - 9:07
    des courbes continues,et trouver la pente de la courbe
  • 9:07 - 9:08
    à un point précis.
  • 9:08 - 9:12
    Alors maintenant que je vous ai donné la définition de ce qu'est une dérivée
  • 9:12 - 9:14
    et probablement, espérons peut-être un peu plus d'intuition, dans
  • 9:14 - 9:17
    la prochaine présentation je vais utiliser cette définition pour
  • 9:17 - 9:20
    l'appliquer à certaine fonctions, comme x au carré et d'autres, et
  • 9:20 - 9:22
    vous donner quelques problèmes de plus.
  • 9:22 - 9:24
    Je vais vous voir dans la prochaine présentation
Title:
Calcul: Les dérivés 1
Description:

Trouver la pente d'une ligne tangente à une courbe (la dérivé). Introduction au calcul.

more » « less
Video Language:
English
Duration:
09:24
a333334 added a translation

French subtitles

Revisions