Power series representation using integration

Ta có một dãy vô hạn ở đây,

và đầu tiên mình muốn bạn

hãy dừng video này và xem bạn có thể biểu diễn cái này

dưới dạng cấp số nhân vô hạn không.

và nếu như bạn làm được,

xem tổng của nó có hội tụ hay không.

Hãy tính trên khoảng nào của x

thì dãy cấp số nhân sẽ hội tụ

và tổng của nó sẽ bằng mấy.

Mình giả sử bạn đã thử làm rồi nhe.

vậy hãy cùng nhau giải nào.

Đầu tiên mình muốn

đem thừa số chung ra.

Để có thể rút gọn nó lại.

Xem nào.

Nếu mình đem thừa số chung ra, nó có vẻ

tất cả đều chia hết cho x bình.

Mình có thể viết lại là 3x bình nhân

1 trừ x mũ 3 cộng x mũ 6

trừ x mũ 9,

và dạng này sẽ dần xuất hiện.

Để mình bỏ vào ngoặc với cùng màu,

với màu hồng ở đây.

Xem nào.

Có vẻ ta đang tính với x mũ 3,

để mình viết như vầy.

Cái này tương tự như 3x bình nhân,

ta có thể viết phần tử thứ nhất,

hoặc mình đoán ta có thể nói là phần tử thứ 0.

Cái này là x mũ 3 mũ 0

rồi trừ, cái này là x mũ 3 mũ 1,

rồi cộng với cái này là x mũ 3 mũ 2,

rồi bạn sẽ thấy mô hình.

Cái này là x mũ 3 mũ 3,

và đương nhiên, ta cứ đi tiếp.

Nhưng giờ ta sẽ phải

đổi dấu mà ta có.

Cái này sẽ là trừ 1.

Cái này là cộng, tương tự với

trừ 1 mũ 0.

Cái này là trừ, là trừ 1 mũ 1,

vậy hãy viết như vầy.

Ta có thể viết nó là 3x bình nhân

phần tử thứ nhất ta có thể viết là trừ 1,

hoặc ta có thể viết là trừ x mũ 3

mũ 0.

rồi sau đó là cộng.

Với cộng, ta có thể nói trừ x mũ 3

mũ 1.

Trừ 1 mũ 1 là trừ 1.

x mũ 3 mũ 1 là x mũ 3

cộng x mũ 3 mũ 2

cộng trừ x mũ 3 mũ 3.

Đó là phần tử này ở đây.

Trừ 1 mũ 3 là trừ 1,

và đương nhiên, x mũ 3 mũ 3 là x mũ 9

và nó cứ đi tiếp như vậy.

Cái này sẽ giúp ta thấy công bội dễ hơn.

Công bội ở đây là trừ x mũ 3.

Trên khoảng nào thì cái này sẽ hội tụ?

Nó sẽ hội tụ nếu công bội,

nếu giá trị tuyệt đối của công bội

nhỏ hơn 1.

Ta sẽ hội tụ

nếu giá trị tuyệt đối của công bội,

giá trị tuyệt đối của công bội,

là trừ x mũ 3 nhỏ hơn 1.

Hoặc cách nói khác là cái này tương tự,

giá trị tuyệt đối của số ấm sẽ

bằng giá trị tuyệt đối của số dương,

nên nó cũng tương tự như nói giá trị tuyệt đối

của x mũ 3 nhỏ hơn 1,

hoặc nói x mũ 3 nhỏ hơn 1

và lớn hơn trừ 1.

Như vậy,

nếu bạn lấy căn bậc 3 của 2 vế,

hoặc tất cả vế của bất phương trình,

bạn sẽ được x sẽ ở giữa

trừ 1 và 1.

Đây là khoảng hội tụ,

khoảng hội tụ.

Nếu ta giới hạn x tới đó,

tổng của nó sẽ bằng mấy?

Dãy cấp số nhân vô hạn, công bội,

giá trị tuyệt đối sẽ nhỏ hơn 1,

nên cái này sẽ có tổng là,

cái này sẽ bằng phần tử thứ nhất,

mình nghĩ ta có thể nói vậy,

hoặc nhân tất cả với số này,

nhưng nếu bạn nhân ra,

cái này sẽ là phần tử thứ nhất.

Nó sẽ bằng 3 x bình,

tất cả chia 1 trừ công bội,

vậy 1 trừ trừ x mũ 3,

đó sẽ bằng 1 cộng x mũ 3.

Tất cả mọi thứ ta đã làm

là chứng minh cái này,

để mình viết như vầy,

cái này sẽ bằng cái này

trên khoảng hội tụ.

Để mình copy và dán xuống, như vầy,

trên khoảng hội tụ.

Nếu x ở giữa trừ 1 và 1,

2 cái này sẽ là 1.

Giờ ta sẽ dùng giải tích

để giải tiếp bài này.

Bạn nên nhớ là,

cái này là đạo hàm của một thứ rất quen thuộc.

1 cộng x mũ 3, đạo hàm của nó bằng mấy?

Là 3 x bình.

Có vẻ ở đây là đạo hàm của

log nepe của 1 cộng x mũ 3.

hoặc giá trị tuyệt đối của 1 cộng x mũ 3.

Nếu bạn không tin mình,

hãy lấy nguyên hàm của cái này

ở đây.

Thực ra,

hãy lấy nguyên hàm của cả 2 vế,

và nếu ta làm vậy, ta có thể chứng minh được

biểu diễn cấp số nhân

của giá trị của nguyên hàm của cái này.

Mình khuyên bạn nên dừng video lại

và thử tính nguyên hàm

của cả 2 vế của phương trình.

Ta sẽ tính nguyên hàm của

vế trái,

và ta sẽ tính nguyên hàm

của vế phải.

Giờ ở vế trái,

mình đã nhắc là nó giống như

ta có biểu thức và đạo hàm của nó.

Hãy gọi đó là đổi biến u

Nếu ta nói u bằng 1 cộng x mũ 3,

để mình viết xuống,

u bằng 1 cộng x mũ 3,

vậy du sẽ bằng mấy?

du sẽ bằng 3x bình dx.

Để ý, ta có u và du.

du ở ngay đây.

Biểu thức này ở đây có thể được viết lại là

để mình viết ở đây,

cái này có thể được viết lại là nguyên hàm của du chia u,

hoặc mình có thể nói là

thực ra, để mình viết như vầy,

1 chia u du,

đương nhiên sẽ bằng

bằng log nepe của

giá trị tuyệt đối của u,

log nepe giá trị tuyệt đối của u,

cộng hằng số.

Ta biết u là 1 cộng x mũ 3,

vậy cái này sẽ bằng log nepe

của giá trị tuyệt đối của 1 cộng x mũ 3,

1 cộng x mũ 3 cộng c,

cộng c.

Giờ ta sẽ giới hạn miền xác định sao cho

x ở giữa trừ 1 và 1.

Với miền xác định đó, cái này sẽ luôn bằng,

cái này thực ra sẽ luôn dương,

nên ta có thể

ta không cần viết dấu giá trị tuyệt đối,

vậy cái này sẽ bằng log nepe

để mình viết nó,

log nepe của 1 cộng x mũ 3,

1 cộng x mũ 3 cộng c,

cộng c.

Đó là vế trái,

vậy vế phải

thì sẽ dễ tính hơn,

Cái này chỉ là đa thức thôi.

Giờ bạn có thể hình dung, ta đang tính

với hằng số ở đây,

vậy để mình phân biệt 1 chút.

Để mình gọi cái này là 1 c 1,

rồi ở vế phải, ta sẽ được gì?

Nguyên hàm của cái này sẽ bằng

xem nào,

nguyên hàm của x bình là x mũ 3

chia 3.

Phần tử thứ nhất, nguyên hàm,

sẽ bằng x mũ 3.

Đạo hàm của x mũ 3 là 3 x bình.

Phần tử này ở đây,

trừ 3 x mũ 5.

nguyên hàm của x mũ 5

là x mũ 6 chia 6,

x mũ 6 chia 6,

nhưng ta có chia 3 ở đây.

3 chia 6 là 1/2,

nên nó là trừ x mũ 6 chia 2.

Thực ra, để mình dùng màu khác,

để ta có thể theo dõi.

Cái này ở đây là trừ,

nguyên hàm của trừ x mũ 6 chia 2,

rồi, xem nào,

mình sắp hết màu rồi.

Nguyên hàm của x mũ 8

là x mũ 9 chia 9,

nên nó sẽ bằng cộng x mũ 9,

rồi ta có số 3.

3 chia 9 là 3.

Mình nghĩ bạn đã thấy mô hình ở đây.

Hãy làm thêm 1 bài nữa cho vui.

x mũ 12 chia 12, nhưng ta có 3 ở đây,

vậy trừ x mũ 12 chia 4,

rồi ta đi tiếp,

rồi ta sẽ phải,

ta sẽ phải có hằng số.

Thực ra, để mình để hằng số lên trước.

Để mình copy và dán nó.

hoặc cắt và dán để có thêm chỗ viết.

Để mình viết ở đây.

Mình sẽ ghi hằng số vào, c2,

nó không cần thiết phải cùng là 1 số,

cộng tất cả cái này.

Giờ rút gọn cái này,

mình có thể trừ c1 khỏi 2 vế

hoặc từ c2,

rồi mình sẽ có log nepe của

1 cộng x mũ 3.

1 cộng x mũ 3,

cái ta mới vừa làm khá là gọn,

thay số một chút,

bằng c2 trừ c1.

Cái này là hằng số trừ hằng số khác,

vậy nó sẽ bằng một hằng số nào đó,

cộng nguyên cái dãy này.

Ta có thể tính hằng số sẽ là gì

bằng cách thử vài giá trị của x

mà nằm trong vùng giới hạn.

x bằng 0 ở giữa trừ 1 và 1,

vậy hãy xem chuyện gì xảy ra khi x bằng 0

để giải tìm c.

Nếu x bằng 0,

ta có log nepe của 1 bằng c cộng,

tất cả phần tử này sẽ bằng 0,

0 mũ 3 trừ 0 mũ 6

đi tiếp và đi tiếp,

cộng 0 cộng 0,

hoặc cách khác,

log nepe của 1, đương nhiên

mũ 1 bằng 1,

đó là 0,

vậy c phải bằng 0.

c phải bằng 0.

Cái này ở đây sẽ bằng 0.

Điều ta mới làm, dùng thay thế,

bắt đầu với...

hãy suy nghĩ chút nào.

Bắt đầu với dãy bất kì vô hạn,

ta đã chứng minh nó có thể được biểu diễn là dãy cấp số nhân.

Ta định nghĩa nó với quy tắc hội tụ

với cái nào sẽ hội tụ,

với giá trị tuyệt đối của bội chung

nhỏ hơn 1,

rồi dùng cái này,

ta có thể biểu diễn tổng của nó,

rồi ta tính nguyên hàm của cả 2 vế

để tìm log nepe

của 1 cộng x mũ 3,

ít nhất đối với mình, thì nó khá là gọn.

Log nepe của 1 cộng x mũ 3

là x mũ 3 trừ x mũ 6 chia 2

cộng x mũ 9 chia 3,

cứ thế đi tiếp.

Thực ta, để làm rõ hơn,

hãy viết nó dưới dạng kí hiệu sigma.

Ta có thể viết log nepe của 1 cộng x mũ 3

trên miền xác định,

với giá trị tuyệt đối của x nhỏ hơn 1,

bằng tổng của, cho là,

n bằng 1 tới vô cùng

của x mũ 3 tới mũ n,

vậy với mũ 1, mũ 2, mũ 3,

tới n.

Cái này là x mũ 3 chia 1,

x mũ 3 bình chia 2,

và mình phải thêm vào,

cái đầu tiên này,

ta sẽ phải để ý tới dấu,

để mình đặt dấu trừ vào.

Xem nào.

Trừ 1 mũ 1 là âm,

nhưng ở đây nó lại là dương,

nên mình nói âm 1 mũ n cộng 1,

âm 1 mũ n cộng 1.

Có được không?

Mình nghĩ là được.

Khi n bằng 1,

cái này sẽ bằng 1.

Đây là x mũ 3 chia 1.

Khi n bằng 2,

cái này trở thành âm, là vậy,

rồi cái này trở thành x mũ 6, chia 2,

vậy đó.

Và ta xong rồi.

Khá là thoả mãn yêu cầu đề bài.