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  • 0:00 - 0:02
    여기에 무한 급수가 있습니다
  • 0:02 - 0:04
    먼저 동영상을 멈추고
  • 0:04 - 0:06
    먼저 동영상을 멈추고
  • 0:06 - 0:09
    이것을 무한등비급수로
    나타내 보세요
  • 0:09 - 0:12
    무한등비급수로
    나타낼 수 있다면
  • 0:12 - 0:16
    수렴구간을 참고해
    그 합을 구해 보세요
  • 0:16 - 0:19
    어느 x의 구간에서
  • 0:19 - 0:20
    여러분이 구한
    무한등비급수가 수렴하고
  • 0:20 - 0:23
    그 합은 무엇인지 구해 보세요
  • 0:23 - 0:24
    시도해 보았다면
  • 0:24 - 0:27
    이제 같이 풀어 봅시다
  • 0:27 - 0:28
    제가 먼저 할 것은
  • 0:28 - 0:30
    공통 인수로 다항식을
    인수분해하는 것입니다
  • 0:30 - 0:33
    식이 더 간단해 질 수 있습니다
  • 0:33 - 0:33
    봅시다
  • 0:33 - 0:34
    인수분해하면 이 모두
  • 0:34 - 0:37
    3x²으로 나눌 수 있습니다
  • 0:37 - 0:39
    다시 써보면
  • 0:39 - 0:51
    3x²(1 - x³ + x⁶ - x⁹이 되고
  • 0:51 - 0:56
    3x²(1 - x³ + x⁶ - x⁹이 되고
  • 0:56 - 1:00
    패턴이 나타납니다
  • 1:00 - 1:03
    같은 분홍색으로
    괄호를 닫아주도록 하겠습니다
  • 1:03 - 1:04
    같은 분홍색으로
    괄호를 닫아주도록 하겠습니다
  • 1:04 - 1:05
    같은 분홍색으로
    괄호를 닫아주도록 하겠습니다
  • 1:05 - 1:09
    x³의 거듭제곱이 있는 것 같으니
  • 1:09 - 1:10
    이렇게 써 보겠습니다
  • 1:10 - 1:14
    이건 3x²에
  • 1:14 - 1:17
    이 첫 번째 항
  • 1:17 - 1:18
    혹은 0번째 항은
  • 1:18 - 1:22
    (x³)⁰이라고 할 수 있고
  • 1:22 - 1:28
    이건 (x³)¹
  • 1:28 - 1:32
    이건 (x³)²이고
  • 1:32 - 1:33
    이제 아시겠죠
  • 1:33 - 1:36
    이건 (x³)³입니다
  • 1:36 - 1:37
    그리고 계속됩니다
  • 1:37 - 1:38
    이제 계속 바뀌는
    부호를 신경써야 합니다
  • 1:38 - 1:41
    이제 계속 바뀌는
    부호를 신경써야 합니다
  • 1:41 - 1:43
    이건 -1입니다
  • 1:43 - 1:44
    이게 양수이니
    (-1)⁰이라고 할 수 있습니다
  • 1:44 - 1:46
    이게 양수이니
    (-1)⁰이라고 할 수 있습니다
  • 1:46 - 1:49
    이건 음수이니 (-1)¹입니다
  • 1:49 - 1:50
    그러면 이렇게 써 봅시다
  • 1:50 - 1:56
    3x²에
  • 1:56 - 1:59
    첫 번째 항은 -1, 혹은
  • 1:59 - 2:02
    (-x³)⁰이고
  • 2:02 - 2:04
    (-x³)⁰이고
  • 2:04 - 2:06
    그 다흠 부호는 덧셈 부호입니다
  • 2:06 - 2:09
    덧셈 부호면
    (-x³)¹이라 할 수 있죠
  • 2:09 - 2:11
    덧셈 부호면
    (-x³)¹이라 할 수 있죠
  • 2:11 - 2:13
    -1의 1제곱은 -1이고
  • 2:13 - 2:16
    x³의 1제곱은 x³입니다
  • 2:16 - 2:20
    (-x³)²도 더해 주고
  • 2:20 - 2:25
    (-x³)³도 더해 줍니다
  • 2:25 - 2:27
    이건 바로 이 항에 해당합니다
  • 2:27 - 2:28
    -1의 세제곱은 -1이고
  • 2:28 - 2:31
    당연히 x³의 세제곱은 x⁹입니다
  • 2:31 - 2:33
    그리고 계속되고요
  • 2:33 - 2:37
    이렇게 하고 나면
    공비가 무엇인지 알기 쉽습니다
  • 2:37 - 2:43
    공비는 -x³입니다
  • 2:43 - 2:45
    수렴구간은 무엇일까요?
  • 2:45 - 2:48
    수렴하려면
  • 2:48 - 2:50
    공비의 절댓값이
    1 미만이여야 합니다
  • 2:50 - 2:53
    공비의 절댓값이
    1 미만이여야 합니다
  • 2:53 - 2:57
    수렴하려면
  • 2:57 - 3:02
    공비의 절댓값
  • 3:02 - 3:04
    공비 -x³의 절댓값이
    1 미만이여야 합니다
  • 3:04 - 3:09
    공비 -x³의 절댓값이
    1 미만이여야 합니다
  • 3:09 - 3:11
    이걸 다르게 말하면
  • 3:11 - 3:14
    음수의 절댓값은
  • 3:14 - 3:16
    양수의 절댓값과 같기 때문에
  • 3:16 - 3:18
    x³의 절댓값이
    1보다 작다고 하는 것과 같습니다
  • 3:18 - 3:21
    x³의 절댓값이
    1보다 작다고 하거나
  • 3:21 - 3:23
    x³이 1보다 작고
  • 3:23 - 3:27
    -1보다 크다고 하는 것과 같습니다
  • 3:27 - 3:28
    이렇게 되려면
  • 3:28 - 3:33
    부등식의 양변에
    세제곱근을 씌우면 됩니다
  • 3:33 - 3:34
    부등식의 양변에
    세제곱근을 씌우면 됩니다
  • 3:34 - 3:37
    그러면 x는 -1과 1 사이임을
    알 수 있습니다
  • 3:37 - 3:38
    그러면 x는 -1과 1 사이임을
    알 수 있습니다
  • 3:38 - 3:42
    바로 이것이 수렴 구간입니다
  • 3:42 - 3:46
    바로 이것이 수렴 구간입니다
  • 3:46 - 3:49
    x를 이렇게 제한했을 때
  • 3:49 - 3:51
    합은 무엇일까요?
  • 3:51 - 3:54
    이 무한등비급수는
  • 3:54 - 3:56
    공비의 절댓값이
    1 미만일 때 합이
  • 3:56 - 3:58
    공비의 절댓값이
    1 미만일 때 합이
  • 3:58 - 4:02
    먼저 첫 번째 항과
  • 4:02 - 4:03
    먼저 첫 번째 항
  • 4:03 - 4:05
    이것은
    이 전체를 곱하니까
  • 4:05 - 4:06
    둘을 곱하면
  • 4:06 - 4:07
    이게 첫 번째 항입니다
  • 4:07 - 4:10
    3x²을 공비로 나눈 값입니다
  • 4:10 - 4:14
    3x²을 1에서 공비를
    뺀 것으로 나눈 값입니다
  • 4:14 - 4:16
    1에서 -x³을 뺀 것은
  • 4:16 - 4:20
    1 + x³과 같습니다
  • 4:20 - 4:22
    여태까지 한 것은
  • 4:22 - 4:25
    이것이
  • 4:25 - 4:26
    이렇게 말해 보죠
  • 4:26 - 4:29
    이것은 수렴 구간 안에서
    이것과 같다고 할 수 있습니다
  • 4:29 - 4:32
    이것은 수렴 구간 안에서
    이것과 같다고 할 수 있습니다
  • 4:32 - 4:37
    복사해서 이렇게 써 보겠습니다
  • 4:37 - 4:39
    수렴 구간 안에서
  • 4:39 - 4:41
    x가 -1과 1 사이라면
  • 4:41 - 4:44
    이 둘은 같습니다
  • 4:44 - 4:47
    이제 미적분 모자를 써 봅시다
  • 4:47 - 4:48
    이게 흥미로운데
  • 4:48 - 4:50
    기억할지 모르지만
  • 4:50 - 4:53
    어떤 익숙한 것의
    도함수 같이 생겼습니다
  • 4:53 - 4:55
    1 + x³도함수는 무엇인가요?
  • 4:55 - 4:57
    3x²입니다
  • 4:57 - 5:02
    이건 ln(1 + x³)의
    도함수입니다
  • 5:02 - 5:05
    이건 ln(1 + x³)의
    도함수입니다
  • 5:05 - 5:08
    혹은 1 + x³의
    절댓값일 수도 있고요
  • 5:08 - 5:10
    저를 못 믿으시겠다면
  • 5:10 - 5:13
    이것의 부정적분을
    구해 봅시다
  • 5:13 - 5:14
    이것의 부정적분을
    구해 봅시다
  • 5:14 - 5:15
    재미로
  • 5:15 - 5:18
    양변 모두의
    부정적분을 구해 봅시다
  • 5:18 - 5:20
    그렇게 하면 결국
  • 5:20 - 5:26
    이것의 부정적분의
  • 5:26 - 5:28
    등비급수적 표현을
    볼 수 있습니다
  • 5:28 - 5:30
    동영상을 멈추고
  • 5:30 - 5:32
    양변 방정식의
    부정적분을 구해 보세요
  • 5:32 - 5:37
    양변 방정식의
    부정적분을 구해 보세요
  • 5:37 - 5:38
    좌변의
    부정적분을 구하고
  • 5:38 - 5:39
    좌변의
    부정적분을 구하고
  • 5:39 - 5:42
    우변의 부정적분을
    구해 보겠습니다
  • 5:42 - 5:45
    우변의 부정적분을
    구해 보겠습니다
  • 5:45 - 5:46
    이제 좌변은
  • 5:46 - 5:49
    어떤 방정식과
  • 5:49 - 5:50
    그 도함수가
    보인다고 했습니다
  • 5:50 - 5:53
    u 로 치환을 할 수 있습니다
  • 5:53 - 5:58
    u가 1 + x³이라면
  • 5:58 - 5:59
    적어 볼게요
  • 5:59 - 6:03
    u가 1 + x³이라면
  • 6:03 - 6:05
    du는 무엇일까요?
  • 6:05 - 6:12
    그러면 du는
    3x² dx입니다
  • 6:12 - 6:16
    u와 du에 주목하세요
  • 6:16 - 6:20
    du는 이것입니다
  • 6:20 - 6:24
    이 방정식을 다시 쓰면
  • 6:24 - 6:25
    이 방정식을 다시 쓰면
  • 6:25 - 6:36
    ∫du/u 혹은
  • 6:36 - 6:37
    ∫du/u 혹은
  • 6:37 - 6:38
    ∫1/u du이고
  • 6:38 - 6:43
    ∫1/u du이고
  • 6:43 - 6:46
    이는 무엇과 같냐면
  • 6:46 - 6:49
    ln|u| + C와 같습니다
  • 6:49 - 6:52
    ln|u| + C와 같습니다
  • 6:52 - 6:55
    ln|u| + C와 같습니다
  • 6:55 - 7:00
    ln|u| + C와 같습니다
  • 7:00 - 7:03
    그리고 u는
    1 + x³과 같음을 압니다
  • 7:03 - 7:05
    따라서 이는
  • 7:05 - 7:09
    ln|1 + x³| + C와 같습니다
  • 7:09 - 7:13
    ln|1 + x³| + C와 같습니다
  • 7:13 - 7:14
    ln|1 + x³| + C와 같습니다
  • 7:14 - 7:18
    이제 정의역을
  • 7:18 - 7:19
    x가 -1에서
    1 사이로 제한합니다
  • 7:19 - 7:25
    따라서 그 정의역에서
    이건 항상 양수입니다
  • 7:25 - 7:30
    따라서 그 정의역에서
    이건 항상 양수입니다
  • 7:30 - 7:34
    그렇기 때문에
  • 7:34 - 7:36
    절댓값 부호를
    적지 않아도 됩니다
  • 7:36 - 7:37
    따라서 이것은
  • 7:37 - 7:40
    ln(1 +x³) + C와 같습니다
  • 7:40 - 7:44
    ln(1 +x³) + C와 같습니다
  • 7:44 - 7:47
    ln(1 +x³) + C와 같습니다
  • 7:47 - 7:48
    ln(1 +x³) + C와 같습니다
  • 7:48 - 7:50
    좌변은 이러하고
  • 7:50 - 7:52
    우변은
  • 7:52 - 7:53
    훨씬 간단합니다
  • 7:53 - 7:55
    이건 간단한 다항식이죠
  • 7:55 - 7:57
    알고 있겠지만
  • 7:57 - 7:58
    여기에도 상수가 붙으니
  • 7:58 - 7:59
    차이점을 두겠습니다
  • 7:59 - 8:02
    이건 C_1이라 하죠
  • 8:02 - 8:05
    우변에선
    무엇이 나올까요?
  • 8:05 - 8:08
    부정적분은
  • 8:08 - 8:09
    부정적분은
  • 8:09 - 8:10
    x²의 부정적분은
  • 8:10 - 8:14
    x³/3입니다
  • 8:14 - 8:17
    이 첫 번째 항의
    부정적분은
  • 8:17 - 8:20
    x³입니다
  • 8:20 - 8:23
    x³의 도함수는
    3x²입니다
  • 8:23 - 8:25
    이제 이 항은
  • 8:25 - 8:28
    -3x⁵입니다
  • 8:28 - 8:30
    x⁵의 부정적분은
  • 8:30 - 8:35
    x⁶/6입니다
  • 8:35 - 8:37
    x⁶/6입니다
  • 8:37 - 8:38
    그런데 여기 3이 있습니다
  • 8:38 - 8:40
    3/6이 되므로
  • 8:40 - 8:45
    -x⁶/2입니다
  • 8:45 - 8:46
    다른 색으로 하겠습니다
  • 8:46 - 8:49
    따라가기 더 쉽도록요
  • 8:49 - 8:51
    부정적분은
    -x⁶/2입니다
  • 8:51 - 8:55
    부정적분은
    -x⁶/2입니다
  • 8:55 - 8:56
    그리고 보면
  • 8:56 - 8:57
    색이 모자라네요
  • 8:57 - 8:59
    x⁸의 부정적분은
  • 8:59 - 9:01
    x⁹/9입니다
  • 9:01 - 9:04
    x⁹에
  • 9:04 - 9:05
    여기 3이 있고
  • 9:05 - 9:08
    3/9는 3입니다
  • 9:08 - 9:10
    이제 규칙이
    보일 것이라 생각합니다
  • 9:10 - 9:13
    재미로 하나만 더 해보죠
  • 9:13 - 9:16
    x^12/12에
    여기 3이 있으니
  • 9:16 - 9:20
    x^12/4입니다
  • 9:20 - 9:22
    그리고 계속되겠죠
  • 9:22 - 9:24
    그리고 물론
    어떤 상수도 생깁니다
  • 9:24 - 9:26
    그리고 물론
    어떤 상수도 생깁니다
  • 9:26 - 9:29
    상수를 앞에 쓰겠습니다
  • 9:29 - 9:31
    이걸 복사해서
  • 9:31 - 9:34
    공간을 만들고
  • 9:34 - 9:40
    여기에 쓰도록 하죠
  • 9:40 - 9:41
    다른 상수 C_2는
  • 9:41 - 9:43
    같을 필요는 없고
  • 9:43 - 9:44
    이 모든 것도 따라옵니다
  • 9:44 - 9:46
    이제 간단히 하면
  • 9:46 - 9:48
    C_1을 양변에서 빼면
  • 9:48 - 9:49
    그러니까 C_2에서 빼면
  • 9:49 - 9:55
    ln(1 + x³)은
  • 9:55 - 9:57
    ln(1 + x³)은
  • 9:57 - 9:59
    ln(1 + x³)은
  • 9:59 - 10:00
    적분으로 이렇게
  • 10:00 - 10:02
    한 것이 꽤 멋있네요
  • 10:02 - 10:05
    이건 C_2 - C_1이 되는데
  • 10:05 - 10:08
    어떤 상수에서
    상수를 빼는 것이니
  • 10:08 - 10:13
    어떤 상수가 되고
  • 10:13 - 10:17
    그리고 이 모두를
    더한 것이 됩니다
  • 10:17 - 10:20
    정의역 안의
    x에 값을 대입해
  • 10:20 - 10:22
    상수가 무엇인지
    구할 수도 있습니다
  • 10:22 - 10:26
    상수가 무엇인지
    구할 수도 있습니다
  • 10:26 - 10:30
    x가 0이면
    -1과 1 사이이니까
  • 10:30 - 10:32
    x가 0이면
    C가 어떻게 되는지 봅시다
  • 10:32 - 10:33
    x가 0이면
    C가 어떻게 되는지 봅시다
  • 10:33 - 10:38
    만약 x가 0이라면
  • 10:38 - 10:46
    ln(1)은 C에
  • 10:46 - 10:50
    0이 되는 이 모든 항을
    더한 것과 같고
  • 10:50 - 10:52
    0의 세제곱에서
    0의 여섯제곱이고
  • 10:52 - 10:53
    이렇게 계속됩니다
  • 10:53 - 10:55
    계속 0만 더하게 됩니다
  • 10:55 - 10:56
    그리고 다른 방향으로
  • 10:56 - 10:57
    ln(1)은 당연히
  • 10:57 - 10:58
    e의 어느
    거듭제곱이 1인가요?
  • 10:58 - 11:00
    당연히 0이죠
  • 11:00 - 11:01
    따라서 C는 0입니다
  • 11:01 - 11:03
    C는 0과 같습니다
  • 11:03 - 11:05
    여기 이것은
    0과 같습니다
  • 11:05 - 11:09
    지금까지 조금의
    적분을 이용해 한 것은
  • 11:09 - 11:10
    0이 되는 이 모든 항을
    더한 것과 같고
  • 11:10 - 11:12
    일어난 일을
    다시 살펴봅시다
  • 11:12 - 11:15
    임의의 무한급수에서 시작해
  • 11:15 - 11:18
    이것을 등비급수로
    나타낼 수 있다고 보였고
  • 11:18 - 11:20
    이것이 수렴하는
    수렴 구간을 정의했고
  • 11:20 - 11:22
    이것이 수렴하는
    수렴 구간을 정의했고
  • 11:22 - 11:23
    이는 공비의 절댓값이
  • 11:23 - 11:25
    1 미만인 구간입니다
  • 11:25 - 11:26
    그리고 이를 사용해
  • 11:26 - 11:28
    합을 구했고
  • 11:28 - 11:30
    양변의 부정적분을 구해
  • 11:30 - 11:36
    ln(1 + x³)의 전개를 구했습니다
  • 11:36 - 11:41
    ln(1 + x³)의 전개를 구했습니다
  • 11:41 - 11:46
    이건 제 생각엔 꽤
    멋있는 것 같습니다
  • 11:46 - 11:49
    ln(1 + x³)은
  • 11:49 - 11:53
    x³ - x⁶/2 + x⁹/3 등으로
  • 11:53 - 11:55
    x³ - x⁶/2 + x⁹/3 등으로
  • 11:55 - 11:56
    계속됩니다
  • 11:56 - 12:00
    마무리를 위해서
  • 12:00 - 12:02
    시그마를 사용해
    써 봅시다
  • 12:02 - 12:07
    ln(1 + x³)은
  • 12:07 - 12:09
    제한된 정의역 안
    그러니까
  • 12:09 - 12:12
    x의 절댓값이
    1 미만일 때
  • 12:12 - 12:15
    다음과 같습니다
  • 12:15 - 12:24
    시그마 n=1에서
    ∞까지
  • 12:24 - 12:31
    (x³)^n/n입니다
  • 12:31 - 12:34
    일의 거듭제곱, 이의 거듭제곱
    세제곱이 되죠
  • 12:34 - 12:35
    (x³)^n/n입니다
  • 12:35 - 12:36
    이건 (x³)¹/1이고
  • 12:36 - 12:39
    이건 (x³)²/2입니다
  • 12:39 - 12:42
    여기에 추가할 게 있습니다
  • 12:42 - 12:44
    첫 번째를 보면
  • 12:44 - 12:46
    부호에 신경써야 합니다
  • 12:46 - 12:48
    여기에 -1을 추가하도록
    하죠
  • 12:48 - 12:49
    여기에 -1을 추가하도록
    하죠
  • 12:49 - 12:52
    (-1)의 일의 거듭제곱은 음수인데
  • 12:52 - 12:53
    여기는 양수입니다
  • 12:53 - 12:57
    그러니 (-1)^n+1이라 하겠습니다
  • 12:57 - 12:59
    그러니 (-1)^n+1이라 하겠습니다
  • 12:59 - 13:00
    그럼 되었을까요?
  • 13:00 - 13:00
    그런 것 같습니다
  • 13:00 - 13:02
    n이 1이면
  • 13:02 - 13:05
    이건 모두 1이 됩니다
  • 13:05 - 13:06
    이건 x³/1이고요
  • 13:06 - 13:08
    n이 2일 땐
  • 13:08 - 13:11
    이게 음수가 되고
    그게 맞습니다
  • 13:11 - 13:14
    이건 x⁶/2가 되네요
  • 13:14 - 13:15
    올바르게 구했습니다
  • 13:15 - 13:16
    다 했습니다
  • 13:16 - 13:18
    만족스럽네요
Title:
Power series representation using integration
Description:
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
13:20

Korean subtitles

Incomplete

Revisions

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