여기에 무한 급수가 있습니다
먼저 동영상을 멈추고
이것을 무한등비급수로 나타내 보세요
무한등비급수로 나타낼 수 있다면
수렴구간을 참고해 그 합을 구해 보세요
어느 x의 구간에서
여러분이 구한 무한등비급수가 수렴하고
그 합은 무엇인지 구해 보세요
시도해 보았다면
이제 같이 풀어 봅시다
제가 먼저 할 것은
공통 인수로 다항식을 인수분해하는 것입니다
식이 더 간단해 질 수 있습니다
봅시다
인수분해하면 이 모두
3x²으로 나눌 수 있습니다
다시 써보면
3x²(1 - x³ + x⁶ - x⁹이 되고
패턴이 나타납니다
같은 분홍색으로 괄호를 닫아주도록 하겠습니다
x³의 거듭제곱이 있는 것 같으니
이렇게 써 보겠습니다
이건 3x²에
이 첫 번째 항
혹은 0번째 항은
(x³)⁰이라고 할 수 있고
이건 (x³)¹
이건 (x³)²이고
이제 아시겠죠
이건 (x³)³입니다
그리고 계속됩니다
이제 계속 바뀌는 부호를 신경써야 합니다
이건 -1입니다
이게 양수이니 (-1)⁰이라고 할 수 있습니다
이건 음수이니 (-1)¹입니다
그러면 이렇게 써 봅시다
3x²에
첫 번째 항은 -1, 혹은
(-x³)⁰이고
그 다흠 부호는 덧셈 부호입니다
덧셈 부호면 (-x³)¹이라 할 수 있죠
-1의 1제곱은 -1이고
x³의 1제곱은 x³입니다
(-x³)²도 더해 주고
(-x³)³도 더해 줍니다
이건 바로 이 항에 해당합니다
-1의 세제곱은 -1이고
당연히 x³의 세제곱은 x⁹입니다
그리고 계속되고요
이렇게 하고 나면 공비가 무엇인지 알기 쉽습니다
공비는 -x³입니다
수렴구간은 무엇일까요?
수렴하려면
공비의 절댓값이 1 미만이여야 합니다
수렴하려면
공비의 절댓값
공비 -x³의 절댓값이 1 미만이여야 합니다
이걸 다르게 말하면
음수의 절댓값은
양수의 절댓값과 같기 때문에
x³의 절댓값이 1보다 작다고 하는 것과 같습니다
x³의 절댓값이 1보다 작다고 하거나
x³이 1보다 작고
-1보다 크다고 하는 것과 같습니다
이렇게 되려면
부등식의 양변에 세제곱근을 씌우면 됩니다
그러면 x는 -1과 1 사이임을 알 수 있습니다
바로 이것이 수렴 구간입니다
x를 이렇게 제한했을 때
합은 무엇일까요?
이 무한등비급수는
공비의 절댓값이 1 미만일 때 합이
먼저 첫 번째 항과
먼저 첫 번째 항
이것은 이 전체를 곱하니까
둘을 곱하면
이게 첫 번째 항입니다
3x²을 공비로 나눈 값입니다
3x²을 1에서 공비를 뺀 것으로 나눈 값입니다
1에서 -x³을 뺀 것은
1 + x³과 같습니다
여태까지 한 것은
이것이
이렇게 말해 보죠
이것은 수렴 구간 안에서 이것과 같다고 할 수 있습니다
복사해서 이렇게 써 보겠습니다
수렴 구간 안에서
x가 -1과 1 사이라면
이 둘은 같습니다
이제 미적분 모자를 써 봅시다
이게 흥미로운데
기억할지 모르지만
어떤 익숙한 것의 도함수 같이 생겼습니다
1 + x³도함수는 무엇인가요?
3x²입니다
이건 ln(1 + x³)의 도함수입니다
혹은 1 + x³의 절댓값일 수도 있고요
저를 못 믿으시겠다면
이것의 부정적분을 구해 봅시다
재미로
양변 모두의 부정적분을 구해 봅시다
그렇게 하면 결국
이것의 부정적분의
등비급수적 표현을 볼 수 있습니다
동영상을 멈추고
양변 방정식의 부정적분을 구해 보세요
좌변의 부정적분을 구하고
우변의 부정적분을 구해 보겠습니다
이제 좌변은
어떤 방정식과
그 도함수가 보인다고 했습니다
u 로 치환을 할 수 있습니다
u가 1 + x³이라면
적어 볼게요
u가 1 + x³이라면
du는 무엇일까요?
그러면 du는 3x² dx입니다
u와 du에 주목하세요
du는 이것입니다
이 방정식을 다시 쓰면
∫du/u 혹은
∫1/u du이고
이는 무엇과 같냐면
ln|u| + C와 같습니다
그리고 u는 1 + x³과 같음을 압니다
따라서 이는
ln|1 + x³| + C와 같습니다
이제 정의역을
x가 -1에서 1 사이로 제한합니다
따라서 그 정의역에서 이건 항상 양수입니다
그렇기 때문에
절댓값 부호를 적지 않아도 됩니다
따라서 이것은
ln(1 +x³) + C와 같습니다
좌변은 이러하고
우변은
훨씬 간단합니다
이건 간단한 다항식이죠
알고 있겠지만
여기에도 상수가 붙으니
차이점을 두겠습니다
이건 C_1이라 하죠
우변에선 무엇이 나올까요?
부정적분은
x²의 부정적분은
x³/3입니다
이 첫 번째 항의 부정적분은
x³입니다
x³의 도함수는 3x²입니다
이제 이 항은
-3x⁵입니다
x⁵의 부정적분은
x⁶/6입니다
그런데 여기 3이 있습니다
3/6이 되므로
-x⁶/2입니다
다른 색으로 하겠습니다
따라가기 더 쉽도록요
부정적분은 -x⁶/2입니다
그리고 보면
색이 모자라네요
x⁸의 부정적분은
x⁹/9입니다
x⁹에
여기 3이 있고
3/9는 3입니다
이제 규칙이 보일 것이라 생각합니다
재미로 하나만 더 해보죠
x^12/12에 여기 3이 있으니
x^12/4입니다
그리고 계속되겠죠
그리고 물론 어떤 상수도 생깁니다
상수를 앞에 쓰겠습니다
이걸 복사해서
공간을 만들고
여기에 쓰도록 하죠
다른 상수 C_2는
같을 필요는 없고
이 모든 것도 따라옵니다
이제 간단히 하면
C_1을 양변에서 빼면
그러니까 C_2에서 빼면
ln(1 + x³)은
적분으로 이렇게
한 것이 꽤 멋있네요
이건 C_2 - C_1이 되는데
어떤 상수에서 상수를 빼는 것이니
어떤 상수가 되고
그리고 이 모두를 더한 것이 됩니다
정의역 안의 x에 값을 대입해
상수가 무엇인지 구할 수도 있습니다
x가 0이면 -1과 1 사이이니까
x가 0이면 C가 어떻게 되는지 봅시다
만약 x가 0이라면
ln(1)은 C에
0이 되는 이 모든 항을 더한 것과 같고
0의 세제곱에서 0의 여섯제곱이고
이렇게 계속됩니다
계속 0만 더하게 됩니다
그리고 다른 방향으로
ln(1)은 당연히
e의 어느 거듭제곱이 1인가요?
당연히 0이죠
따라서 C는 0입니다
C는 0과 같습니다
여기 이것은 0과 같습니다
지금까지 조금의 적분을 이용해 한 것은
0이 되는 이 모든 항을 더한 것과 같고
일어난 일을 다시 살펴봅시다
임의의 무한급수에서 시작해
이것을 등비급수로 나타낼 수 있다고 보였고
이것이 수렴하는 수렴 구간을 정의했고
이는 공비의 절댓값이
1 미만인 구간입니다
그리고 이를 사용해
합을 구했고
양변의 부정적분을 구해
ln(1 + x³)의 전개를 구했습니다
이건 제 생각엔 꽤 멋있는 것 같습니다
ln(1 + x³)은
x³ - x⁶/2 + x⁹/3 등으로
계속됩니다
마무리를 위해서
시그마를 사용해 써 봅시다
ln(1 + x³)은
제한된 정의역 안 그러니까
x의 절댓값이 1 미만일 때
다음과 같습니다
시그마 n=1에서 ∞까지
(x³)^n/n입니다
일의 거듭제곱, 이의 거듭제곱 세제곱이 되죠
(x³)^n/n입니다
이건 (x³)¹/1이고
이건 (x³)²/2입니다
여기에 추가할 게 있습니다
첫 번째를 보면
부호에 신경써야 합니다
여기에 -1을 추가하도록 하죠
(-1)의 일의 거듭제곱은 음수인데
여기는 양수입니다
그러니 (-1)^n+1이라 하겠습니다
그럼 되었을까요?
그런 것 같습니다
n이 1이면
이건 모두 1이 됩니다
이건 x³/1이고요
n이 2일 땐
이게 음수가 되고 그게 맞습니다
이건 x⁶/2가 되네요
올바르게 구했습니다
다 했습니다
만족스럽네요