Local linearity and differentiability

在这个视频中，

我们要探求一个点的区域线性化

和一个点的可微性之间的关系。

区域线性化的理念就是，

对于一个点，如果我们足够放大这个点，

即便是一个非线性函数，在某一点是可微的，

那么在那个点实际上看着就是线性的，

我来给你们看几个这样的例子，

我们说

我们有

y = x 平方，

这里，很明显，这是一个非线性函数，

但是我们可以对某一个点进行放大，

如果我们放的足够大，

我们会看到，它看起来差不多是线性的，

我们要在（1，1）这一点放大，

我们来做一下，

在 （1，1）放大，

已经看着大体上在那一点是线性的了，

这个局部线性化的性质

非常有帮助，

当我们试图得到某个点周边的近似值时，

比方说，我们可以找到，

我们可以取点 （1，1）的导数，

用它作为我们的切线的斜率，

找到切线的方程，

用这个方程来求

我们的函数

在 x = 1 周边的函数值。

你或许并不需要

对 y= x平方 这样来求近似值，

但是对一些更复杂的函数，

它就非常非常有用了。

但是这里有一个重要的问题，

在点（1，1），

这显示了局部线性化的理念，

而它在那一点也是可微的。

现在我们来看另一个

函数上一个点的例子，

在那一点，它不可微，

我们也看不到局部线性化，

比如，

我们有

x 的绝对值，

我们把它平移一下，

不要和它重叠太多。

（ x - 1） 的绝对值

它是可微的，

只要我们不是在这里的这个拐角，

只要我们不是在点 （1，0），

任何其他的 x 值，它是可微的，

但就在 x=1 这一点，

我们已经在另一个视频中讲过，

那里怎么就不可微，

然后我们可以用这个局部线性化的理念

来做个试验，

再说一遍，这不是严谨的数学，

但是它给我们一些直观认识，

无论我们放大多少，

我们还是看到尖锐的拐角，

这很难构造唯一的切线，

一条通过点 （1，0）的唯一的直线，

我可以形成无限数量的

通过（1，0）的

而不经过曲线上其余的点的直线，

所以，请注意，

在任何地方，你看到这样像我们

在这个绝对值函数的 （1，0）点的尖锐拐角，

都是一个很好的说明，

我们不能对这一点

进行微分。