Local linearity and differentiability

在这个视频中，

我们要探讨一个点的区域线性化

和一个点的可微性之间的关系。

区域线性化的理念就是，

对于一个点，如果我们足够放大这个点，

即便是一个非线性函数，如果它在某一点是可微的，

那么在那个点实际上看着就是线性的，

我来给你们看几个这样的例子，

我们说

我们有

y = x 平方，

这里，很明显，这是一个非线性函数，

但是我们可以对某一个点进行放大，

如果我们放的足够大，

我们会看到，它看起来差不多是线性的，

我们要在（1，1）这一点放大，

我们来做一下，

在 （1，1）放大，

已经看着那一点大体是线性的了，

这个局部线性化的性质

非常有帮助，

当我们试图得到某个点周边的近似值时，

比方说，我们可以找到，

我们可以取点 （1，1）的导数，

用它作为我们的切线的斜率，

找到切线的方程，

用这个方程来求

我们的函数

在 x = 1 周边的函数值的近似值。

你或许并不需要

对 y= x平方 这样来求近似值，

但是对一些更复杂的函数，

它就非常非常有用了。

但是这里有一个重要的问题，

在点（1，1），

这显示了局部线性化的理念，

而它在那一点也是可微的。

现在我们来看另一个

函数上一个点的例子，

在那一点，它不可微，

我们也看不到局部线性化，

比如，

我们有

x 的绝对值，

我们把它平移一下，

不要和它们重叠太多。

（ x - 1） 的绝对值

它是可微的，

只要我们不是在这里的这个拐角，

只要我们不是在点 （1，0），

任何其他的 x 值，它是可微的，

但就在 x=1 这一点，

我们已经在另一个视频中讲过，

那里怎么就不可微呢，

然后我们可以用这个局部线性化的理念

来做个试验，

再说一遍，这不是严谨的数学，

但是它给我们一些直观认识，

无论我们放大多少，

我们还是看到尖锐的拐角，

这很难构造唯一的切线，

也就是一条通过点 （1，0）的唯一的直线，

我可以形成无限数量的

通过（1，0）的

而不经过曲线上其余的点的直线，

所以，请注意，

在任何地方，你看到这样像我们

在这个绝对值函数的 （1，0）点的尖锐拐角，

都是一个很好的说明，

我们不能对这一点

进行微分。

现在，我们把它缩小一点，

我们取另一个函数，

我们取一个函数，

它的可微性或者说可微性的降低

不是因为一个拐角，

而是因为当我们放大的时候，

它开始呈现线性，

但它看着像个垂直线，

一个比较好的例子

根号下--

我们说，

(4 - x 平方），

这是半径为 2 的圆的上半部分，

我们关注（2，0）这一点，

因为就在这里，

它实际上不可微，

我们给它足够放大，

我们看到就在（2，0），

我们得到的

它看起来是个垂直线，

所以，再一次，

我们不能在（2，0）进行微分，

现在，我要指出另一件事，

这些函数，你不必放大太多，

就能意识到，嗨，我在这里看到了拐点，

在这个绝对值函数，

或者在 （-2，0），

不同寻常的现象发生了，

我可能不能进行微分，

但是，有些函数，

不能像在代数，初等数学或者高等数学中看到的典型函数那样，

它们在缩小的图像中，

看着像是尖锐拐角，

但是，当我们进一步放大，我们会看到局部线性，

在那一点它们是可微的。

一个很好的例子就是，--

让我把这些去掉，

这样，我们可以放大许多，

我们说，

y 等于 x 的，--这里我要给它一个非常大的指数，

x 的 10次方，

开始它看起来就是一个拐角，

我们让它是 100次方，

好， 它看着更加像是一个拐角了，

我来让它是 1000次方，只为更好地进行观察，

在这个比例，

看起来我们在

（1，0）这一点有一个拐角，

这个曲线其实没有经过

点（1，0）

如果 x 是 1，

那么， y 就是 1，

我们放大后就能看到，

看着像一个尖锐的拐角，

会变得缓和，

这是个好事，因为这个函数

实际上在 x 的每一个值都可微，

这和我们通常看到的相比，

有些超出常规，

但是在我们放大以后，我们实际上可以看到，

我们就在

看着很尖锐的拐角那里放大，

如果我们充分放大，

就算是在看着

最尖锐的拐角，

我们看到，实际的拐角开始变缓，

它弯曲了，

我们充分地放大它，

它变得像一个直线，

在它被缩小时，你很难相信这一点，

我就在这个

远看很像拐角的点，

在我们放大它时，

我们又看到了局部的线性，

它不是一条垂直线，

再说一次，

在这条曲线上的任何一点，我们的确都可以进行微分，

我的全部观点就是

有时，你或许需要放大很多倍，

像我现在正在使用的工具 Despos

对此会很有帮助。

这不是严谨的数学，

但是它能给与你一个直观的感觉，

在你进行足够的放大时，

你会开始看到一条曲线

越来越像一条直线，

这很好地说明它是可微的。

如果你一直放大它

但它还是看着像一个尖锐的拐角，

或者放大后，

看起来它的切线可能是垂直的，

那么，你的脑子里就要画一个问号了。