Tuyến tính địa phương và tính khả vi| AP Giải tích AB| Khan Academy

Trực giác về tuyến tính địa phương liên hệ với tính khả vi thế nào sự dụng máy tính vẽ đồ thị Desmos.

Luyện tập bài này trên Khan Academy bây giờ: https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-derivative-intro/ab-linearity/e/derivative-at-a-point-as-slope-of-tangent-line?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusAB

Xem bài học tiếp theo: https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-derivative-intro/ab-derivative-intro-opt-vids/v/differentiability-implies-continuity?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusAB

Bỏ lỡ bài học trước? https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-derivative-intro/ab-linearity/v/local-linearization-intro?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusAB

AP Giải tích AB trên Khan Academy: Bill Scott sử dụng Khan Academy để dạy môn giải tích AP ở Phillips Academy tại Andover, Massachusetts, và việc giảng dạy đến từ đội ngũ của anh ấy đã hỗ trợ phát triển các bài giảng về giải tích AP của Khan Academy. Phillips Academy là một trong những trường đầu tiên dạy giải tích AP từ gần 60 năm trước.

Về Khan Academy: Khan Academy là một tổ chức phi lợi nhuận có nhiệm vụ cung cấp giáo dục miễn phí, đẳng cấp thế giới cho bất kỳ ai, bất cứ nơi nào. Chúng tôi tin rằng mọi người bất kể lứa tuổi nên có quyền truy cập không giới hạn vào nội dung giáo dục miễn phí và học theo tốc độ riêng của mình. Sử dụng phần mềm thông minh, phân tích dữ liệu sâu và giao diện người dùng trực quan, Khan Academy tự hào mang đến cho người dùng những bài luyện tập, các video hướng dẫn, và một bảng quá trình học tập cho hơn 50 môn học, có gồm Toán học, Khoa học, Lập trình máy tính, Lịch sử, Lịch sử nghệ thuật, Kinh tế và hơn thế nữa. Chúng tôi đang cùng đồng hành với các viện nghiên cứu như NASA, Bảo tàng Nghệ thuật Hiện đại (The Museum of Modern Art), Viện Khoa Học California (The California Academy of Sciences), và những học viện uy tín như MIT để mang đến các nội dung mang tính chuyên ngành. Hiện giờ, Khan Academy đã được dịch sang hàng chục ngôn ngữ, và đã có hơn 100 triệu người trên toàn thế giới sử dụng nền tảng của chúng tôi mỗi năm. Để biết thêm thông tin, hãy truy cập www.khanacademy.org, tham gia Facebook của chúng tôi hoặc theo dõi chúng tôi trên twitter tại @khanacademy.

Miễn phí. Cho tất cả mọi người. Mãi mãi. #YouCanLearnAnything

Theo dõi kênh Khan Academy: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy

Trong video này chúng ta sẽ

tìm hiểu mỗi quan hệ giữa tuyến tính địa phương

và tính khả vi tại một điểm.

Tuyến tính địa phương nghĩa là nếu ta phóng

đủ to vào một điểm,

thì thậm chí một hàm phi tuyến tính khả vi

tại điểm đó cũng sẽ nhìn có vẻ tuyến tính.

Để mình cho bạn một vài ví dụ về nó nhé.

Giả sử ta có y

bằng

x bình phương.

Đó rõ ràng là một hàm phi tuyến tính.

Nhưng ta có thể phóng to một điểm,

và nếu ta phỏng đủ to,

thì ta sẽ thấy nó khá tuyến tính.

Giả sử ta muốn phóng to điểm (1,1),

mình làm vậy nhé.

Phóng to điểm (1,1),

nó đã nhìn khá tuyến tính tại điểm đó rồi.

Và tính chất này của tuyến tính địa phương

sẽ rất có ích

khi bạn muốn xấp xỉ một hàm số tại một điểm.

Ví dụ, ta có thể tìm,

ta có thể lấy đạo hàm tại điểm (1,1),

và dùng nó như là hệ số góc của tiếp tuyến,

để tìm phương trình tiếp tuyến,

và dùng phương trình đó để xấp xỉ giá trị

của hàm số tại

x bằng 1.

Và có thể bạn không cần làm thế

cho y bằng x bình phương,

nhưng nó có thể rất có ích

cho một hàm số phức tạp hơn thế.

Nhưng điều quan trọng ở đây,

tại điểm (1,1),

nó đang thể hiện ý nghĩa của tuyến tính địa phương

và nó cũng khả vi tại điểm đó.

Giờ hãy nhìn một ví dụ khác

về một điểm trên hàm số

nhưng không khả vi

và ta cũng không thấy tuyến tính địa phương.

Ví dụ,

hãy làm

giá trị tuyệt đối của x,

và để mình dịch nó qua một chút

để chúng không trùng nhau.

Được rồi, giá trị tuyệt đối của x trừ 1.

Nó thật ra là khả vi

miễn ta không ở góc đây này,

miễn là ta không ở điểm (1,0).

Với bất kì giá trị x, nó sẽ khả vi

nhưng tại x bằng 1,

ta đã nói điều này trong video trước rồi,

tại sao nó lại không khả vi ở đó.

Và rồi ta cũng có thể dùng tuyến tính địa phương

để kiểm tra nó.

Một lần nữa, cái này không phải là toán thực thụ,

mà chỉ để mình giúp bạn dễ hiểu.

Dù ta có phong ta thế nào,

ta vẫn sẽ thấy góc nhọn này.

Nó thật khó để vẽ tiếp tuyến ở đây,

một đường duy nhất đi qua điểm (1,0)

Mình có thể vẽ vô số các đường

đi qua điểm (1,0)

nhưng sẽ không đi quan phần còn lại của đường cong.

Và chú ý nhé,

bất cứ khi nào bạn thất một góc nhọn

như tại (1,0) trong hàm giá trị tuyệt đối này,

đó sẽ là một dấu hiệu

nó sẽ không khả vi

tại điểm đó.

Giờ hãy thu nhỏ một chút

và xem qua một hàm số khác.

Hãy xem qua hàm số

khả vi hay không khả vi

không phải vì một góc nhọn

nhưng vì khi ta phóng to,

nó bắt đầu có vẻ tuyến tính,

và nhìn như một đường thẳng đứng.

Một ví dụ hay sẽ là

căn bậc hai của

giả sử

4 trừ x bình phương.

Đó là nửa hinh tròn phía trên bán kình 2.

Và bạn chú ý lên điểm (2,0).

Vì ở đây,

nó không khả vi,

và nếu ta phóng đủ to

ta thấy tại điểm (2,1)

ta có vẻ đang tiến đến gần

một đường thẳng đứng.

Một lần nũa,

nó sẽ không khả vi tại (2,1).

Một điều nữa mình muốn nói,

tất cả cái này, bạn không phải phóng quá to

để thấy minh có một góc nhọn ở đây

trên hàm giá trị tuyệt đối này,

hay tại điểm (2,0), hay tại điểm (2,0)

một điều lạ lẫm hơn bình thường

đang diễn ra , nên có lẽ nó không khả vi.

Nhưng có vài hàm số ta thường thấy

trong lớp đại số hay dự bị tích phân hay tích phân,

nhưng nó có thể giống như một góc nhọn

khi ta phóng nhỏ lại,

nhưng khi ta phóng to lần nữa ta sẽ thấy tuyến tính địa phương,

và chúng cũng khả vi tại những điểm đó.

Một ví dụ hay là,

để mình bỏ đi những cái này

để ta có thể phóng to được.

Giả sử y bằng x mũ, mình sẽ lấy số mũ thật lớn ở đây,

mình sẽ lấy số mũ thật lớn ở đây,

nên là x mũ 10.

Nó bắt đầu nhìn như góc nhọn ở đó rồi.

Hãy cho nó mũ 100 luôn nhé.

Giờ thì nó nhìn còn giống góc nhọn hơn nữa.

Để mình cho mũ 1000 xem thử nhé.

Ở tỉ lệ này,

có vẻ ta có góc nhọn tại điểm

(1,0).

Giờ đường cong này thật ra không tới điểm

(1,0)

Nếu x bằng 1,

thì y sẽ bằng 1,

và ta sẽ thấy khi ta phóng to,

cái trông như một góc nhọn này

sẽ bớt nhọn đi.

Và nó sẽ tốt thôi vì hàm số này

thật ra là khả vi tại bất kì giá trị x nào.

Nó khá lạ so với

cái ta thường thấy,

nhưng khi ta phóng to, ta sẽ thất điều đó.

Để mình phóng to cái cỏ vẻ giống

góc nhọn này,

nhưng nếu ta phóng đủ to,

thì dù có vẻ nó như một góc

rất nhọn

ta sẽ thấy nó bắt đầu bớt nhọn

và sẽ cong.

Và nếu ta phỏng đủ to,

nó sẽ nhìn như một đường thẳng.

Nó thật khó tin khi bạn phóng thật to, và

dù mình đang phóng vào điểm có vẻ như là

góc nhọn từ xa.

Nhưng khi ta phóng to vào,

ta thấy lần nữa xấp xỉ địa phương này

đó là một đường không thẳng đứng.

Và lần nữa, cái này đúng tại bất kì điểm nào khả vi

trên đường cong này.

Vậy ý của mình là

đôi khi bạn sẽ phải phóng rất to,

một công cụ như Desmos cái mình đang dùng đây

sẽ rất có ích cho việc đó.

Và đây không phải toán chặt chẽ

mà chỉ để giúp bạn hiểu được

nếu bạn phóng đủ to,

và bạn bắt đầu thấy một đường cong

nhìn càng giống đường thẳng,

đó sẽ là dấu hiệu tốt của tính khả vi.

Nếu bạn tiếp tục phóng ta và nó vẫn nhìn

như một góc nhọn,

hay nếu bạn phóng to và nó vẫn nhìn

như tiếp tuyến thẳng đứng,

thì bạn sẽ có một vài câu hỏi trong suy nghĩ đấy.