< Return to Video

Local linearity and differentiability

  • 0:01 - 0:02
    이번 동영상에선
  • 0:02 - 0:06
    점에서의 국소적 선형성과
  • 0:06 - 0:10
    점의 미분가능성의
    관계에 대해 알아보겠습니다
  • 0:10 - 0:13
    국소적 선형성은
  • 0:13 - 0:15
    어떤 점을 충분히 확대하면
  • 0:15 - 0:18
    비선형 함수도
    그 점에서 미분가능하다면
  • 0:18 - 0:21
    선형으로 보인다는 것입니다
  • 0:21 - 0:24
    예제를 보여드리죠
  • 0:24 - 0:26
    y = x²이 있다고 합시다
  • 0:26 - 0:27
    y = x²이 있다고 합시다
  • 0:27 - 0:29
    y = x²이 있다고 합시다
  • 0:29 - 0:32
    확실히 비선형 함수입니다
  • 0:32 - 0:35
    하지만 점을 확대하면
  • 0:35 - 0:37
    충분히 확대했을 때
  • 0:37 - 0:40
    거의 선형으로 보입니다
  • 0:40 - 0:42
    (1, 1)을 확대한다고 합시다
  • 0:42 - 0:44
    해보죠
  • 0:44 - 0:47
    점 (1, 1)으로 확대 중입니다
  • 0:47 - 0:52
    벌써 거의 선형으로 보입니다
  • 0:52 - 0:55
    이 국소적 선형성은
  • 0:55 - 0:57
    어떤 점 주변의 함수를
    어림하는 데 아주 유용합니다
  • 0:57 - 1:00
    어떤 점 주변의 함수를
    어림하는 데 아주 유용합니다
  • 1:00 - 1:01
    만약 점 (1,1)에서 미분하면
  • 1:01 - 1:04
    만약 점 (1,1)에서 미분하면
  • 1:04 - 1:06
    그것으로 접선의
    기울기를 구하고
  • 1:06 - 1:08
    접선의 방정식을 구해
  • 1:08 - 1:12
    함수에서 x = 1 주변 값을
    어림할 수 있습니다
  • 1:12 - 1:15
    함수에서 x = 1 주변 값을
    어림할 수 있습니다
  • 1:15 - 1:17
    함수에서 x = 1 주변 값을
    어림할 수 있습니다
  • 1:17 - 1:18
    y = x²에는 필요 없을 수 있지만
  • 1:18 - 1:20
    y = x²에는 필요 없을 수 있지만
  • 1:20 - 1:22
    복잡한 함수에는
    아주 도움이 될 수 있습니다
  • 1:22 - 1:24
    복잡한 함수에는
    아주 도움이 될 수 있습니다
  • 1:24 - 1:26
    여기서 가져갈 요점은
  • 1:26 - 1:27
    점 (1, 1)에서
  • 1:27 - 1:31
    국소적 선형성을
    볼 수 있다는 것과
  • 1:31 - 1:34
    그 점에서 미분이
    가능하다는 뜻입니다
  • 1:34 - 1:36
    다른 예제에서
  • 1:36 - 1:39
    함수 위 점이
  • 1:39 - 1:40
    미분가능하지 않고
  • 1:40 - 1:43
    국소적 선형성도
    없는 것을 확인해 봅시다
  • 1:43 - 1:45
    예를 들어
  • 1:45 - 1:48
    x의 절대값을 봅시다
  • 1:48 - 1:50
    x의 절대값을 봅시다
  • 1:50 - 1:53
    너무 겹치지 않도록
    옮기겠습니다
  • 1:53 - 1:57
    너무 겹치지 않도록
    옮기겠습니다
  • 1:57 - 2:01
    좋습니다 abs(x - 1)입니다
  • 2:01 - 2:03
    이건 이 구석에만 있지 않으면
    미분가능합니다
  • 2:03 - 2:06
    이건 이 구석에만 있지 않으면
    미분가능합니다
  • 2:06 - 2:09
    점 (1, 0)에만 있지 않다면요
  • 2:09 - 2:12
    모든 다른 x 값에서는
    미분가능합니다
  • 2:12 - 2:14
    하지만 x = 1일 때
  • 2:14 - 2:16
    다른 동영상에서
  • 2:16 - 2:18
    왜 미분가능하지 않은지 알아보았습니다
  • 2:18 - 2:20
    이를 국소적 선형성을 이용해
    확인할 수도 있습니다
  • 2:20 - 2:22
    이를 국소적 선형성을 이용해
    확인할 수도 있습니다
  • 2:22 - 2:24
    이건 완벽히 수학적이지는 않지만
  • 2:24 - 2:26
    직관을 주기 위함입니다
  • 2:26 - 2:30
    확대를 얼마나 하더라도
  • 2:30 - 2:33
    계속 뾰족한 모서리가 있습니다
  • 2:33 - 2:36
    점 (1, 0)을 지나는
    유일한 접선을 만들기 어렵겠죠
  • 2:36 - 2:41
    점 (1, 0)을 지나는
    유일한 접선을 만들기 어렵겠죠
  • 2:41 - 2:43
    나머지 곡선을 지나지 않는
  • 2:43 - 2:45
    (1, 0)을 지나는 무한한 개수의
    선을 만들 수는 있습니다
  • 2:45 - 2:48
    (1, 0)을 지나는 무한한 개수의
    선을 만들 수는 있습니다
  • 2:48 - 2:50
    이 절대값 함수의 점 (1,0)처럼
    뾰족한 모서리를 보면
  • 2:50 - 2:52
    이 절대값 함수의 점 (1,0)처럼
    뾰족한 모서리를 보면
  • 2:52 - 2:55
    이 절대값 함수의 점 (1,0)처럼
    뾰족한 모서리를 보면
  • 2:55 - 2:57
    미분가능하지 않다는
    꽤 정확한 표시입니다
  • 2:57 - 2:59
    미분가능하지 않다는
    꽤 정확한 표시입니다
  • 2:59 - 3:01
    미분가능하지 않다는
    꽤 정확한 표시입니다
  • 3:01 - 3:03
    이제 축소해서
  • 3:03 - 3:05
    다른 함수를 봅시다
  • 3:05 - 3:07
    이 함수는
  • 3:07 - 3:09
    미분가능하지 않은 이유가
  • 3:09 - 3:11
    모서리 때문이 아니라
  • 3:11 - 3:13
    확대했을 때
  • 3:13 - 3:14
    선형으로 보이긴 하지만
  • 3:14 - 3:17
    수직선이 보이기 때문입니다
  • 3:17 - 3:19
    좋은 예는 √(4 - x²)입니다
  • 3:19 - 3:22
    좋은 예는 √(4 - x²)입니다
  • 3:22 - 3:23
    좋은 예는 √(4 - x²)입니다
  • 3:23 - 3:27
    좋은 예는 √(4 - x²)입니다
  • 3:27 - 3:30
    이건 반지름이 2인 원의
    윗 부분입니다
  • 3:30 - 3:33
    점 (2,0)에 집중해 봅시다
  • 3:33 - 3:35
    이 점에서 미분가능하지
    않기 때문입니다
  • 3:35 - 3:37
    이 점에서 미분가능하지
    않기 때문입니다
  • 3:37 - 3:39
    충분히 확대해보면
  • 3:39 - 3:41
    (2, 0)에서
  • 3:41 - 3:44
    수직선에 가까워집니다
  • 3:44 - 3:49
    수직선에 가까워집니다
  • 3:49 - 3:50
    따라서 (2, 0)에서는
    미분가능하지 않습니다
  • 3:50 - 3:55
    따라서 (2, 0)에서는
    미분가능하지 않습니다
  • 3:55 - 3:56
    또한 생각해 볼 점은
  • 3:56 - 3:59
    절대값 함수에서는
    모서리가 있는지
  • 3:59 - 4:01
    확대할 필요가
    크게 없었습니다
  • 4:01 - 4:02
    확대할 필요가
    크게 없었습니다
  • 4:02 - 4:06
    또 (2, 0)이나 (-2, 0)에서는
  • 4:06 - 4:08
    무언가 이상한 일이 있으니
  • 4:08 - 4:11
    미분가능하지 않다고
    생각할 수 있습니다
  • 4:11 - 4:14
    히자만 대수학, 미적분학에서
    잘 보지 않는 함수 중에
  • 4:14 - 4:17
    히자만 대수학, 미적분학에서
    잘 보지 않는 함수 중에
  • 4:17 - 4:20
    확대하지 않았을 땐
    모서리 처럼 보이지만
  • 4:20 - 4:22
    확대하지 않았을 땐
    모서리 처럼 보이지만
  • 4:22 - 4:25
    확대하면 국소적 선형성을
    확인할 수 있는 경우가 있습니다
  • 4:25 - 4:28
    그리고 그 점에서
    미분가능하기도 하고요
  • 4:28 - 4:30
    좋은 예는
  • 4:30 - 4:32
    이걸 좀 지워서
  • 4:32 - 4:35
    많이 확대해 봅시다
  • 4:35 - 4:39
    y는
  • 4:39 - 4:41
    아주 큰 지수를 만들어서
  • 4:41 - 4:43
    x^10이라 하겠습니다
  • 4:43 - 4:46
    여기가 약간 모서리같네요
  • 4:46 - 4:48
    100까지 가보겠습니다
  • 4:48 - 4:50
    이제 더 모서리 같아졌습니다
  • 4:50 - 4:53
    1000의 제곱까지 가보겠습니다
  • 4:53 - 4:54
    이정도에서는
  • 4:54 - 4:57
    (1, 0)에 모서리가
    있는 것 같아보입니다
  • 4:57 - 4:58
    (1, 0)에 모서리가
    있는 것 같아보입니다
  • 4:58 - 5:01
    이 곡선은 사실
    (1, 0)을 지나지 않습니다
  • 5:01 - 5:03
    이 곡선은 사실
    (1, 0)을 지나지 않습니다
  • 5:03 - 5:04
    만약 x가 1이면
  • 5:04 - 5:05
    y는 1입니다
  • 5:05 - 5:07
    확대하다 보면
  • 5:07 - 5:10
    뾰족한 모서리 같은 것이
  • 5:10 - 5:12
    부드러워질 것입니다
  • 5:12 - 5:13
    그래야 합니다
  • 5:13 - 5:17
    이 함수는 모든 x에서
    미분가능하기 때문입니다
  • 5:17 - 5:18
    평소에 보는 것보다는
    생소하지만
  • 5:18 - 5:19
    평소에 보는 것보다는
    생소하지만
  • 5:19 - 5:21
    확대하면 볼 수 있습니다
  • 5:21 - 5:23
    꽤 뾰족한 모서리를
    확대해 봅시다
  • 5:23 - 5:25
    꽤 뾰족한 모서리를
    확대해 봅시다
  • 5:25 - 5:28
    충분히 확대하면
  • 5:28 - 5:30
    뾰족해 보였던 곳도
  • 5:30 - 5:31
    뾰족해 보였던 곳도
  • 5:31 - 5:33
    부드러워지면서 곡선이 됩니다
  • 5:33 - 5:35
    부드러워지면서 곡선이 됩니다
  • 5:35 - 5:36
    충분히 확대하면
  • 5:36 - 5:40
    선처럼 보입니다
  • 5:40 - 5:42
    축소해서 보았을 땐
    믿기 힘들었죠
  • 5:42 - 5:45
    지금 멀리서 보았을 때
    모서리 같았던 곳을 확대중입니다
  • 5:45 - 5:47
    지금 멀리서 보았을 때
    모서리 같았던 곳을 확대중입니다
  • 5:47 - 5:48
    하지만 확대하면서
  • 5:48 - 5:52
    국소적 선형성을 확인할 수 있고
  • 5:52 - 5:54
    수직선도 아닙니다
  • 5:54 - 5:57
    미분가능하다는 것은 이 곡선
    어디에서나 사실입니다
  • 5:57 - 5:59
    미분가능하다는 것은 이 곡선
    어디에서나 사실입니다
  • 5:59 - 6:00
    여기서의 요점은
  • 6:00 - 6:02
    가끔 많이 확대해야 할 때가 있는데
  • 6:02 - 6:05
    제가 지금 사용하는
    Desmos 같은 도구가
  • 6:05 - 6:07
    그럴때 유용합니다
  • 6:07 - 6:09
    이건 완벽히 수학적이진 않지만
  • 6:09 - 6:12
    직관적으로
    충분히 확대했을 때
  • 6:12 - 6:14
    직관적으로
    충분히 확대했을 때
  • 6:14 - 6:16
    곡선이 선처럼 보이면
  • 6:16 - 6:18
    곡선이 선처럼 보이면
  • 6:18 - 6:20
    미분가능할 가능성이
    높다는 것을 보여줍니다
  • 6:20 - 6:22
    계속 확대해서
  • 6:22 - 6:23
    뾰족한 모서리 같거나
  • 6:23 - 6:24
    확대했는데
  • 6:24 - 6:26
    접선이 수직선이면
  • 6:26 - 6:29
    조금 더 생각해 보아야 합니다
Title:
Local linearity and differentiability
Description:
more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
06:30

Korean subtitles

Revisions Compare revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.