Local linearity and differentiability

Bu videoda biz

nöqtədə lokal linearlıq və

diferensiallıq arasındakı əlaqəni tədqiq edəcəyik.

Lokal linearlıq o deməkdir ki,

hətta xətti olmayan olmayan və diferensiallaşan

funksiyanı belə yetərincə yaxınlaşdırdıqda

o xətti kimi görünəcək.

Gəlin buna bəzi nümunələr göstərim.

Deməli, deyək ki bizim y-miz var

və o x-ın kvadratına

bərabərdir.

Funksiya buradadır və aydındır ki,qeyri-xətti funksiyadır.

Amma biz bunu yaxınlaşdıra bilərik,

əgər biz yetərincə yaxınlaşdırsaq,

görəcəyik ki, bu hardasa xəttiyə bənzəyir.

İndi isə mən istəyirəm 1.1 nöqtəsinə yaxınlaşdırım

Gəlin bunu edək.

1.1 nöqtəsinə yaxınlaşdırdıqda,

o artıq həmin nöqtədə xətti görünür.

Lokal linearlığın bu xassəsi

nöqtə ətrafında funksiyanı təxmin etməyə

çalışarkən olduqca faydalıdır.

Məsələn, biz anlaya bilərik ki,

biz 1.1 nöqtəsində funksiyanın törəməsini götürüb

onu tangentin bucaq əmsalı kimi istifadə edib,

tangent toxunanının bərabərliyini tapa bilə

və x 1-ə bərabər olduqda

bu bərabərlikdən istifadə edərək

funksiyanın qiymətlərini təxmin edə bilərik.

Əslində, y-in x-ın kvadratına

bərabır olduğu halda bunu etməyinizə ehtiyac yoxdurr

amma bu həqiqətən daha mürəkkəb funksiyalarda

çox faydalı ola bilər.

Burdakı ana məqam isə

1.1 nöqtəsində bunun

lokal linearlığı göstərdiyidir,

bu həmçinin həmin nöqtədə diferensiallaşandır da.

İndi gəlin funksiyanın

diferensial olmadığı və həmçinin

lokal linearlığa rast gəlmədiyimiz

nümunəyə baxaq.

Məsələn,

gəlin

x-ın mütləq qiyməti

və icazə verin bunu biraz kənara çəkək ki

qrafiklər çox üst-üstə düşməsinlər.

Aha, x çıx 1-in mütləq qiyməti

Əslində,biz düz qrafikin tinində olmadığımız

və 1.0 qiymətində olmadığımız müddətcə

funksiya diferensiallaşandır.

x-ın istənilən qiyməti üçün bu diferensiallaşandır,

x-ın 1-ə bərabər olduğu nöqtədən başqa

biz haqda başqa videolarda funksiyanın niyə

orada diferensiallaşan olmadığından danışmışdıq.

Biz lokal linearlaşmanı

burda da test edə bilərik.

Təkrar qeyd etmək istəyirəm ki,

bu dəqiq riyaziyyat deyil,sizə fikir yürütməyə imkan verir.

Nə qədər yaxınlaşdırsaq da,

biz sadəcə kəskin bucaq görəcəyik.

Buradan sadəcə bir,yeganə toxunan

çəkmək çətin olar.

Mən 1.0 nöqtəsindən keçən

sonsuz sayda toxunan çəkə bilərəm

hansı ki heç qrafikin digər nöqtələrindən keçmir.

Deməli,

siz hardasa indi bizim gördüyümüz kimi

1.0 nöqtəsində kəskin bucaq gördünüz,

bu çox yaxşı bir işarədir ki

biz həmin nöqtədə

diferensiallıq görməyəcəyik.

İndi gəlin biraz balacalaşdıraq,

və başqa bir funksiya götürək.

Gəlin elə bir funksiya götürək ki,

diferensiallıq və ya diferensial olmamaq

qrafikin tininə görə yox,

amma biz yaxınlaşdırdıqda

xətti göründüyü halda

şaquli xətt olaraq görünməyə başladığından olsun.

Buna yaxşı nümunə isə

deyək ki,

kökaltında

4 çıx x-ın kvadratı olsun.

Bu isə radiusu 2-ə bırabər olan çevrənin üst yarısıdır.

Və gəlin 2.0 nöqtəsinə fokuslanaq.

Çünki, düz orada

diferensiallaşan deyil.

Əgər biz yetərincə yaxınlaşdırsaq,

düz 2.0-da

görürük ki, yaxınlaşdıqca

şaquli xətdə bənzəyir.

Bir daha vurğulamaq istəyirəm ki,

2.0-da funksiya diferensiallaşan deyil.

İndi başqa bir şeyi qeyd etmək istəyirəm,

sizin həqiqətən

baxın burada modul funksiyanın qrafikində

bucaq var deyə və ya 2.0-da ya da mənfi 2.0-da deyə

və ya qrafikdə normaldan fərqli şeylər baş verir,

onda orada diferensial deyilik demək üçün

həddən artıq yaxınlaşdırmanıza ehtiyac yoxdur.

Ancaq bəzi funksiyalar da var ki,biz onlara

adətən cəbr və ya riyaziyyat dərslərində rast gəlmirik

amma o uzaqdan da kəskin bucaq kimi görünə bilir.

Buna baxmayaraq, biz

yaxınlaşdırdıqda lokal linearlığı görə bilərik və

onlar həm də həmin nöqtələrdə diferensiallaşandırlar.

Buna yaxşı nümunə kimi,

gəlin bunlardan xilas olaq,

beləcə rahatca yaxınlaşdıra bilərik.

Gəlin deyək ki,y bərabərdir

x və burda çox böyük bir qüvvət qeyd edəcəm

x üstü 10

Biraz bucaq şəklində görünməyə başlayır,

gəlin bunu 100 edək.

Hmm, bu daha da kəskin tin kimi görünür.

Gəlin daha yaxşı ölçüm üçün bunu 1000 edək

Beləliklə,bu miqyasda

sanki 1.0 nöqtəsində künc varmış kimi

görünür.

İndi, bu əyri əslində

1.0 nöqtəsinə getmir.

Əgər x 1-ə bərabər olarsa,

onda y də 1 olacaq

və biz yaxınlaşdırdıqca

kəskin küncün yumşaldığını

görəcəyik.

Bu isə yaxşıdır,çünki bu funksiya

x-ın bütün qiymətlərində diferensiallaşandır.

Bu bizim adətən

gördüyümüzdən bir az fərqlidir.

amma gəlin yaxınlaşdıraq,biz onu görəcəyik.

Gəlin bu kəskin bucağın üstunə

yaxınlaşdıraq

amma əgər biz yetərincə yaxınlaşdırsaq,

hətta küncün ən kəskin

qismində,

biz görəcəyik ki,real künc yumşaq başlayır

və əyilir.

Biz yetərincə yaxınlaşdırsaq,

bu xətt kimi görünəcək.

Həqiqətən inanmaq çətindir ki, uzaqlaşanda

məsafədən həmin yer küncə bənzəyir.

Amma biz yaxınlaşdırdıqda

təkrardan lokal linearlığı görürük.

Bu qeyri-şaquli xətdir.

Və təkrardan,bu əyrinin hər hansı nöqtəsində

funksiya diferensiallaşabiləndir.

Burdakı bütün məqam

Bəzən çox yaxınlaşdırmalı ola bilirsiz,

Desmos kimi vasitələr, hansı ki mən indi istifadə edirəm

bunu etmək üçün çox istifadəlidirlər.

Dediyim kimi,bu dəqiq riyaziyyat deyil,

bu sadəcə sizə intuisiya hissi verir ki

əgər kifayət qədər yaxınlaşdırsan,

sən əyrinin gettikcə daha da

xəttə bənzədiyini görəcəksən.

Yaxşı göstəricidir ki,bu diferensiallaşandır.

Əgər siz yaxınlaşdırmağa davam ettikcə,

o kəskin küncə bənzəyir,

şaquli tangent xəttinı bənzəyirsə

burada beyninizdə bəzi

suallar ortaya çıxmalıdır.