Local linearity and differentiability

Bu videoda biz

müəyyən nöqtədə funksiyanın
xəttiləşməsi və

diferensiallıq arasındakı əlaqəni
araşdıracağıq.

Funksiyanın xəttiləşməsi o deməkdir ki,

xətti olmayan və diferensiallanan

funksiyanı yaxınlaşdırdıqda

o, xətti funksiya kimi görünəcək.

Gəlin buna bəzi nümunələr göstərim.

Deyək ki, y

bərabərdir

x kvadratı funksiyamız var.

Funksiya buradadır və aydındır ki,
qeyri-xətti funksiyadır.

Amma biz bunu yaxınlaşdıra bilərik,

əgər yetəri qədər yaxınlaşdırsaq,

görəcəyik ki, bu, haradasa xətti funksiyaya
bənzəyir.

Onu (1,1) nöqtəsində
yaxınlaşdırmaq istəyirəm.

Gəlin bunu edək.

(1,1) nöqtəsində yaxınlaşdırdıqda,

o, artıq həmin nöqtədə xətti görünür.

Xəttiləşmənin bu xassəsi

nöqtə ətrafında funksiyanı
təxmin etmək

üçün olduqca faydalıdır.

Məsələn, biz

(1, 1) nöqtəsində funksiyanın
törəməsini götürüb

onu toxunanın bucaq əmsalı
kimi istifadə edib,

toxunanının tənliyini tapa bilərik

və bu tənlikdən istifadə edərək

x-in 1 qiymətində

funksiyanın təqribi qiymətini tapa bilərik.

Əslində, y bərabərdir x kvadratı

funksiyasında bunu etməyə ehtiyac yoxdur.

Amma bu, həqiqətən,
daha mürəkkəb funksiyalarda

çox faydalı ola bilər.

Buradakı əsas məqam isə

(1,1) nöqtəsində funksiyanın

xətti olduğunu göstərməkdir.

Bu, həmçinin həmin nöqtədə
diferensiallanır.

İndi gəlin

diferensiallana bilməyən və

xətti olmayan

nümunəyə baxaq.

Məsələn,

gəlin

modulda x,

qrafiklər çox üst-üstə düşməsin deyə

funksiyanı bir az sürüşdürək.

Deməli, modulda x çıx 1.

Əslində, düz qrafikin küncündə

və (1, 0) qiymətində olmadığımız müddətcə

funksiya diferensiallanandır.

x-in istənilən qiyməti üçün bu,
diferensiallanandır.

x-in 1-ə bərabər olduğu nöqtədə
diferensiallanan deyil.

Başqa videolarda funksiyanın niyə

orada diferensiallanan olmadığından
danışmışdıq.

Biz funksiyanın xəttiləşməsini

burada da yoxlaya bilərik.

Təkrar qeyd etmək istəyirəm ki,

bu, dəqiq riyaziyyat deyil,
sadəcə sizə fikir yürütməyə imkan verir.

Nə qədər yaxınlaşdırsaq da,

biz sadəcə kəskin bir bucaq görəcəyik.

Burada (1, 0) nöqtəsindən keçən
yalnız bir toxunan

çəkmək çətin olar.

Mən (1, 0) nöqtəsindən keçən,

ancaq qrafikin digər
nöqtələrindən keçməyən

sonsuz sayda toxunan çəkə bilərəm.

Deməli,

(1, 0 ) nöqtəsindəki kimi

kəskin küncü olan qrafik görsəniz

bu, həmin nöqtədə

funksiyanın diferensiallanan

olmamağına işarədir.

İndi gəlin biraz balacalaşdıraq

və başqa bir funksiya götürək.

Gəlin indi elə bir funksiya götürək ki,

funksiyanın diferensiallanan olub
olmamağı

qrafikin küncündən yox,

qrafiki yaxınlaşdırdıqda

xətti göründüyü halda

şaquli xətt kimi görünməyindən
asılı olsun.

Buna yaxşı nümunə isə

deyək ki,

kökaltında

4 çıx x-in kvadratı olsun.

Bu isə radiusu 2-yə bərabər olan çevrənin üst yarısıdır.

(2, 0) nöqtəsinə fokuslanaq.

Çünki funksiya orada

diferensiallanan deyil.

Əgər biz yetərincə yaxınlaşdırsaq,

(2, 0) nöqtəsində

onun şaquli xəttə

bənzədiyini görərik.

Bir daha vurğulamaq istəyirəm ki,

(2, 0) nöqtəsində
funksiya diferensiallanmır.

İndi başqa bir məqamı da
qeyd etmək istəyirəm.

Modul funksiyanın qrafikində

kəskin bir bucaq ver deyə və

o,

(2, 0) və ya (mənfi 2, 0) nöqtəsindədir deyə,
onu böyütməyimizə ehtiyac yoxdur.

Burada qəribə hal yaranır.

Bəlkə də funksiya heç diferensiallanmır.

Ancaq bəzi funksiyalar
da var ki, biz onlara,

adətən, cəbr və ya riyaziyyat
dərslərində rast gəlmirik.

Amma o, uzaqdan da
kəskin bucaq kimi görünə bilir.

Buna baxmayaraq, biz

yaxınlaşdırdıqda
xətti funksiyanı görə bilərik və

həmin nöqtələrdə
funksiya diferensiallanır.

Buna yaxşı nümunə kimi,

gəlin bunları silək,

beləcə rahatca yaxınlaşdıra bilərik.

Deyək ki, y bərabərdir

x və burada çox böyük bir
qüvvət qeyd edəcəyəm

x üstü 10.

Qrafikin küncü itiləşməyə başlayır.

Gəlin bunu 100 edək.

Bu daha da kəskin görünür.

Gəlin daha yaxşı bilinməyi
üçün bunu 1000 edək.

Beləliklə, bu ölçüdə

sanki (1, 0) nöqtəsində qrafikin
iti küncü varmış kimi

görünür.

İndi, bu əyri əslində

(1, 0) nöqtəsinə getmir.

Əgər x 1-ə bərabər olarsa,

onda y də 1 olacaq

və biz yaxınlaşdırdıqca

kəskin küncün hamarlaşdığını

görəcəyik.

Bu isə yaxşıdır, çünki bu funksiya

x-in bütün qiymətlərində diferensiallanandır.

Bu, bizim, adətən,

gördüyümüzdən bir az fərqlidir.

Amma gəlin yaxınlaşdıraq,
biz onu görəcəyik.

Kəskin küncü olan bu qrafiki

yaxınlaşdıraq.

Əgər biz yetəri qədər yaxınlaşdırsaq,

hətta küncün ən kəskin

qismində

görəcəyik ki, qrafik küncdən
başlayaraq hamarlaşır və

əyilir.

Biz yetərincə yaxınlaşdırsaq,

bu, xətt kimi görünəcək.

Uzaqlaşdırdıqda, həmin hissənin

künc kimi görünməsi inandırıcı gəlmir.

Amma biz yaxınlaşdırdıqda

təkrardan xətti funksiyanı görürük.

Bu, qeyri-şaquli xətdir.

Təkrardan bu əyrinin hər hansı nöqtəsində

funksiya diferensiallanır.

Ümumi məqam odur ki,

bəzən çox yaxınlaşdırmalı ola bilirsiniz,

istifadə etdiyim Desmos vasitələri

bunu etmək üçün çox sərfəlidir.

Dediyim kimi, bu, dəqiq riyaziyyat deyil,

bu, sadəcə sizə intuisiya hissi verir ki,

əgər kifayət qədər yaxınlaşdırsan,

sən əyrinin gettikcə daha da

xətti forma aldığını görəcəksən.

Yaxşı göstəricidir ki, bu,
diferensiallanandır.

Siz yaxınlaşdırmağa davam etdikcə,

qrafikin küncü kəskinləşirsə,

şaquli toxunana bənzəyirsə,

burada beyninizdə bəzi

suallar ortaya çıxmalıdır.