Portuguese, Brazilian

Não é incomum encontrar em livros

de cálculo alguns problemas como:
prove que o limite quando x,

por exemplo, tende a um.

Deixe-me ver uma função interessante
quando x tende a um. Vejamos.

três x vezes x menos um
sobre x menos um

E você talvez diga: Sal, por que você
escolheu x menos um

no numerador e no denominador?

Bom, eu fiz isso porque
obviamente você não pode

ter um zero aqui embaixo.

Então, a função é
não definida

quando x igual a 1, certo?

Se eu tivesse colocado apenas
três x, isso cancela

para todos os outros valores.

Então, isso é essencialmente a
reta três x, exceto quando

x igual a um, onde há um buraco.
E por isso eu fiz assim.

Como quero calcular o limite
e é interessante calculá-lo

num ponto onde
a função não existe.

Mas os livros dirão: prove que esse
limite é igual a...

bom, será igual a três, certo?

Prove isso.

E você deve usar essencialmente
a definição épsilon-delta

de limite.

Então, para provar isso, você está
essencialmente provando

o que isso significa.

E provar isso, é o
mesmo que provar,

você pode provar apenas
que dado,

então para qualquer épsilon maior
que zero, e lembre-se,

isso é o quão perto você quer
que f de x chegue do limite.

Dado um épsilon maior que
zero, para que isso seja verdade,

eu preciso provar que eu consigo ter,

que exista, um delta maior que zero.

Onde, desde que a distância entre
x e o nosso ponto limite,

x e um, é menor que delta.
Lembre-se, não queremos que x

chegue no ponto limite.

Porque a função pode ser
não definida ali.

Portanto, a distância entre x e um
precisa ser

maior que zero, certo?

É o que isso nos diz.

Então preciso provar, para um
dado épsilon, que

eu consigo um delta.

E desde que x esteja a uma distância
delta de um - e é apenas isso

que está aqui -
a distância

entre x e um, certo?

Subtrair duas coisas e tomar o

valor absoluto.

Isso é distância.

Então, desde que a distância
entre x e um seja menor que

delta, então a distância entre três x,
deixe-me escrever isso aqui em cima,

a distância entre três , vezes x menos um
sobre x menos um,

essa é a função, certo?

A distância entre isto e o ponto limite -
e três -

será menor que épsilon.

Muitos livros de cálculo escrevem isso
de forma

geral.

Como: o limite de f de x quando x
tende a "a" é igual a

"l", e então isso seria "a",

isso seria sua f de x, e isso seria

seu "l".

Em todo caso, quando
alguém diz para você provar isso,

eles estão querendo
que você prove isso.

Dado um épsilon,

você deve provar que
para qualquer épsilon dado,

ou que você me dê, que eu -
vamos supor que seja eu que

precise provar - qualquer épsilon
que você me dê,

eu preciso obter um delta onde, desde que
x esteja a uma distância delta de um,

então a função dista épsilon do
ponto limite.

Como fazemos isso?

Eu te digo que em muitas provas,

Bom, não existe uma forma
de se construir a prova.

É o que as torna interessantes
em vários níveis.

Mas estas tendem a ser sistemáticas.

O problema que eu dei a
vocês, de alguma forma,

é o mais fácil que eles te darão
quando te pedirem para prová-los

Mas em geral envolvem,
começando por este ponto aqui

e manipulando algebricamente
até que

esta expressão aqui se pareça

com esta aqui.

Então essa expressão será menor que

épsilon dividido por alguma coisa.

Ou alguma função de épsilon

É como se, bom, desde que delta
seja isso, você me dá

um épsilon, eu posso apenas
aplicá-lo, sabe, pegar épsilon

e dividi-lo por quatro por exemplo

e usá-lo como meu delta

Então terei provado o teorema.

Vamos fazê-lo aqui

Vamos começar com isso.

Vamos começar com o que
queremos provar.

E então descobrir delta que é
essencialmente uma

função de épsilon.

Então sempre que me dão
um épsilon, posso dizer...

qualquer número que você me dê,
eu te dou

um numero que,
dividido por alguma coisa,

então tudo funcionará.

Vamos lá.

Então imediatamente podemos
simplificar isso

Podemos cortar estes aqui

Fazendo isto, você ainda precisa dizer,

bom, nós só podemos fazer isso
desde que

você suponha que x não seja
igual a um.

Porque quando x é igual a um, a função
não está definida, certo?

E não tem problema. Só nos interessam
os intervalos

quando x se aproxima de um.

Só nos importamos com os
intervalos onde x se aproxima de um.

Não nos interessa quando x é
exatamente um.

Então está tudo certo.

Então isso aqui simplificará para

o valor absoluto de três x menos três
é menor do que épsilon.

Podemos colocar três em evidência
e então,

nós podemos dizer que o valor
absoluto de três vezes x menos um

é menor que épsilon.

E você já pode ver que nós
já temos um x menos um

ali e um x menos um aqui

Se nós passarmos esse três para
o outro lado, então nós

teremos conseguido, essencialmente.

Então, o valor absoluto de três
vezes algum outro número,

será o mesmo que o valor absoluto de três

vezes o valor absoluto de x menos um.

Se você não acredita em mim
tente com

outros números.

Isso será sempre positivo.

Isso será sempre positivo.

Terá a mesma magnitude.

E, é claro, isso é menor que épsilon.

É o que eu digo, sabe,
várias vezes um professor

de cálculo dirá, se isso é verdade então,
isso é verdade,

se, e somente se, isso é verdade.

É só uma forma mais formal de
dizer.

Algumas vezes eles farão
uma seta dupla,

outras escreverão se e somente se,
tipo "sse"

É o mesmo que:
se isso vale, isso também

e vale a volta.

Geralmente é o caso,
sempre que você fizer

as manipulações algébricas.

Você pode manipular isso e chegar
aqui ou o contrário.

Então eles dirão, se isso é verdade
isso também é

se, e somente se, isso é verdade.

Mas isso é só manipulação
algébrica, certo?

Você pode ir e voltar nesses passos.

E isso é verdade se, e somente se,
isso é verdade.

Então o valor absoluto de três é
apenas três, certo?

Sabemos disso.

Vamos dividir os dois lados por três
e obter - bom, eu posso me livrar

do módulo aqui.

Sabemos que isso é três.

Dividindo os dois lados da
equação por três, obtém-se

que o valor absoluto de x menos um é
menor que épsilon sobre três.

O que já fizemos até agora?

Provamos que o valor absoluto -
preciso escrever isto com outra cor.

Provamos que o valor absoluto de

três x vezes x menos um sobre
x menos um menos três é menor que épsilon

se e somente se x menos um é menor que
épsilon sobre três.

Certo?

Tipo, isso é verdade desde que
a distância entre x

e um é menor que épsilon sobre três.

Então podemos usar épsilon sobre três
como nosso delta.

Lembre-se, o objetivo disso é,
você me dando um épsilon

você me dá uma distância, ou diz,
eu quero

essa distância do meu ponto limite.

Quero a função próxima do meu
ponto limite

E essa é apenas a distância entre
a função e o

ponto limite, certo?

Essa é a f de x.

E esse é o limite para o qual
ela aproxima

Você quer estar bem próximo.

Eu digo, bom, você estará
se e somente se

x - a distância entre x e um,
ou a distância entre x e o

valor para o qual ele se aproxima -
é menor que isso.

Nós provamos isso algebricamente.

Qualquer número que você me dê -
se você me der - se

você disser, Sal, quero estar a
uma distância um do ponto limite.

Quero que f de x esteja a uma distância
menor que um do ponto limite,

eu direi, OK, te darei um terço, certo?

Porque isso é verdade.

Deixe-me escrever isso.

Digamos que você escolha épsilon igual
a um.

Você diz que precisa me provar
que existe algum valor de x,

onde, desde que este valor não esteja -
existe um valor de delta -

então, desde que não estejamos a uma
distância maior que delta de um,

então a função não estará a uma distância
maior que um

do valor do limite.

Certo?

Eu digo, bom, você me deu
um épsilon

igual a um.

Nós então, acabamos de provar, se e
somente se o valor absoluto de x menos um

é menor que qualquer número
que você me dê dividido por três.

Isso faz, de fato, muito sentido,

se você analisar o gráfico
dessa função.

Vejamos.

Deixe-me desenhar os eixos x e y.

Já sabemos que isto é a equação de três x,
exceto pelo buraco

quando x é igual a 1.

Deixe-me desenhar esse gráfico.

Terá uma inclinação de três.

Será bem inclinado.

Será parecido com isso.

E quando estivermos em um, neste
ponto aqui,

haverá um buraco, certo?

Isto é três.

Então nós provamos - se você disser

que quer estar a uma distância um
do ponto limite, é como se

você me desse um épsilon de um.

Então, essa distância aqui é um.

Certo? O que seria um número bem grande.

Você quer que a função esteja a uma
distância um do nosso

ponto limite, certo?

Porque este é o ponto limite.

O que estamos dizendo é: Você só precisa
de um terço disso

Só é preciso estar a um terço dessa
distância - então essa distância aqui

está um terço afastada de um.

Ou poderíamos dizer de forma mais
geral, este é épsilon.

Isto seria épsilon sobre três.

E isso é uma prova porque mostra que

não importa qual épsilon você me dê,
eu sempre consigo um delta

Porque eu posso pegar
qualquer número que você me dê

e dividi-lo por três.

E eu posso dividir por três
qualquer número real maior que zero.

Eu sempre posso, não importa
o que você me dê,

achar outra coisa.

Portanto, eu provei pela definição
de limite

usando épsilons e deltas, que o
limite disso

quando x se aproxima de um,
é três.

[legendado por: Vitor Tocci]