Epsilon Delta Limit Definition 2

Using the epsilon delta definition to prove a limit

En libros de cálculos, es común ver algo --

ver problemas como, prueba que el limite cuando x

ce acerca a – no se, digamos, cuando x ce acerca a 1.

Déjame pensar de una función interesante en donde x se acerca a 1.

Veremos.

3x por x menos 1 sobre x menos 1.

Y tal vez dirías, oye Sal, porque hiciste este x menos uno

en el numerador y denominador?

Pues, lo hice porque obviamente no puedes

tener un 0 aqí abajo.

Entonces esta función de veras no esta definida cuando x es

igual a 1, verdad?

Si yo solo hubiera puesto un 3x, esto se cancela para

todos los otros valores.

Entonces, esto es en efectivo la línea 3x, excepto que tiene un

hoyo cuando x es igual a 1.

Y por eso lo hice así.

Porque quiero calcular el limite, y es interesante

Tomar el limite en un punto en donde la función no existe.

Los libros dirían, oye, prueba que este limite es igual a –

Pues, es igual a 3, verdad?

Pruébalo.

Demostrar que.

Y básicamente tienes que usar el delta epsilon

definición de un límite.

Así que para probar esto, usted está esencialmente demostrando

lo que esto significa.

Y este medio--demostrando esto es lo mismo que

demostrando--por lo que sólo podría demostrar que dado--.

Así que si me dan algunos epsilon mayor que 0--y recuerda,

es la distancia que desea f de x a llegar al límite.

Dado algunos epsilon mayor que 0, para que esto sea

cierto, necesito demostrar que puedo darle--hay

existe--que, sabes, puedo darle un delta

mayor que 0.

Donde tanto tiempo como la distancia entre x y nuestro punto de límite,

x y 1, es menor que delta--Recuerde, no queremos x a

nunca obtener justo encima del punto límite.

Porque no puede definirse una función allí.

Así que la distancia entre x y 1 ha de ser

¿mayor que 0, correcto?

Eso es lo que esto nos dice.

Así que tengo que probar, me das un epsilon, que

¿Puedo darle un delta.

Y como x es en delta de 1--y esto es todo

Esto está diciendo--tanto como la distancia entre

¿x y 1, derecha?

Es entonces cuando reste 2 cosas y tomar

el valor absoluto.

Es la distancia justa.

Tanto tiempo como la distancia entre x y 1 es menos de

Delta entonces la distancia entre x 3--permítanme redactar

allí--la distancia entre 3 veces x x menos 1 más x menos 1,

¿así es la función?

La distancia entre el y el punto límite--y 3--

va a ser menor que la epsilon.

Mucho de los libros de texto de cálculo, sabes, te

Escriba en general.

Son como el límite de f de x como x enfoques una de igual a igual

l, y por lo que esto sería una.

Esta sería su f de x, y esto sería

su l, allí.

Pero de todos modos, cuando alguien dice quieren que demostrarlo,

básicamente quieren que demostrarlo.

Te voy a dar un epsilon.

Tienes que demostrar que cualquier epsilon que está dado, o

que me das, que--vamos a decir soy quien ha

para probar TI--cualquier epsilon que darme, tengo que ser capaz de

darle un delta donde, como es x dentro de delta de 1,

entonces la función es dentro de epsilon del punto límite.

Y ¿cómo lo hacemos?

Y sólo diré, ustedes saben, un montón de pruebas, es sólo de tipo

--no hay--bien, no hay una sistemática

forma de hacer pruebas.

Y es una especie de lo que los hace tan interesante

en muchos niveles.

Pero éstos, tipo de tiende a haber una manera sistemática.

Y este problema que os he dado, en cierta medida, es una especie de

lo fácil que le dan cuando te piden

para probar estos.

Pero generalmente involucran a partir de este punto derecho

aquí y algebraicamente manipular hasta obtener--

hasta esta expresión derecha aquí parece algo

como esta expresión.

Y entonces tendrás esta expresión es menor

que, sabes, epsilon dividido por algo.

O bien, usted sabe, alguna función de epsilon.

Y es como, oh, bien como el delta es que me das

un épsilon, sólo puedo aplicar que, usted sabe, epsilon

y dividirlo por 4, o lo que sea.

Y utilizarlo como mi delta.

Luego he demostrado el teorema.

Así haremos aquí.

Así que vamos a empezar con esto.

Comencemos con la clase de donde queremos llegar.

Y luego averiguar un delta que es esencialmente un

función de epsilon.

Por lo que siempre me ha dado un épsilon, puedo decir, bueno,

cualquier número que me das, voy a darle vuelta

un número que tiene, sabes, que divididos por lo que sea.

Y entonces todo funcionará.

Así que vamos a hacer eso.

Inmediatamente podemos simplificar esto.

Nos podemos cruzar estas.

Y al cruzar que, todavía tienes que decir, bueno, nos

no puede hacer eso como x--sólo puede hacer esto como largo como

Usted asume que x no es igual a 1.

Porque si x es igual a 1, esta función es undefined, verdad?

Y eso está bien porque nos preocupamos sólo de los intervalos

como x tiende a 1.

Sólo nos preocupamos por los intervalos de x tiende a 1.

No nos importa exactamente cuando x es igual a 1.

Así que eso está bien.

Entonces esto simplifica a--esto simplifica allí

--el valor absoluto de 3 x menos 3 es menor que epsilon.

Y entonces podríamos factor un 3, por lo que tiene, usted sabe, nos

podría decir que es el valor absoluto de x 3 veces menos 1

menor que epsilon.

Y ya verá, ya tenemos una x menos 1

allí y una x menos 1 allí.

Si podemos conseguir este 3 este lado, y luego veremos

hacerse, esencialmente.

Así que el valor absoluto de 3 veces algún otro número, es

va a ser lo mismo que el valor absoluto de 3 veces

el valor absoluto de x menos 1.

Y si no me creéis, o sea, pruebe con

un montón de números.

Esto va a ser positivo pase lo que pase.

Esto va a ser positivo pase lo que pase.

¿Va a tener la misma magnitud, correcta?

Y por supuesto, es menor que epsilon.

Y esto es lo que dicen--sabes, muchas veces un cálculo

Profesor dirá, si esto es cierto, esto es cierto, si y

sólo si esto es cierto.

Y es una manera elegante de decir.

A veces te hacen una flecha de dos vías.

A veces escribiré si y sólo si, tipo de un foro.

Si con 2 f's

Pero eso sólo significa que si eso es cierto, eso es cierto.

Y si esto es cierto, eso es cierto.

Y que generalmente es el caso, cuando haces sólo algunos

manipulación algebraica.

Puede manipular este respaldo para obtener, o que para conseguir.

Y luego te dicen, bien, que si esto es cierto, esto es cierto

Si esto es cierto.

Pero esto es manipulación sólo algebraica.

¿Verdad?

Porque se puede ir hacia atrás y adelante entre estos pasos.

Y eso es cierto, si eso es cierto.

¿Y entonces el valor absoluto de 3 es 3, correcto?

Sabemos que.

Vamos a dividir ambos lados por 3 y get--bien, puedo

simplemente deshacerse de los signos de valor absoluto allí.

Porque sabemos es 3.

Si se dividen a ambos lados de la ecuación por 3, obtendrá el

valor absoluto de x menos 1 es menor que epsilon más 3.

¿Así lo hemos solo hecho hasta ahora?

Sólo nos hemos demostrado que el valor absoluto--necesito

escribir esto en otro color.

Nosotros sólo hemos demostrado que el valor absoluto de esencialmente

3 veces x x menos 1 más x menos 1 menos 3 es menor que epsilon,

Si y sólo si x menos 1 es menor que epsilon más 3.

¿Verdad?

Así es como, esto es cierto, tan largo como la distancia entre x

y 1 es menor que epsilon más 3.

Tan sólo podemos utilizar epsilon 3 más como nuestro delta.

Recuerde que el punto de todo esto fue como darme

un épsilon, darme una distancia o dices, quiero

estar dentro de esta distancia de mi punto límite.

Quiero la función estar cerca del punto límite.

Y esto es sólo la distancia entre la función y

¿el punto límite, correcto?

Esto es f de x.

Y este es el límite que se aproxima.

Así que quieres ser ese cierre.

Y digo, bueno, vas a tener cerrar si y sólo si

x--la distancia entre x y 1 o la distancia entre x

y el valor se aproxima--es

menos de esto.

Tan sólo probaremos esto algebraicamente.

Para cualquier número de darme--si me das a--si

dices, Sal, quiero estar a 1 del punto límite.

Quiero f de x a ser no más que 1 desde el punto de límite,

¿entonces digo, OK, y te voy a dar 1/3, derecho?

Porque esto es cierto.

Permítanme escribir.

Así que vamos a decir que elige 1 como un epsilon.

Por lo que dices, bueno, usted necesita demostrar que hay algunos x

valor donde, como no es el valor de x hay más--

algún valor de delta.

Así como estamos no es más que delta lejos de 1, entonces

la propia función será no más que 1 lejos

el valor límite.

¿Verdad?

Y entonces digo, pues, me diste un Épsilon

es igual a 1.

Así que sólo pude hacer--solo puedo decir esto es, usted sabe, nos

sólo demuestra, si y sólo si es el valor absoluto de x menos 1

menos que cualquier número que me diste dividido por 3.

Y que realmente tiene mucho sentido si usted

gráfica de esta ecuación.

Déjame ver.

Permítanme llamar al eje x, eje y.

Ya establecimos.

Esto es similar a la ecuación de x 3 excepto que tiene

un orificio en x es igual a 1.

Permítanme dibujar el gráfico.

Lo tendremos pendiente.

Tendrá la pendiente de 3.

Así que va a ser bastante pronunciada.

Lo veremos algo parecido.

Y cuando estamos en 1--este punto derecho

Aquí--hay un agujero.

¿Verdad?

Esto es 3.

Para todos los que estamos diciendo, sólo demostramos que--por lo que si dijo

que usted quería estar a 1 de nuestro punto de límite, es como

Puedes darme un épsilon de 1.

Así, esta distancia aquí es 1.

Que sería un número bastante grande.

Por lo que desea la función de estar a 1 de nuestro

¿el punto límite, correcto?

Porque este es el punto límite.

Entonces todo lo que estamos diciendo es, sólo tienes que tomar 1/3 de.

Tan solo tenemos que estar dentro de 1/3--así que esta distancia correcta

aquí es 1/3 de 1.

O nos podríamos haber dicho en términos más generales, esto es epsilon.

Se trata de epsilon.

Esto sería epsilon más 3.

Se trata de epsilon más 3.

Y la razón de por qué esto es una prueba, es porque muestra no

importan qué epsilon me dais, siempre puedo encontrar un delta.

Porque sólo puedo tomar cualquier número que diste

me y dividirlo por 3.

Y yo puedo dividir cualquier número real mayor que 0.

Yo puedo dividir cualquier número real por 3.

Puedo siempre--no importa lo que me das - que pueda siempre

encontrar algo más.

Y por lo tanto, yo he comprobado por la definición de delta epsilon de

límites que el límite de x tiende a 1, de

Este, es igual a 3.