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Lei dos cossenos

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    No último vídeo, resolvemos um problema onde tínhamos...
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    Tínhamos, essencilamente, de descobrir os lados de um triângulo mas,
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    em vez de podermos aplicar, simplesmente,
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    o teorema de Pitágoras, e porque era um triângulo rectângulo, era apenas
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    um triângulo normal.
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    Não era um triângulo rectângulo.
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    E percorrêmo-lo, mais ou menos, usando SOHCAHTOA e
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    as nossas funções trignométricas muito simples e obtivemos
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    a resposta certa.
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    O que quero fazer agora é introduzir-vos a algo
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    chamado "lei dos cossenos", que provámos, essencialmente, no último
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    vídeo mas quero prová-la numa forma mais, sabem,
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    sem o problema a atrapalhar
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    e quero mostrar-vos que, quando já souberem a "lei dos cossenos",
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    podem aplicá-la a um problema, como fizémos atrás
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    e vão fazê-lo mais depressa.
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    Tenho algumas reservas quanto a isso porque não sou um
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    grande fã de memorizar coisas.
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    Quando tiverem 40 anos, provavelmente já não vão ter
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    a "lei dos cossenos" memorizada, mas se tiverem a
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    capacidade de começar com as funções trigonométricas e progredir,
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    a partir daí, estarão sempre tranquilos.
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    E ficaria impressionado se ainda estiverem a fazer
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    trigonometria aos 40, mas quem sabe?
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    Então vamos lá ver o que é isto da
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    "lei dos cossenos".
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    Vamos assumir que eu conheço este ângulo teta.
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    E vamos chamar a este lado, sei lá, 'a'.
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    Não, vamos chamar a este lado 'b'.
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    Estou a ser um pouco aleatório.
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    Na verdade, deixem-me ficar nas cores dos lados.
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    Vamos chamar àquele 'b' e vamos chamar a este 'c' e vamos
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    chamar a este 'a'.
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    Então, se isto fosse um triângulo rectângulo, poderíamos ter
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    usaado o teorema de Pitágoras, mas, agora, não podemos.
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    Então o que é que fazemos?
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    Então sabemos-- bem, vamos assumir que sabemos 'b', sabemos
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    'c', sabemos teta e queremos descobrir 'a'.
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    Mas, de forma geral, desde que saibas três destes, podes
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    descobrir o quarto quando souberes a lei dos cossenos.
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    Então, como é que o podemos fazer?
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    Bem, vamos fazê-lo exactamente da mesma forma
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    que fizemos no último problema.
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    Podemos criar uma linha,aqui, para fazer-- oh, meu Deus,
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    que trapalhice.
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    Pensava que estava a usar a ferramenta da linha.
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    Editar, anular.
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    Então, posso criar uma linha assim.
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    Portanto, tenho dois ângulos rectos.
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    E quando já tenho triângulos rectângulos, já posso começar
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    a usar funções trigonométricas e o teorema de Pitágoras,
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    etc., etc.
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    Então, vamos ver, isto é um ângulo recto e isto é um ângulo recto.
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    Então, quanto vale este lado, aqui?
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    Deixem-me escolhe outra cor.
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    Provavelmente, vou envolver-me com todas as cores,
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    mas é para o vosso bem.
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    Então, quanto vale este lado?
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    Qual é o comprimento desse lado, do lado roxo?
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    Bem, esse lado é, simplesmente, sabem, usamos SOHCAHTOA.
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    Ia mesmo escrever SOHCAHTOA aqui em cima.
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    SOH CAH TOA
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    Então, este lado roxo é adjacente a teta e, depois, este lado azul ou
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    malva, 'b', é a hipotenusa ( certo? ) deste triângulo rectângulo.
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    Então, sabemos que-- Vou limitar-me a uma cor
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    se não vou demorar uma eternidade.
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    Sabemos que cosseno de teta-- vamos chamar a este lado, vamos
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    esta espécie de "sublado"-- Não sei, vamos
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    chamar-lhe 'd', lado 'd'.
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    Sabemos que cosseno de teta é igual a 'd' sobre 'b', certo?
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    E sabemos 'b'.
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    Ou que 'd' é igual a quê?
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    è igual a b vezes cosseno de teta.
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    Agora, vamos chamar a este lado 'e', mesmo aqui.
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    Bem, o que é 'e'?
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    Bem, 'e' é este lado 'c' todo -- lado 'c', oh, isto é
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    interessante (lado c = c side = sea side = costa marítima )-- este lado 'c' todo menos este lado 'd', certo?
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    Então, 'e' é igual a 'c' menos 'd'.
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    Acabámos de descobrir 'd', portanto o lado 'e' é igual a 'c'
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    menos 'b' cosseno de teta.
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    Então isto é 'e'.
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    Já tirámos o 'e' do caminho.
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    Bem, qual vai ser o valor deste lado mangenta?
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    Bem, vamos chamar a este lado-- vamos chamar-lhe 'm' de mangenta.
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    Bem, 'm' é oposto a teta.
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    Agora, sabemos quanto é.
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    Também já descobrimos 'c' mas sabemos 'b' e 'b' é simples.
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    Portanto, que relação nos dá 'm' sobre 'b' ou envolve o
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    lado oposto e a hipotenusa?
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    Bem, é o seno: oposto sobre hipotenusa.
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    Então, sabemos que 'm' sobre 'b' é igual a seno de teta.
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    Sabemos que-- deixem-me ir para aqui.
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    'm' sobre 'b' (certo? Porque isto é a hipotenusa) é igual a
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    seno de teta, ou que 'm' é igual a b seno
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    de teta, certo?
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    Então, descobrimos 'm', descobrimos 'e' e, agora,
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    queremos descobrir 'a'.
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    E isto devia saltar-vos à vista.
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    Temos dois lados de um triângulo rectângulo.
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    Queremos descobrir a hipotenusa.
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    Podemos usar o teorema de Pitágoras.
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    O teorema de Pitágoras diz-nos que 'a' ao quadrado é igual a 'm'
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    ao quadrado mais 'e' ao quadrado, certo?
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    Apenas o quadrado dos outros dois lados.
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    Bem, quanto é 'm' ao quadrado mais 'e' ao quadrado?
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    Deixem-me mudar para outra cor só para ser aleatório.
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    'a' ao quadrado é igual a 'm' ao quadrado.
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    'm' é b seno de teta.
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    Então, é 'b' seno de teta ao quadrado mais 'e' ao quadrado.
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    Bem, descobrimos que 'e' é isto.
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    Então é mais 'c' menos 'b' cosseno de teta ao quadrado.
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    Agora, vamos usar alguma álgebra.
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    Então, isso é igual a 'b' seno-- 'b' ao quadrado vezes seno de teta.
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    Seno ao quadrado de teta é igual a
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    seno de teta ao quadrado, certo?
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    Mais, e simplificamos o binomial, se bem que
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    não gosto de usar esse método.
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    Prefiro fazer as multiplicações.
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    'c' ao quadrado menos 2'c''b' cosseno de teta mais 'b' ao quadrado
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    Cosseno de teta, certo?
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    Apenas expandi isto multiplicando-o.
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    E, agora, vamos ver se conseguimos fazer alguma coisa interessante.
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    Bem, se tirarmos este termo e este termo, obtemos-- aqueles dois
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    termos são 'b' ao quadrado seno ao quadrado de teta mais 'b' ao quadrado
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    cosseno-- isto deve estar ao quadrado ali, certo, porque
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    elevámos ao quadrado.
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    'b' ao quadrado cosseno ao quadrado de teta e, depois, temos mais 'c'
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    ao quadrado menos 2'b''c' cosseno de teta.
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    Bem, como é que isto fica simplificado?
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    Bem, isto é a mesma coisa que 'b' ao quadrado vezes o
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    seno ao quadrado de teta mais cosseno ao quadrado de teta.
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    Qualquer coisa devia estar a saltar-vos à vista! E isto é mais 'c'
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    ao quadrado menos 2'b''c' cosseno de teta.
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    Bem, esta coisa, seno ao quadrado mais cosseno
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    ao quadrado de qualquer ângulo é igual a 1.
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    Isto é uma das identidades trigonométricas que vimos antes.
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    É a identidade do teorema de Pitágoras.
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    Então, isto é igual a 1, portanto ficamos com-- voltando
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    à minha cor original.
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    Estamos quase lá-- 'a' ao quadrado é igual a-- este termo fica
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    1, portanto 'b' ao quadrado.
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    Ficamos apenas com 'b' ao quadrado mais c ao quadrado
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    menos 2'b''c' cosseno de teta.
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    Isto é bem elegante e chama-se lei dos cossenos.
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    E é útil porque, sabem, se sabem um ângulo
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    e dois lados de um triângulo, podem, agora,
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    descobrir o outro lado.
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    Ou, na verdade, se quiserem, sabem, se souberem três lados de
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    um triângulo, podem, agora, descobrir qualquer ângulo, pelo que
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    isso também é muito útil.
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    A única razão porque estou um pouco, sabem, aqui,
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    ali, é porque eu não-- se estão a ter trigonometria agora e
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    possam vir a ter um teste, devem memorizar isto porque
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    vai-vos tornar mais rápidos, e vão obter a resposta
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    certa mais rápido.
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    Não sou um grande fã de apenas memorizar sem perceberem
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    de onde surge porque daqui a um ano ou dois,
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    quando forem para a faculdade e já tenham passado quatro anos desde que vocês
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    tiverem trigonometria, provavelmente, já não vão ter isto memorizado.
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    E, se encontrarem um problema de trigonometria de repente, é bom
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    chegar lá do zero.
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    Dito isto, esta é a lei dos cossenos e, se tivessem usado a
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    lei dos cossenos, poderiam ter resolvido o problema que fizémos, antes,
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    muito mais rápido porque basta-- sabem, só precisam de
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    definir o triângulo e, depois, basta substituir por isto e
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    poderiam ter resolvido 'a' naquele problema do navio fora de rota.
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    Vejo vocês no próximo video.
Title:
Lei dos cossenos
Description:

Introduçao à lei dos cossenos para desobrir um lado do triângulo quando conhecemos 2 lados e um ângulo.

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Video Language:
English
Duration:
09:26
João Jerónimo edited Portuguese subtitles for Law of cosines
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gaby.lourencols added a translation

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