-
.
-
In de laatste video, was er een woord probleem waarbij we...we
-
moesten de zijden van een driehoek bepalen, maar
-
in plaats van, het gebruiken van
-
de stelling van Pythagorasm en omdat het een rechthoekige driehoek was, was het
-
een normale driehoek.
-
Het was geen rechthoekige driehoek.
-
En we hadden het moeilijk dor het gebruik van SOS-CAS-TOA en
-
onze eenvoudige manier van aanpak, en we kregen
-
het juiste antwoord.
-
Wat ik nu wil doen, is je iets nieuws introduceren
-
namelijk de wet van cosinus, welke we bewezen hebben in
-
de vorige video, maar ik wil het wat duidelijker uitleggen,
-
zonder dat het woord probleem in de weg zit.
-
Ik wil je laten zien, dat wanneer je de wet van cosinus kent, dat
-
je die kunt gebruiken voor een probleem, zoals we dat in het verleden deden,
-
en je zult het sneller kunnen.
-
Ik heb er een beetje gemengd gevoel bij, omdat ik
-
geen grote fan ben van dingen uit het hoofd leren.
-
Weet je, als je ongeveer 40 jaar oud bent, dan heb je waarschijnlijk
-
de wet van cosinus niet onthouden, maar als je dat wel hebt
-
samen met de trigonometrische functies en gewoon
-
doorgaat, dan zal het altijd lukken.
-
En ik ben onder de indruk als je trigonometrische functies nog kent
-
als je 40 bent, maar wie zal het zeggen?
-
Laten we verder gaan, en kijken wat die wet
-
van cosinus inhoud.
-
Laten we deze hoek theta noemen.
-
.
-
En laten we deze zijde, weet ik veel, 'a' noemen.
-
Nee, we noemen het 'b'.
-
Het is een beetje discutabel.
-
Laat ik de kleuren van de zijden van de driehoek gebruiken.
-
Dat noemen we 'b', dat 'c', en dat
-
deze zijde noemen we 'a'.
-
Dus als dit een rechthoekige driehoek was, dan hadden we de
-
stelling van Pythagoras kunnen gebruiken, maar nu kan dat niet.
-
Wat gaan we doen.
-
We weten wat 'a' is.Laten we aannemen dat we weten wat 'b' is. We weten
-
'c', we weten theta, en dan willen we 'a' uitrekenen.
-
Maar, in het algemeen, zo lang als je deze 3 weet, dan kun
-
je de vierde uitrekenen, als je de wet van cosinus kent.
-
Hoe kunnen we dat doen?
-
Wel, we gaan het op precies dezellfde manier doen zoals we
-
het laatste probleem hebben gedaan.
-
We kunnen hier een streep zetten, o jee,
-
god, dat is slordig.
-
Ik dacht dat ik mijn 'line tool' gebruikte.
-
Wijzigen, ongedaan maken.
-
.
-
Ik kan hier dus een lijn maken.
-
Dan heb ik twee hoeken.
-
En dan als ik twee rechthoekige driehoeken heb, kan ik starten met
-
de berekeningen en de stelling van pythagoras.
-
enz., enz.
-
Laten we kijken of dit een rechte hoek is. Ja, dit is een rechte hoek.
-
En wat is deze zijde?
-
Laat ik een andere kleur kiezen.
-
Ik ga waarschijnlijk teveel kleuren gebruiken,
-
maar het is om het duidelijk te maken.
-
En wat is deze zijde?
-
Wat is de lengte of deze paarse zijde?
-
Nou, die lengte is...we gebruiken SOS-CAS-TOA.
-
Ik was SOS-CAS-TOA hier aan het schrijven.
-
.
-
Deze paarse zijde ligt aan theta, en deze blauwe of
-
lila zijde 'b' is de schuine zijde van rechthoekige driehoek.
-
We weten dus..Ik blijf even bij één kleur,
-
omdat het mij een eeuwigheid duurt om te blijven switchen naar andere kleuren.
-
Wet weten dat cosinus van theta...Laten we deze zijde een
-
soort van vervanging. Ik weet het niet, laten
-
we dit 'd' noemen. Zijde 'd'.
-
We weten dat de cosinus van theta 'd' gedeeld door 'b' is. Klopt?
-
En we weten 'b'.
-
Dus 'd' is gelijk aan wat?
-
Het is gelijk aan 'b' cosinus theta
-
Laten we dit dan zijde 'e' noemen.
-
En wat is 'e'?
-
'e' is deze hele zijde 'c', oh, dat is
-
interessant, deze zijde 'c' min 'd'. Klopt?
-
Dus 'e' is 'c' min 'd'.
-
Wij hebben zojuist 'd' opgelost. Dus zijde 'e' is gelijk aan 'c'
-
min 'b' cosinus theta
-
.
-
Dat is 'e'
-
We moeten 'e' eliminieren.
-
Hoe gaan we deze magenta lijn noemen?
-
Laten we deze magenta.. laten we het 'm' noemen van magenta.
-
.
-
'm' Ligt tegenover theta.
-
.
-
Nu weten we het.
-
We hebben 'c' ook uitgerekend, we weten 'b' en 'b' is simpel.
-
Dus welke relatie is er tussen 'm' en 'b', of heeft
-
zowel de schuine als tegenoverliggende zijde?
-
Nu, dat is sinus. Overliggende gedeeld door schuine zijde.
-
En we weten dat 'm' gedeeld door 'b' gelijk aan de sinus van theta is.
-
We weten dat...laten we hier heen gaan.
-
'm' gedeeld door 'b' , omdat dit de schuine zijde is, is gelijk aan
-
de sinus van theta, of dat 'm' gelijk is aan 'b' sinus
-
van theta.
-
We hebben nu 'm' en 'e' beredeneerd, en nu
-
willen we 'a' beredeneren.
-
En dit zou moeten opvallen.
-
We hebben twee zijden van een rechthoekige driehoek.
-
We willen de schuine zijde berekenen.
-
We kunnen de stelling van Pythagoras gebruiken.
-
De stelling van Pythagoras leert ons dat 'a' kwadraat gelijk is aan 'm' kwadraat
-
plus 'e' kwadraat.
-
Het kwadraat van de tegenoverliggende zijdes.
-
Wat is nu 'm' kwadraat plus 'e' kwadraat?
-
Laat ik voor de duidelijkheid een andere kleur nemen.
-
'a' kwadraat is gelijk aan 'm' kwadraat.
-
'm' is 'b' sinus theta.
-
Dus het is 'b' sinus theta kwadraat plus 'e' kwadraat.
-
'e' hadden we beredeneerd.
-
Het is 'c' min 'b' cosinus theta kwadraat.
-
Laten we nu door stevige algebra stappen.
-
Dus dat is gelijk aan 'b' sinus.. 'b' kwadraat sinus kwadraat theta
-
Sinus kwadraat theta betekent sinus van
-
theta kwadraat.
-
En, we hebben net ontdekt, hoewel ik
-
het liever
-
beredeneer
-
'c' kwadraat min 2'c''b' cosinus theta plus
-
cosinus theta.
-
Ik ga dit vereenvoudigen door substutitie
-
En nu, laten we kijken of we iets interessant kunnen doen
-
Als we deze vergelijking en deze krijgen we
-
de vergelijking 'b' kwadraat sinus kwadraat theta plus 'b' kwadraat
-
cosinus. Dit moet gekwadrateert worden, hier, omdat
-
we hier een kwadraat hebben.
-
'b' kwadraat cosinus kwadraat theta, en dan 'c' erbij
-
kwadraat min 2 'b''c' cosinus theta.
-
Waar gaat deze vereenvoudiging naartoe?
-
Dit is hetzelfde als 'b' kwadraat maal de
-
sinus kwadraat theta plus cosinus kwadraat theta
-
Er zou een lichtje bij je moeten opgaan, en dat is plus 'c'
-
kwadraat min 2'b''c' cosinus theta
-
Deze vergelijking, sinus kwadraat plus cosinus
-
kwadraat van elke hoek is 1.
-
Dat hebben we eerder geleerd.
-
Dat is de stelling van Pythagaros daar.
-
Dus is dus gelijk aan 1, dus hebben we over
-
Terug naar mijn oorspronkelijke kleur.
-
We zijn er bijna, een kwadraat is gelijk aan, deze vergelijking is
-
gelijk aan 1, dus 'b' kwadraat.
-
We hebben over een 'b' kwadraat plus 'c' kwadraat
-
min 2'b''c' cosinus theta.
-
Dat is mooi, en dit wordt de wet van cosinus genoemd.
-
En het is nuttig omdat, als je een hoek kent
-
en twee lengtes van een zijde van een driehoek, dan kun je nu
-
de lengte van de andere zijde uitrekenen.
-
Of eigenlijk, als je wilt, als je deze drie zijde weet van een
-
driehoek, dan kun je nu elke hoek berekenen, dus dat
-
is ook erg nuttig.
-
De enige reden dat ik niet zo heel
-
enthousiast ben is, dat je nu bezig bent met trigonometrie
-
en je hebt een test,zul je dit moeten leren, omdat
-
het je sneller laat werken, en je krijgt sneller
-
een juist antwoord.
-
Ik ben geen fan van het onthouden, zonder te weten
-
waar het vandaan komt, omdat over een jaar of twee
-
als je naar college gaat, en het is vier jaar geleden sinds je
-
trigonometrie hebt geleerd, dan ben je dit waarschijnlijk vergeten.
-
En als je zo'n probleem plotseling tegenkomt, dan is het goed
-
om vanaf het begin de oplossing te vinden.
-
Dat gezegd hebbende, dit is de wet van cosinus, en als je de
-
wet vna cosinus gebruikt, dan kon je het probleem wat we zojuist gedaan hebben
-
een stuk sneller, je hoeft alleen maar
-
de driehoek te maken, en het hierin te plaatsen en je
-
had het gemakkelijk uitgerekend.
-
Tot de volgende video.
-
.
