Legge dei coseni

Introduction to the law of cosines to solve for a side of a triangle when 2 sides and an angle are known.

Nell'ultimo video avevamo un problema a parole dove avevamo ---

essezialmente dovevamo calcolare i lati di un triangolo, ma

invece di, sai, essere in grado di usare il

teorema di Pitagora e visto che non era un triangolo rettangolo, era

un triangolo normale.

Non era un triangolo rettangolo.

E quindi ci abbiamo tipo sbuffato sopra usando il SOH CAH TOA e

le nostre semplici funzioni trigonometriche e abbiamo

ottenuto la risposta giusta.

Quello che voglio fare ora e' presentarti una cosa

chiamata legge dei coseni, che essenzialmente abbiamo dimostrato

nell'ultimo video, ma voglio dimostrartela in un modo piu' ---

sai, senza il problema a parole in mezzo e

ti voglio mostrare, una volta che sai la legge dei coseni, in modo

da poterla applicare ai problemi, come abbiamo fatto in passato,

e sarai piu' veloce.

Ho un po' un'opinione mista su questo perche' non sono un

grande amante della memorizzazione delle cose.

Sai, quando hai 40 anni, probabilmente non la sai piu'

a memoria la legge dei coseni, ma se hai la

capacita' di cominciare con le funzioni trigonometriche e

andare avanti, stai a posto per sempre.

E mi stupirei che tu stia ancora facendo trigonometria

a 40 anni, ma chi lo sa?

Quindi partiamo e vediamo di cosa parla

questa legge dei coseni.

Allora, diciamo che conosco quest'angolo θ.

E chiamiamo questo lato --- non lo so, a.

No chiamiamo questo lato b.

Vado un po' arbitrariamente qui.

In realta', fammi restare col colore dei lati.

Chiamiamo questo lato b e questo lato c e

chiamiamo questo lato a.

Allora, se questo fosse un triangolo retto potremmo usare

in qualche modo il teorema di Pitagora, ma adesso non possiamo.

Quindi che facciamo?

Allora sappiamo --- beh, assumiamo che sappiamo b, sappiamo

c, sappiamo θ e vogliamo risolvere a.

Ma in generale, conoscendo 3 di questi, puoi

risolvere il quarto una volta che conosci la legge dei coseni.

Percio' come facciamo?

Beh, lo faremo nello stesso identico modo in cui

abbiamo fatto l'ultimo problema.

Possiamo tirare giu' una retta per far --- oh, mio

Dio, che casino.

Pensavo di star usando lo strumento penna.

Modifica, Annulla.

Allora posso tirare giu' una retta cosi'.

Quindi ho due angoli retti.

E una volta che ho i triangoli rettangoli, ora posso partire

con l'utilizzo delle funzioni trigonometriche e del teorema di Pitagora,

etc, etc.

Dunque, vediamo, questo e' un angolo retto, questo e' un angolo retto.

Quindi questo lato cos'e'?

Fammi scegliere un altro colore.

Mi sa che mi sto facendo coinvolgere troppo con tutti questi colori,

ma e' per il tuo miglioramento.

Allora, quant'e' questo lato qui?

Quant'e' lungo questo lato, il lato viola?

Beh, il lato viola e', sai, usiamo SOH CAH TOA.

Scrivo SOH CAH TOA qui sopra.

Percio' questo lato viola e' adiacente a θ e poi questo lato

blu o malva e' l'ipotenusa di questo triangolo rettangolo.

Quindi sappiamo che --- rimango con lo stesso colore

perche' ci metto una vita a cambiare colore in continuazione.

Sappiamo che il cos(θ) --- chiamiamo questo lato,

chiamiamo questa specie di sub lato --- non lo so,

chiamiamolo d, lato d.

Sappiamo che il cos(θ) = d/b, giusto?

E conosciamo b.

A cosa e' uguale quel d?

E' uguale a b*cos(θ).

Ora, chiamiamo questo lato qui e.

Beh, cos'e' e?

Beh, e e' tutto questo lato c --- il lato c, oh, e'

intereaante --- tutto questo lato c meno questo lato d, giusto?

Quindi e = c - d.

Abbiamo appena risolto d, quindi il lato e e' uguale a

-b * cos(θ).

Quindi questo e' e.

Ci siamo tolti e di mezzo.

Behe, cosa sara' questo lato magenta?

Beh, chiamiamo questo lato magenta --- chiamiamolo m per magenta.

Beh, m e' opposto a θ.

Adesso, lo sappiamo.

Abbiamo anche risolto c, ma conosciamo b e b e' semplice.

Quindi che relazione ci da' m/b, o coinvolge

opposto e ipotenusa?

Beh, e' il seno: opposto fratto ipotenusa.

Quindi sappiamo che m/b = sin(θ).

Sappiamo che --- fammi andare qui.

m/b, giusto, perche' questa e' l'ipotenusa, e' uguale a

sin(θ), o che m = b* sin(θ),

giusto?

Quindi abbiamo capito m, abbiamo capito e e ora

vogliamo capire a.

E questo dovrebbe balzarti agli occhi.

Abbiamo due lati di un triangolo rettangolo.

Vogliamo capire l'ipotenusa.

Possiamo usare il teorema di Pitagora.

Il teorema di Pitagora ci dice che a^2 =

m^2 + e^2, giusto?

Semplicemente il quadrato degli altri due lati.

Beh, quant'e' m^2 + e^2?

Fammi passare arbitrariamente ad un altro colore.

a^2 = m^2.

m = b*sin(θ).

Quindi e' (b*sin(θ))^2 + e^2.

Beh, e l'abbiamo capito cos'e'.

Quindi e' c - (b*cos^θ))^2.

Adesso sbuffiamo un po' con l'algebra.

Quindi questo e' uguale a b per il seno --- b al quadrato seno al quadrato di theta.

sin^2(θ) vuol dire solo seno di

theta al quadrato, giusto?

Piu', e questo lo espandiamo, sebbene

non mi piaccia usare le formule a memoria,

Li moltiplico.

c^2 - 2cb*cos(θ) + b^2*

cos(θ), giusto?

Ho solo espanso questa moltiplicandola.

E adesso vediamo se c'e' niente di interessante da fare.

Beh, se prentiamo questo termine e questo termine otteniamo --- questi due

termini sono b^2*sin^2(θ) + b^2

cos --- questo qui dovrebbe essere al quadrato, giusto, perche'

lo abbiamo elevato al quadrato.

b^2*cos^2(θ) e poi abbiamo piu'

c^2 - 2bc*cos(θ).

Beh, a cosa si semplifica questo?

Beh, questo e' la stessa cosa di b^2 per il

sin^2(θ) + cos^2(θ).

Qualcosa che dovrebbe balzarti agli occhi e questo e'

+ c^2 - 2bc*cos(θ).

Beh, questa cosa, sin^2 + cos^2

di qualsiasi angolo e' 1.

E' una delle prime identita'.

Questa qui e' l'identita' pitagorica.

Quindi e' uguale a 1, quindi ci resta ---

torno al mio colore originale.

Ci siamo quasi --- a^2 = --- questo termine

diventa 1, quindi b^2.

CI resta a b^2 + c^2

- 2bc*cos(θ).

E' piuttosto fico e si chiama legge dei coseni.

Ed e' utile perche', sai, se conosci un qualsiasi angolo

e due dei lati di qualsiasi triangolo, ora puoi

risolvere l'altro lato.

O davvero, se vuoi, se conosci 3 lati di un

triangolo, puoi risolvere qualsiasi angolo, quindi

anche questo e' molto utile,

L'unico motivo per cui sono un po', sai, qui,

e' che non --- se stai al corso di geometria in questo periodo e

hai un test, dovresti impararlo a memoria perche'

ti rende piu' veloce e ottieni la risposta

piu' in fretta.

Non sono un grande fan dell'imparare le cose a memoria senza sapere

da dove vengono, perche' tra un anno o due anni

quando vai al college e sono passati quattro anni da quando

hai fatto trigonometria, probabilmente non te la ricordi.

E se all'improvviso ti trovi davanti un problema di trigonometria, e' bene

tipo arrivarci dal nulla.

Detto cio', questa e' la legge dei coseni e se usi

la legge dei coseni, avresti potuto fare quel problema che abbiamo fatto molto

piu' velocemente perche' --- sai, devi solo impostare

il triangolo e poi sostituisci qui e

potevi risolvere a per quel problema sulla nave fuori rotta.

Ci vediamo nel prossimo video.