Koosinusteoreem

Introduction to the law of cosines to solve for a side of a triangle when 2 sides and an angle are known.

Viimases videos oli meil probleem, kus

me pidime leidma kolmnurga küljed

aga meil polnud tegemist täisnurkse kolmnurgaga

ja me ei saanud kasutada Pythagorase teoreemi, sest meil

oli tavaline kolmnurk.

See polnud täisnurkne kolmnurk.

Ja me lahendasime selle SOHCAHTOA-t ja muid

lihtsaid trigonomeetrilisi funktsioone kasutades,

ja me saime õige vastuse.

Aga nüüd tahan ma sulel midagi tutvustada,

mille nimi on koosinusteoreem, mille me põhimõtteliselt

tõestasime eelmises videos, aga ma tahaks seda pisut paremini tõestada,

ilma teksita, mis meile tihti ette jääb,

ja ma tahaks sulle näidata, pärast seda kui sa oskad koosinusteoreemi,

et me võime seda probleemile rakendada, nagu me varem tegime,

ja et sa lahendad probleemi kiiremini.

Mul on selle suhtes küll lahkarvamus, sest ma

pole eriline meeldejätja.

Kui sa oled 40 aastane siis sul pole tõenäoliselt

enam koosinusteoreem meeles, aga kui sa suudad

alustada trigon. funktsioonidega ja lihtsalt edasi

liikuda, siis jõuad sa alati kohale.

Ja ma oleksin üsna üllatunud, kui sa lahendaksid trigot

40 aastaselt, aga kes teab ?

Aga vaatame nüüd mis see

koosinusteoreem siis on.

Ütleme et me teame seda nurka teeta.

Ja nimetame selle külje a-ks.

Ei, nimetame selle hoopis b-ks.

Ma olen pisut arbitaalne.

Las ma teen küljed värviliselt.

Nimetame selle b-ks ja selle c-ks,

ja selle a-ks.

Kui see oleks täisnurkne kolmnurk, siis

me võiksime kasutada Pythagorase teoreemi, aga nüüd me ei saa.

Mis me siis teeme?

Me teame a-d .. oletame, et me teame b-d ja

me teame c-d, me teame teetat ja me tahame leida a.

Aga üldiselt kui me teame neist kolme siis saame

leida neljanda kui me teame koosinusteoreemi.

Aga kuidas me seda teeme ?

Me teeme seda samamoodi nagu me

lahendasime eelmist probleemi.

Me võime teha siia ühe joone..

See on üsna segane.

Ma arvasin et ma kasutan joone tööriista.

Muuda, võta tagasi.

Ma võin tõmmata siia ühe joone.

Nüüd on mul kaks täisnurka.

Ja kui mul on täisnurksed kolmnurgad, siis ma võin kasutada

trigon. funkstioone ja Pythagorase teoreemi.

jne, jne.

Nii, vaatame, see on täisnurk, see on täisnurk.

Aga mis külg see siin on ?

Võtan teise värvi.

Ma tõenäoselt pingutan nende värvidega pisut üle

aga see on selleks, et sul oleks lihtsam.

Mis külg see siin on ?

Mis on selle lilla külje pikkus?

Lilla külje jaoks kasutame SOHCAHTOAdirjutan

Ma kirjutan siia üles SOCHATOA.

Niisiis, lilla külg on risti teetaga ja see sinine või

kahvatulilla külg b on selle täisnurkse kolmnurga hüpotenuus.

Ma jään nüüd ühe värvi juurde, sest

mul läheks väga kaua aega, kui ma jääksin värve vahetama.

Me teame, et teeta koosinus. Nimetame selle küljeks,

nimetame selle alumiseks küljeks. Ma ka ei tea,

nimetame selle hoopis tähega d, külg d.

Me teame, et koosinus teeta on võrdne d jagatud b´ga, eks?

Me teame ka b väärtust.

Millega on võrdne d?

See võrdub b korda koosinus teeta.

Nüüd nimetame selle külje siin tähega e.

Millega võrdub e?

Seega, e on terve c külg miinus d külg,

kas pole nii?

E on võrdne c miinus d.

Me just lahendasime d ning saame arvutada, et

e võrdub c miinus b korda koosinus teeta.

See on e.

Me saime e kätte.

Hm, mis oleks see magneetavärvi külg?

Kutsume seda magneetaks - kutsume seda m.

M on teeta vastas.

Nüüd me teame seda.

Me leidsime c ka aga me teame ka b-d ja see on lihtne.

Mis suhte annab meile m jagatud b-ga, või mis suhe sisaldab

vastaskülge ja hüpotenuusi?

See on siinus: vastaskülg jagatud hüpotenuusiga.

Me teame et m jagatud b-ga on võrdne siinus teetaga.

Me teame seda- lähen siia.

m jagatud b-ga, eks, sest see on hüpotenuus, see on

võrdne siinus teetaga, või see m on võrdne b korda siinus

teetast, eks?

Me leisime m, me leidsime e ja nüüd

tahame leida a.

Ja see peaks sulle näha olema.

Meil on täisnurkse kolmnurga kaks külge.

Me tahame teada hüpotenuusi.

Me võime kasutata Pyhtagorase teoreemi.

See ütleb meile et a ruudus on võrdne m

ruudus pluss e ruudus, eks?

Lihtsalt teise kahe külje ruut.

Mis on m ruudus pulss e ruudus?

Vahetan teisele värvile.

a ruudus on võrdne m ruuduga.

M on b korda siinus teetast.

See on b korda siinus teetast ruudus pluss e ruudus.

Noh, e leiame me siit.

Seega see on pluss c miinus b koosinus teeta ruudus.

Uurime korra algebrat.

See võrdub b siinus -- b ruudus korda siinus teeta ruudus.

Siinus teeta ruudus tähendab siinus

teeta ruutus, eks?

Ja me just leidsime selle, kuigi

mulle ei meeldi tegelt niimoodi avaldada.

Ma lihstalt korrutan selle välja.

c ruudus miinus 2 cv koosinus teeta pluss b ruudus

koosinus teetast, eks?

Ma just laiendasin seda korrtutades.

Ja nüüd vaatame kas saame midagi huvitavat teha.

Kui me võtame selle ja selle, saame et need kaks

on b ruudus siinus teeta ruudus pluss b ruudus

koosinus - see peaks olema ruudus, sest

me tõstime selle ruutu.

b ruudus koosinus teeta ruudus, ja siis on meil pluss c

ruudus miinus 2 bc koosinus teetast.

Kuidas seda lihtsustada?

See on sama mis b ruudus korda

siinus teeta ruudus pluss koosinus teeta ruudus.

Sulle peaks ilmuma et see on c

ruudus miinus 2bc koosinus teeta.

See, siinus ruudus pluss koosinus

ruudus ükskõik mis nurgast on 1.

See on üks varasematest tõestustest.

See on Pythagorase teoreem siin.

See on 1, seega jääb meile --

võtan algse värvi.

Oleme peaaegu kohal, a ruudus on võrdne -- see siin

muutub 1-ks, seega b ruudus.

Meile jääb b ruudus pluss c ruudus

miinus 2bc koosinus teeta.

See on päris ilus ja see ongi koosinusteoreem.

Ja see on kasulik sest kui sa tead nurka

ja kolmnurga kahte külge võid

lahendada kolmanda külje.

Või kui sa tahad ja tead kolme külge

siis võid leida ükskõik millise nurga, mis on

ka päris kasulik.

Aga kui sul peaks

trigonomeetrias olema test,

siis peaksid sa selle meelde jätma, sest

see teeb sind kiiremaks ja sa leiad

vastuse kiiremini.

Ma pole eriti hea meeldejätmises, kui ma

originaali ei tea, sest aasta või kahe pärast

kui sa lähed ülikooli ja sa neli aastat tagasi

õppisid trigonomeetriat, siis pole see sul tõenäoliselt enam meeles.

Ja kui sul on trigo probleem, siis on

üsna hea seda osata lahendada.

Ehk siis see ongi koosinusteoreem ja kui sa seda

kasutad, võiksid sa käesoleva probleemi palju kiiremini

lahendada kui me just lahendasime,

sest sa joonista lihtsalt kolmnurk ja süvene sellesse ning

sa võiksid selle väga kiirelt lahendada.

Näeme järgmises videos.