-
V minulém videu jsme se zabývali příkladem
na vyřešení stran v trojúhelníku.
-
Nebyl to ale pravoúhlý trojúhelník, proto
jsme nemohli použít Pythagorovu větu.
-
Byl to náhodný trojúhelník a my jsme
to zaonačili skrze SOH-CAH-TOA,
-
zkombinovali jsme trigonometrické funkce
a dostali se ke správnému výsledku.
-
V tomto videu bych vás rád seznámil
s takzvanou kosinovou větou.
-
Tu jsme v podstatě dokázali v minulém
videu, ale teď bych to chtěl rozebrat vice
-
bez konkrétního zadání, které by nás
navádělo, co je třeba udělat.
-
Chci vám také ukázat užitečnost této věty,
abyste jí dokázali použít v příkladech.
-
Maličko nevím, jak to pojmout, protože
sám nemám rád pamatování nazpaměť.
-
Až vám bude 40 let, tak si už
asi nebude kosinovou větu pamatovat,
-
ale pokud budete rozumět trigonometrickým
funkcím a budete umět je použít,
-
nebude mít problém si to odvodit.
-
Byl bych překvapený, kdybyste to
ve 40 počítali, ale kdo ví?
-
Pojďme si tedy rozebrat kosinovou větu.
-
Řekněme, že znám tento úhel,
pojmenuji ho théta.
-
Tuto stranu také znám a nazvu si jí "b".
-
...udělám popisek stejnou barvou,
jako je ta strana...
-
Takže tohle je "b" a tuhle stranu
pojmenuju "c".
-
Poslední strana bude "a".
-
Pokud by to byl pravoúhlý trojúhelník,
mohli bychom použít Pythagorovu větu.
-
Ale není, takže nemůžeme.
-
Co teď s tím?
-
Známe strany "b" a "c" i úhel théta
a chceme vyřešit délku strany "a".
-
Platí, že pokud známe tři údaje,
dokážeme vypočítat čtvrtý.
-
Pokud tedy známe kosinovou větu.
-
Jak tedy na to?
-
Uděláme to úplně stejně,
jako v minulém videu.
-
Z této strany spustíme úsečku.
-
Jej to se mi nepovedlo, zkusím to znovu.
-
...chci to vrátit...
-
Spustím z tohoto vrcholu úsečku
a tím vytvořím dva pravé úhly.
-
A teď když mám pravoúhlý trojúhelník,
můžu použít trigonometrické funkce
-
nebo i Pythagorovu větu a tak dále.
-
Máme tedy pravý úhel tady a tady.
-
Čím je tato strana?
-
...jen vyberu barvu, možná už jich je moc,
ale je to pak přehlednější...
-
Co je tedy tato strana?
-
Jaká je délka fialové strany?
-
No zjistíme to jednoduše pomocí
trigonometrických funkcí.
-
Anglická pomůcka má tvar soh-cah-toa.
-
Tato fialová strana je přilehlá k thétě.
-
No a strana "b" je přeponou
v tomto pravoúhlém trojúhelníku.
-
Víme tedy, že...
-
...budu používat jen jednu barvu,
abych to pořád nemusel přepínat...
-
Víme, že kosinus théty se rovná...
-
Pojďme si pojmenovat tuhle část strany "c"
jako "d".
-
Kosinus théty je rovno
d lomeno b, které známe.
-
Nebo vyjádříme "d" jako
d se rovná b krát kosinus théty.
-
A tuhle část si pojmenujeme "e".
-
Jak je dlouhá "e"?
-
Je to vlastně rozdíl mezi stranou "c"
a její částí "d".
-
Můžeme psát, že e se rovná c minus d.
-
Délku strany "d" už tu máme vyjádřenou,
takže jí jen dosadíme.
-
Strana "e" se tedy rovná c minus
b krát kosinus théty.
-
Takto bychom vypočítali stranu "e".
-
Jak bychom vyjádřili tutu vínovou stranu?
-
Pojmenujeme si jí třeba "m".
-
Strana "m" je protilehlá k úhlu théta.
Jaká funkce zahrnuje protilehlou stranu?
-
Známe navíc přeponu i stranu přilehlou.
-
Která funkce může být vyjádřena jako
m lomeno b?
-
Neboli jako protilehlá ku přeponě.
-
Přesně takto je definován sinus,
jako protilehlá ku přeponě.
-
Víme tedy, že m lomeno b
je rovno sinu théty.
-
A když zase vyjádřím "m" tak je to
m se rovná b krát sinus théty.
-
Zjistili jsme tedy délku stran "m" a "e"
a teď bychom chtěli i stranu "a".
-
Navážeme na to.
-
Známe dvě strany v pravoúhlém trojúhelníku
a chceme zjistit délku přepony "a".
-
Tady můžeme použít Pythagorovu větu.
-
Dle Pythagorovy věty platí a na druhou
se rovná m na druhou plus e na druhou.
-
Jen musíme všechno umocnit na druhou.
-
Čemu se rovná m na druhou
plus e na druhou?
-
...teď zase přepnu na jinou barvu...
-
Takže a na druhou je rovno m na druhou,
přičemž m se rovná b krát sinus théty.
-
Je to tedy b krát sinus théty,
to celé na druhou.
-
Plus e na druhou, kde e je rovno
c minus b krát kosinus théty.
-
Připíšu tedy plus
(c minus b krát kosinus théty) na druhou.
-
Teď už to zbývá jen nějak upravit.
-
Tady budeme mít b nadruhou krát
sinus na druhou théty.
-
Sinus na druhou théty je to samé
jako (sinus théty) na druhou.
-
Plus...
...tohle musíme udělat podle vzorečku.
-
...samozřejmě bychom
to mohli i roznásobit...
-
...bude tady c na druhou
minus 2 krát c krát b krát kosinus théty
-
plus b na druhou kosinus na druhou théty.
-
Jen jsem závorku
rozložil pomocí roznásobení.
-
Pojďme se teď podívat,
co dál s tím můžeme udělat.
-
Pokud si vezmeme tento výraz a tento a
napíšeme je k sobě,
-
budeme mít b na druhou
krát sinus na druhou théty
-
plus b na druhou
krát kosinus na druhou théty.
-
...tady jsem nedopsal druhou mocninu,
umocňovali jsme to přeci...
-
A zbývá nám tam plus c na druhou
minus 2 krát b krát c krát cosinus théty.
-
Jak můžeme tyto vybrané výrazy upravit?
-
Můžeme vytknout b na druhou.
-
Bude to b na druhou krát (sinus na druhou
théty plus kosinus na druhou théty).
-
Při pohledu na závorku byste
si měli něco vybavit.
-
A opíšu plus c na druhou
minus 2 krát b krát c krát kosinus théty.
-
Ta závorka, součet druhých mocnin sinu a
kosinu libovolného stejného úhlu, je 1.
-
Je to jedna z identit,
které jsme již probrali.
-
Pokud se toto rovná jedné, zbyde nám tam...
...už to skoro máme, zase přepnu barvu...
-
a na druhou se rovná b na druhou
plus c na druhou
-
minus 2 krát b krát c krát kosinus théty.
-
Vyšlo nám to hezky, tento výraz
byl pojmenován jako Kosinová věta.
-
Je to celkem užitečný vztah,
pokud známe úhel a dvě strany
-
libovolného trojúhelníku, můžeme pomocí
ní dopočítat vše ostatní.
-
Anebo můžou být zadány tři strany
a my máme dopočítat jakýkoli úhel.
-
To je též velmi užitečné.
-
To, co se mi na tom tolik nelíbí, je, že
se ten vztah naučíte nazpaměť,
-
protože v testu není čas na odvozování,
potřebujete být rychlejší.
-
Nemyslím si ale, že je dobré si vzoreček
zapamatovat bez vědomí, odkud se vzal.
-
A to z toho důvodu, že takto zapamatované
věci už za rok nebo za dva nevybavíte.
-
Pokud si to ale budete umět odvodit,
určitě to vybavení bude jednodušší.
-
Tohle je tedy ta kosinová věta.
-
Pokud už jí znáte, vyřešili byste tento
příklad mnohem rychleji než my tady.
-
Stačí jen si pojmenovat trojúhelník,
dosadit sem a vyřešit.
-
Těším se na vás v příštím videu.
