Косинусова теорема

Косинусова теорема за намиране на страна в триъгълник при известни други две страни.

В последното видео решавахме
текстова задача,

в която трябваше да намерим
страните в триъгълника,

без да използваме питагоровата теорема,

защото не беше правоъгълен триъгълник,

а обикновен триъгълник.

Не беше правоъгълен триъгълник.

Използвахме тригонометричните функции

и техните дефиниции
и получихме отговора.

Сега искам да те запозная с нещо,

наречено косинусова теорема, която
всъщност доказахме в последното видео.

Но искам да го докажа още веднъж,

без текстовата задача.

Искам да видим, че като знаем
косинусовата теорема,

можем да я използваме в задачи

и да ги решаваме по-бързо,

макар да не съм почитател
на помненето наизуст.

Защото когато си на 40 години,
вероятно няма помниш

косинусовата теорема,
но ако умееш да боравиш

с тригонометрични функции,
значи всичко е наред.

Ще се впечатля, ако ползваш
тригонометрични функции на 40.

Но кой знае?

Та нека видим каква е
тази косинусова теорема.

Даден ни е този ъгъл тита.

Да речем, че знам този ъгъл тита.

Да наречем тази страна например 'а'.

Не, нека наречем тази страна 'b'.

Малко произволно правя нещата тук.

Всъщност ще работя със същия цвят
като цвета на страните.

Да наречем това 'b' и това 'с'

и да наречем тази страна 'а'.

Ако това беше правоъгълен триъгълник,
можехме да ползваме

питагоровата теорема, но сега не можем.

Какво да направим?

Нека приемем, че знаем 'b', знаем 'с',
знаем тита

и трябва да намерим 'а'.

Щом знаем 3 от тези неща, можем
да намерим четвъртото,

ако знаем косинусовата теорема.

Как да решим това?

Ще го направим по същия начин, по който
решихме последната задача.

Можем да спуснем...

Леле, това не изглежда добре.

Мислех, че ползвам линията.

Връщаме, коригираме.

Спускам отсечка така.

Спускам една отсечка така,
че да се получат два прави ъгъла.

И щом имам правоъгълни триъгълници,
мога да използвам

тригонометрични функции
и питагоровата теорема и т.н.

Това е прав ъгъл
и това е прав ъгъл.

Каква е тази страна тук?

Да използваме друг цвят.

Вероятно ще имам твърде много цветове,

но така ще ти е по-ясно.

Каква е тази страна тук?

Каква е дължината на тази синя страна?

Да използваме дефинициите на
тригонометричните функции 'soh-cah-toa'.

Щe да напиша soh-cah-toa тук горе.

Тази лилава страна е прилежащ катет
за тита.

После тази синеещата страна, 'b',

е хипотенузата в
този правоъгълен триъгълник.

Ще се придържам към един цвят,

защото ще ми отнеме много време
да сменям цветовете.

Знаем косинус от тита, но
да наречем тази страна,

тази част от 'с', да я наречем 'd'.

Знаем, че косинус от тита
е равен на 'd' върху 'b'.

Освен това знаем 'b'.

Или това 'd' е равно на какво?

Равно е на 'b' по косинус от тита.

Да кръстим тази страна тук 'е'.

Добре, какво е 'е'?

'е' е тази цялата страна 'с' минус 'd'.

Значи 'е' е равно на 'с' минус 'd'.

Току-що намерихме 'd',
така че 'е' е равно на

'с' минус 'b' по косинус от тита.

Ето това е 'е'.

Намерихме 'е'.

Добре, колко ще бъде тази
пурпурна страна?

Нека да я кръстим 'm'.

Добре, 'm' е срещу тита.

Вече намерихме 'с',
но знаем и 'b', а с 'b' e лесно.

Какво е 'm' върху 'b'?

Включва срещулежащ катет
и хипотенуза.

А това е синус:
срещулежащ катет към хипотенузата.

Знаем, че 'm' върху 'b'
е равно на синус от тита.

Нека отида ето там...

Знаем, че 'm' върху хипотенузата 'b'
е равно на синус от тита;

или това 'm' е равно на
'b' по синус от тита.

Така че намерихме 'm',
намерихме 'е'

и сега трябва да намерим 'а'.

Трябва веднага да ти е ясно.

Имаме двата катета
в правоъгълен триъгълник.

Искаме да намерим хипотенузата.

Можем да ползваме питагоровата теорема.

Според питагоровата теорема а на квадрат е
равно на m на квадрат плюс е на квадрат.

Просто квадратите на двата катета.

Добре, какво е 'm' на квадрат
плюс 'е' на квадрат?

Нека да сменим цвета.

'а' на квадрат е равно на 'm' на квадрат –

'm' е 'b' по синус от тита.

Ще стане ('b' по синус от тита) на квадрат

плюс 'е' на квадрат,
и вече знаем колко е 'е'.

Става (с минус b по косинус от тита)
на квадрат.

Сега да използваме малко алгебра.

Това е равно на 'b' на квадрат
по синус на квадрат от тита.

Синус на квадрат от тита е
синус от тита на квадрат.

Плюс, току-що отбелязахме това, въпреки че
не обичам да отбелязвам така.

Просто умножавам.

'с' на квадрат минус 2cb
по косинус от тита,

плюс 'b' на квадрат по косинус тита.

Просто разкрих скобите, като умножих.

Сега да видим дали можем
да направим нещо интересно.

Ако вземем този член и този член,
получаваме –

тези двата члена са 'b' на квадрат
по синус на квадрат от тита

плюс 'b' на квадрат по косинус...

това тук трябва да е на квадрат,
защото сме повдигнали на квадрат.

'b' на квадрат
по косинус на квадрат от тита.

Това плюс 'с' на квадрат
минус 2bc по косинус от тита.

Добре, как се опростява това?

Това е същото като 'b' на квадрат
по синус на квадрат от тита

плюс косинус на квадрат от тита.

Нещо трябва да ти прави впечатление,
а именно това

плюс 'с' на квадрат минус 2bc
по косинус от тита.

Синус на квадрат плюс косинус
на квадрат за всеки ъгъл е 1.

Това е едно от предните тъждества.

Това тук е
основно тригонометрично тъждество.

Това е равно на 1, значи оставаме със...

Връщам се на предишния цвят.
Почти сме готови.

'а' на квадрат е равно на...

това тук просто става 1,
значи 'b' на квадрат.

'а' на квадрат е равно на 'b' на квадрат
плюс 'с' на квадрат

минус 2bc по косинус от тита.

Доста добре. Ето това се нарича
косинусова теорема.

Това е полезно, защото ако знаем ъгъл
и две от страните в произволен триъгълник,

можем да намерим третата страна.

Или ако знаем трите страни
в произволен триъгълник,

можем да намерим всеки ъгъл,

така че това също е много полезно.

Единственото, което не ми харесва, е,
че ако изучаваш тригонометрия в момента

и имаш тест, трябва да научиш
това наизуст,

защото така ще решаваш
задачите наистина бързо.

Не съм почитател на запаметяването,
без да знаеш откъде идва,

защото след година-две, като минеш
в по-горен клас или влезеш в университет

може би няма да помниш.

И ако неочаквано попаднеш
на тригонометрична задача,

е добре да започнеш от самото начало.

Вече знаеш косинусовата теорема и с нея
можеш да решиш същата тази задача

много по-бързо, защото само трябва да
спуснеш височината и да заместиш

и така ще имаш готово решение за 'а'.

Ще се видим в следващото видео.