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Proof: d/dx(sqrt(x))

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    有人要求讲一下
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    证明√x的导数
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    所以这集快速证明一下
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    √x的导数
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    由导数的定义可知
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    函数√x的导数
  • 0:14 - 0:22
    换颜色 更多样一些
  • 0:22 - 0:27
    它等于Δx趋于0时的极限
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    有人也说h趋于0
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    或d趋于0 这里用Δx
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    Δx趋于0时
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    然后f(x+Δx)
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    此处这是f(x)
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    所以它是√(x+Δx)-f(x)
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    此处即√x
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    整体/x的变化量Δx
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    现在看这个式子
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    还不能化简
  • 0:57 - 1:00
    使它变得适于分析
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    那么分子和分母同乘以
  • 1:03 - 1:05
    分子的共轭根式 什么意思呢？
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    把它写下来
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    Δx趋于0时的极限
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    把这再写下来
  • 1:14 - 1:14
    即√(x+Δx)
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    -√x
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    整体/Δx
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    换颜色 将它乘以
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    √(x+Δx)
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    +√x 除以
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    √(x+Δx)+√x
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    这只是1 显然可以相乘
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    假设x和Δx都不为0
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    这是一个定值 为1
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    可以相乘
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    这是1/1 将它乘以这个式子
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    得到当Δx趋于0时
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    这是(a-b)(a+b)
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    在这旁边列出来
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    (a+b)(a-b)
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    =a^2-b^2
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    这是(a+b)(a-b)
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    所以它等于a^2
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    那么这个量的平方是什么
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    两个都可以 都代表a
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    是x+Δx
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    那么得到x+Δx
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    然后b^2呢？
  • 2:32 - 2:33
    -√x类比为b
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    那么(√x)^2=x
  • 2:35 - 2:39
    整体/(Δx・
  • 2:39 - 2:41
    (√(x+Δx)+√x))
  • 2:41 - 2:46
    看看怎么化简
  • 2:46 - 2:51
    这里有x和-x
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    两者抵消了 x-x
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    然后分子和分母上剩下的
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    都有Δx
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    分子和分母同除以Δx
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    都变为1
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    所以它= 写的小点
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    因为没地方了
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    =Δx趋于0时的极限 1/
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    显然只有假设Δx--
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    一开始除以Δx
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    所以它不为0 只是趋于0
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    那么得到√(x+Δx)
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    +√x
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    现在直接求Δx趋于0时
  • 3:42 - 3:50
    它的极限
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    只需设Δx=0
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    即趋于0的含义
  • 3:54 - 3:54
    那么等于1/√x
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    对吗？Δx=0 可以忽略
  • 3:56 - 3:58
    取其极限一直到0
  • 3:58 - 4:04
    然后这显然还是√x
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    +√x
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    =1/(2√x)
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    =(1/2)x^(-1/2)
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    刚才证明了x^(1/2)
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    的导数为(1/2)x^(-1/2)
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    它跟一般情况一致
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    即求导
  • 4:29 - 4:35
    x^n的导数为
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    n・x^(n-1) 即使此处n=1/2
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    也是合乎情况的
  • 4:51 - 4:55
    未就所有的分数都给出证明 但这是开始
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    这是常见的一个 √x
  • 4:56 - 4:59
    好在证明起来不很复杂
  • 4:59 - 5:01
    下一集再见
Title:
Proof: d/dx(sqrt(x))
Description:
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
05:08

Chinese, Simplified subtitles

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