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Ich wurde gebeten einen Beweis für die Ableitung der
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Quadratwurzel von x zu erbringen. Deshalb dachte ich daran an ein kurzes
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Video über den Beweis der Ableitung der
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Quadratwurzel von x zu erstellen.
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Wir wissen aud der Definition der Ableitung, dass die
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Ableitung der Funktion Quadratwurzel von x, gleich ist
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zu -- lass mich die Farben für mehr Abwechslung ändern - das ist gleich zu
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dem Limit wenn delta x gegen 0 geht.
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Wie du weißt, sagen einige Leute h geht gegen 0,
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oder d geht gegen 0.
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Ich nutze einfach delta x.
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Also die Änderung von x über 0.
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Und dann sagen wir f von x plus delta x, so in diesem
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Fall ist dies f von x.
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Es ist also die Quadratwurzel von x plus delta x minus f von x,
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welche in diesem Fall die Quadratwurzel von x ist.
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All das über die Änderung von x, über delta x.
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Jetzt, wenn ich mir das so ansehe, gibt es kaum eine Vereinfachung.
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Ich kann das machen um etwas sinnvolles zu erhalten.
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Ich werde den Zähler und den Nenner
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mit dem Konjugat aus dem Zähler multiplizieren.
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Das ist was ich meine.
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Lass es mich umschreiben.
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Das Limit von delta x geht gegen 0. Ich schreibe um
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was ich hier habe.
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Also sagte ich, dass die Quadratwurzel von x plus delta x minus
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die Quadratwurzel von x.
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All das über delta x.
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Ich werde jetzt -- nachdem ich die Farben geändert habe -- mit
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der Quadratwurzel von x plus delta x plus der Quadratwurzel von
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x, über die Quadratwurzel von x plus delta x plus die
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Quadratwurzel von x multiplizieren.
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Das ist einfach 1. Ich könnte das natürlich multiplizieren. Wenn
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wir annehmen, dass x und delta x beide ungleich 0 sind, ist dies
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eine bestimmte Zahl und das wird 1.
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Und wir können das machen.
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Das ist 1/1. Wir multiplizieren es einfach mit dieser
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Gleichung und wir bekommen das Limit wenn delta x gegen 0 geht.
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Dies ist a minus b mal a plus b.
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Lass es mich auf der Seite machen.
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Sagen wir a plus b mal a minus b ist gleich
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a Quadrat minus b Quadrat.
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Dies ist a plus b mal a minus b.
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Also ist dies gleich a Quadrat.
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Nun, was ist diese Größe zum Quadrat oder diese Größe zum Quadrat,
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eines davon, dies sind meine a's.
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Nun, es wird einfach x plus delta x.
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So bekommen wir x plus delta x.
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Und was ist b zum Quadrat?
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Minus die Quadratwurzel von x ist b in dieser Analogie.
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Die Quadratwurzel von x Quadrat ist einfach x.
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Und alles davon über delta x mal Quadratwurzel von x
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plus delta x plus die quadratwurzel von x.
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Betrachten wir was wir vereinfachen können.
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Wir ahben ein x und dann ein minus x, so dies
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hebt sich auf: x minus x.
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Und dann bleibt uns dieser Numerator und dieser Denominator über.
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Alles was wir haben ist delta x hier und delta x hier. Daher
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teilen wir den Numerator und den Denominator durch delta x.
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Daher wir dies 1 und dies wird 1.
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Und so wird das Limit gleich zu -- Ich werde das kleiner schreiben weil
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mir der Platz ausgeht -- dem Limit wenn delta x von 1 gegen 0 geht.
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Und natürlich können wir das nur, wenn wir annehmen dass delta --
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nun, wir teilen durch delta x um mit etwas zu beginnen. Daher wissen wir
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dass es nicht 0 ist, sondern nur nach 0 strebt.
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Wir bekommen die Quadratwurzel von x plus delta x plus
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die Quadratwurzel von x.
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Wir können einfach das limit direkt nehmen
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wenn es nach 0 strebt.
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Wir können einfach delta x gleich 0 setzen.
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Das ist es was es annähert.
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Das ist gleich eins über der Quadratwurzel von x.
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Delta x ist 0. Daher können wir das vernachlässigen.
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Wir könnten das Limit bis nach 0 rechnen.
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Und dann ist das natürlich nur die Quadratwurzel von x plus
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die Quadratwurzel von x. Das ist eine
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halbe Quadratwurzel von x.
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Und das ist gleich 1/2x hoch minus 1/2.
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Deshalb haben wir bewiesen, dass x hoch 1/2, die ableitung davon ist
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1/2x hoch minus 1/2, was konsistent ist
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mit der generellen eigenschaft, dass die ableitung von -- oh, ich habe nicht
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gewusst, dass -- die ableitung von x hoch n gleich ist mit nx hoch n minus 1,
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selbst in dieem fall wo das n gleich 1/2 ist.
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Hoffentlich ist das zufriedenstellen.
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Ich habe es nicht für alle Brüche bewiesen, aber es ist ein Anfang.
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Das ist etwas häufiges, Quadratwurzel von x,
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und hoffentlich nicht zu kompliziert zu beweisen.
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Ich hoffe wir sehen uns in zukünftigen Videos.
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