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Squeeze Theorem

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    这个视频我会给你们证明
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    当x趋向0时sinx/x的极限等于1
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    但在那之前 在我讲三角学之前
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    我要复习一下极限的另一个内容
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    那就是夹逼定理
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    因为一旦你们理解了夹逼定理
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    就可以用它来证明这个问题
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    这是一个复杂的阐述
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    但我认为你们会发现它很巧妙
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    并且在理解之后会感到满足感
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    如果你们不能理解 那么就要记住了
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    因为这是很有用的极限
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    稍后我们求三角函数导数时你们就会知道
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    那么什么是夹逼定理呢
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    夹逼定理是我最喜欢的一个定理
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    可能因为它里面有squeeze这个词吧
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    夹逼定理
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    当你们在微积分的书中读到它的时候
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    看起来很复杂
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    我不知道你们是在
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    微积分还是微积分预备的教材中看到的
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    反正它看起来很复杂
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    但所讲的东西却是显而易见的
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    我举个例子
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    如果我告诉你我总是
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    Sal总是吃的比Umama吃的多
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    Umama是我的妻子
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    如果我告诉你这是对的
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    Sal总是吃的比Umama多
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    还有Sal总是吃的比--
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    我来编个虚构的人物
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    Sal吃的比Bill吃的少
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    所以在任意给定的某天里
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    Sal总是会吃的比Umama多
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    且比Bill少
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    如果我告诉你们星期二 Umama吃了300卡路里
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    Bill也吃了300卡路里
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    那么我要问的是 Sal吃了多少卡路里
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    或者说我吃了多少
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    那么 我总是比Umama吃得多--
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    多于或者等于Umama--
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    并且我总是比Bill吃得少
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    所以星期二我肯定是吃了300卡路里
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    这就是夹逼定理的要义
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    接下来我会正式地讲解
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    但从本质上来说
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    如果我总是比某物大
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    而且总是比另一个小
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    在某点二者相等
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    那么无论它们等于几
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    我也必须等于那个数
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    我被挤在了它们二者中间
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    我总是在Umama和Bill之间
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    星期二他们吃的一样多
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    那我也必须吃那么多
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    或者至少要接近那么多
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    我用数学术语表达一下
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    这定理说的是 在某一域上
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    若g(x)小于等于f(x)
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    f(x)小于等于h(x)
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    同时我们还知道
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    当x趋向a时 g(x)的极限
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    等于L 以及
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    当x趋向a时 h(x)的极限也等于L
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    那么由夹逼定理告诉我们-
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    现在我暂时不先证明
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    但理解夹逼定理讲的什么
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    是很有帮助的
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    夹逼定理告诉我们
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    当x趋向a时 f(x)的极限也一定等于L
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    这和我刚举的例子是一个意思
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    这里的f(x)
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    可以看成Sal一天吃的
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    g(x)是Umama一天吃的 h(x)则表示Bill
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    那么我总是吃的比Umama多 比Bill少
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    星期二这天 可以认为a是星期二
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    如果Umama和Bill都吃了300卡路里
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    那么我也必须是吃了300卡路里
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    我画图表示一下
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    我画一下图 换种颜色
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    夹逼定理
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    夹逼定理
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    我们画出点(a,L)
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    （a,L）
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    假设这是a
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    这是我们关心的 a点 这是L
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    g(x)是较小的函数 对吧？
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    假设这里绿色的是g(x)
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    这个是g(x)
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    我们知道当g(x)趋向--
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    g(x)看起来应该是这样的 对吗？
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    当x趋向a时
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    g(x)的极限等于L
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    在这里
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    这是g(x)
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    这就是g(x)
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    再换种颜色画h(x)
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    h(x)可能是这样
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    像这样
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    这是h(x)
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    我们还知道x趋向a时
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    这是关于x的函数
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    所以可以叫它为h(x) g(x) 或者f(x)
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    它仅仅取决于坐标轴 这是x轴
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    x趋向a时 h(x)的极限--
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    在这点 h(x)等于L
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    或者至少说极限等于L
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    这些函数
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    甚至不需要在a点有定义
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    只要这些极限
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    它的极限和它的极限都存在
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    这点也是很重要的 需要记住的
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    那么这告诉我们什么呢？
  • 6:24 - 6:25
    f(x)总是比绿色的函数大
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    比h(x)小 对吧？
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    所以我画的任何f(x)
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    必须要在这两个之间 对不对？
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    不论我怎么画 如果我要画一个函数
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    必须受这两个函数的约束来定义
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    必须要穿过这一点
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    或者至少要接近这点
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    或许函数在这点无定义
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    但x趋于a时f(x)的极限必须要等于L
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    f(x)不需要在这点有定义
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    希望这会说得通
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    也希望我举得关于卡路里的例子
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    对你们会有帮助
  • 6:59 - 7:00
    那么我们记住
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    夹逼定理
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    现在我们要证明
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    x趋于0时 sinx/x的极限为1
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    我想证明它
  • 7:16 - 7:18
    是因为它是很有用的一个极限
  • 7:18 - 7:19
    另一个原因是
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    学了夹逼定理后 有时
  • 7:21 - 7:23
    你们可能会想 它在哪里会用到呢
  • 7:23 - 7:24
    我们会看到的
  • 7:24 - 7:25
    实际上我想在下个视频里做
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    因为已经过了8分钟了
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    下个视频我们会看到 夹逼定理
  • 7:28 - 7:29
    在我们证明中的巨大作用
  • 7:29 - 7:32
    下个视频再见
Title:
Squeeze Theorem
Description:
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Video Language:
English
Duration:
07:37
Amara Bot edited Chinese, Simplified subtitles for Squeeze Theorem
amyyan added a translation

Chinese, Simplified subtitles

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