Squeeze Theorem

ในวิดีโอนี้ผมจะพิสูจน์ให้ดูว่า ลิมิต

เมื่อ x เข้าใกล้ 0 ของ sine x ส่วน x เท่ากับ 1

แต่ก่อนหน้านั้น ก่อนที่ผมจะเข้าเรื่องตรีโกณมิติ ผม

จะพูดถึงลิมิตในอีกแง่หนึ่ง

และนั่นคือ squeeze theorem

เพราะเมื่อคุณเข้าใจว่า squeeze theorem คืออะไร

คุณก็จะใช้ squeeze theorem พิสูจน์มันได้

มันต้องอธิบายยาวหน่อย แต่ผมว่า

คุณจะพบว่ามันเนี้ยบ และเจ๋งเมื่อคุณเข้าใจมันแล้ว

หากคุณไม่เข้าใจ บางทีคุณอาจจะต้องจำมันไป

เพราะมันเป็นลิมิตที่มีประโยชน์ที่ต้องรู้ไว้

เมื่อเราคิด derivatives ของฟังก์ชันตรีโกณฯ

แล้ว squeeze theorem คืออะไร

squeeze theorem คือทฤษฎีโปรดของผม

ในคณิตศาสตร์ อาจเป็นเพราะมันมีคำว่า squeeze ในนั้น

Squeeze theorem

และเมื่อคุณเจอมันในหนังสือแคลคูลัส มันดู

ซับซ้อนมาก

ไม่รู้สิ ตอนคุณเจอมันในหนังสือแคลคูลัส

หรือหนังสือพรีแคลคูลัสนั้น

มันดูซับซ้อนไปหมด แต่ความหมายของมัน

นั่นตรงไปตรงมาทีเดียว

ขอผมยกตัวอย่างให้ดูแล้วกัน

หากผมบอกคุณว่า ผม -- แซล กินเยอะกว่า

อุมามา เสมอ

อุมามา คือภรรยาผม

และผมบอกคุณว่านี่เป็นเรื่องจริง แซล

กินเยอะกว่าอุมามาเสมอ

และผมบอกว่า แซลกินน้อยกว่า -- ไม่รู้

สิ ขอผมสมมุติใครสักคนขึ้นมาก่อน --

มากกว่าบิลแล้วกัน

ดังนั้นในวันหนึ่ง -- สมมุติว่านี่คือวันที่กำหนดขึ้นมา

แซลกินมากกว่าอุมามาเสมอไม่ว่าวันใด และ

แซลก็กินน้อยกว่าบิลเสมอในวันใด ๆ เช่นกัน

ทีนี้ถ้าผมบอกคุณว่า เมื่อวันอังคาร อุมามากินไป 300 แคลอรี

และบิลกินไป 300 แคลอรี

คำถามคือว่า แซลกินไปกี่แคลอรี

ในวันอังคารนั้น

ผมกินเยอะกว่า อุมามา -- อืม มากกว่าหรือ

เท่ากับอุมามา -- และผมกินน้อยกว่าหรือเท่ากับบิล

งั้นในวันอังคาร ผมก็ต้องกินไป 300 แคลอรี

นี่คือแก่นของ squeeze theorem และผมจะ

เขียนมันเป็นทางการกว่านี้หน่อย

แต่ที่สุดแล้วมันบอกว่า หากผมมากกว่าอะไรสักอย่าง

และผมน้อยกว่า อะไรอีกอย่างหนึ่ง และที่

จุดนั้นหากสองอย่างนั้นเท่ากัน ผมก็ต้องเท่ากับ

ค่าที่เจ้าสองอย่างนั้นเท่ากันด้วยเสมอ

ผมประมาณว่าถูกบีบระหว่างสองอย่างนั้น

ผมอยู่ระหว่างอุมามากับบิลเสมอ และหากทั้งสอง

อยู่จุดเดียวกันในวันอังคาร ผมก็ต้อง

อยู่ตรงจุดนั้นด้วย

หรืออย่างน้อย ผมก็ต้องเข้าใกล้มัน

ดังนั้นขอผมเขียนมันในภาษาคณิตศาสตร์

มันบอกว่า ในโดเมนหนึ่ง หากผมบอกว่า

สมมุติว่า g ของ x น้อยกว่าหรือเท่ากับ f ของ x ซึ่ง

น้อยกว่าหรือเท่ากับ h ของ x ในโดเมนหนึ่ง

และเรารู้ว่าลิมิตของ g ของ x เมื่อ x เข้าใกล้ a เท่ากับ

ลิมิตค่าหนึ่ง คือ L ใหญ่ และเรารู้อีกว่าลิมิต

เมื่อ x เข้าใกล้ a ของ h ของ x เท่ากับ L เช่นกัน squeeze

theorem บอกเราว่า -- ผมจะไม่พิสูจน์

ในตอนนี้ แต่มันดีที่จะเข้าใจว่า squeeze theorem

คืออะไร -- squeeze theorem บอกเราว่า ลิมิต

เมื่อ x เข้าใกล้ a ของ f ของ x ต้องเท่ากับ L

และนี่คือสิ่งเดียวกัน

นี่คือตัวอย่างเมื่อ f ของ x นี่อาจเป็นปริมาณที่แซลกิน

ในหนึ่งวัน นี่อาจเป็นปริมาณที่อุมามากินใน

หนึ่งวัน ส่วนนี้คือบิล

ผมกินมากกว่าอุมามาและน้อยกว่าบิล

จากนั้นในวันอังคาร คุณอาจบอกว่า a คือวันอังคาร หากอุมามา

กิน 300 แคลอรีและบิลกิน 300 แคลอรี ดังนั้นผมก็ต้อง

กินไป 300 แคลอรี

ขอผมเขียนกราฟให้คุณดูแล้วกัน

ผมจะเขียนกราฟ ใชีอีกสีนึงแล้วกัน

Squeeze theorem

Squeeze theorem

โอเค ผมจะวาดจุด a คอมมา L

จุด a คอมมา L

สมมุติว่า นี่คือ a นั่นคือจุดที่เรา

สนใจ a และนี่คือ L

และเรารู้ว่า g ของ z คือฟังก์ชันอันล่าง ถูกไหม

งั้นสมมุติว่ามันคือสีเขียว

ตรงนี้ นี่คือ g ของ x

ดังนั้น นี่คือ g ของ x

เรารู้ว่าเมื่อ g ของ x เข้าใกล้ -- g ของ x

อาจมีหน้าตาแบบนี้ โอเคไหม

และเรารู้ว่าลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ a ของ

g ของ x เท่ากับ L

นั่นคือตรงนี้

นี่คือ g ของ x

นั่นคือ g ของ x

ขอผมเขียน h ของ x ด้วยอีกสีนึง

ทีนี้ h ของ x อาจออกมาหน้าตาอย่างนี้

อย่างนั้น

นั่นคือ h ของ x

และเรารู้ด้วยว่าลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ a ของ h ของ x --

ลองดู นี่คือ ฟังก์ชันของแกน x

งั้นคุณอาจเรียกมันว่า h ของ x, g ของ x, หรือ f ของ x

นั่นเป็นค่าต่าง ๆ ที่ขึ้นกับ x และนี่คือแกน x

และพูดอีกที ลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ a ของ h ของ x

ณ จุดตรงนี้ h ของ a เท่ากับ L

หรืออย่างน้อยลิมิตก็เท่ากับค่านั้น

และไม่มีฟังก์ชันไหนต้อง

มีค่านิยามที่ a ตราบใดที่ลิมิตของตัวนี้ ลิมิตตัวนี้มีจริง

และลิมิตตัวนี้มีจริง

และนั่นคือสิ่งที่สำคัญที่ต้องรู้ไว้

แล้วนี่มันบอกอะไรเราล่ะ f ของ x มากกว่า

ฟังก์ชันสีเขียวนี่เสมอ

มันน้อยกว่า h ของ x เสมอ จริงไหม

ดังนั้น ไม่ว่า f ของ x ที่ผมวาดจะเป็นยังไง มันต้องอยู่

ระหว่างสองเส้นนี้ จริงไหม

ดังนั้นไม่ว่าจะวาดอยังไง หากผมต้องวาดฟังก์ชันนึง

ขึ้นมา มันต้องอยู่ระหว่างสองฟังก์ชันนี้ตามนิยาม

และมันต้องผ่านจุดตรงนั้น

หรืออย่างน้อยมันต้องเข้าใกล้จุดนั้น

บางทีมันอาจไม่ได้นิยาม ณ จุดนั้น แต่ลิมิตเมื่อเราเข้าใกล้

a ของ f ของ x ยังต้องอยู่ที่จุด L

และบางที f ของ x อาจไม่ได้นิยามไว้ตรงนั้น แต่

ลิมิตเมื่อเราเข้าใกล้มัน จะเท่ากับ L

หวังว่ามันคงช่วยให้เข้าใจได้บ้าง และหวังว่า

ตัวอย่างเรื่องแคลอรีจะช่วย

ให้คุณเข้าใจง่ายขึ้นบ้าง

งั้นเก็บเรื่องนั้นไว้ในใจแล้วกัน

squeeze theorem

และตอนนี้ เราจะใช้มันพิสูจน์ว่า ลิมิตเมื่อ x

เข้าใกล้ 0 ของ ไซน์ของ x ส่วน x เท่ากับ 1

ผมอยากทำโจทย์นี้ หนึ่ง เพราะ

นี่คือลิมิตที่มีประโยชน์มาก

และอีกอย่างคือว่า บางครั้งคุณเรียน squeeze

theorem คุณอาจบอกว่า โอเค มันใช่อยู่แล้ว แต่มันจะ

เอาไปทำอะไรได้

เราจะได้เห็นกัน

ที่จริง ผมจะเก็บไว้ทำในวิดีโฮหน้า เพราะ

เราใช้เวลาถึง 8 นาทีแล้ว

แต่เราจะเห็นในวิดีโอหน้าว่า squeeze theorem นั้น

มีประโยชน์อย่างยิ่งเมื่อเราต้องพิสูจน์ของพวกนี้

แล้วพบกันใหม่ในวิดีโอหน้าครับ