Squeeze Theorem

Intuition (but not a proof) of the Squeeze Theorem.

W tym filmie, udowodnię Ci, że granica taka jak:

przy x zbiegającym do 0, wyrażenia sin(x)/x, jest równa 1

Ale zanim to zrobię, zanim przejdę do trygonometrii,

zajmę się innym aspektem granic.

Twierdzenie o trzech ciągach.

Ponieważ, gdy już zrozumiecie czym jest twierdzenie o trzech ciągach

będziemy mogli go użyć do udowodnienia naszej granicy.

To jest właściwie, bardzo zawiły dowód, ale myślę, że

uznacie go za elegancki i satysfakcjonujący gdy go zrozumiecie.

Ale jeśli nie zrozumiecie, możecie zapamiętać to na pamięć.

Bo to bardzo użyteczna granica, gdy

bierzemy się za pochodne funkcji trygonometrycznych.

Więc czym jest twierdzenie o trzech ciągach?

Twierdzenie o trzech ciągach jest moim ulubionym twierdzeniem

w matematyce, być może dlatego, że ma słowo "ściskanie" w nazwie (squeeze)

Twierdzenie o ściskaniu.

Gdy przeczytasz je w podręczniku od rachunku, wygląda

na całkowicie skomplikowane.

Nie wiem, kiedy to czytaliście, w podręczniku od rachunku lub

w łatwiejszym podręczniku.

Ono wygląda na trudne ale

to co ono mówi jest dosyć oczywiste.

Pozwólcie, że dam Wam przykład.

Gdybym wam powiedział, że ja zawsze - więc Sal zawsze

je więcej niż Umama.

Umama to moja żona.

Gdybym powiedział, że to prawda, że Sal zawsze

je więcej niż Umama.

I miałem też powiedzieć, że Sal zawsze je mniej niż

- nie wiem, pozwólcie, że stworzę nową postać -

niż Bill.

Zatem danego dnia - powiedzmy, że to jest danego dnia.

Sal zawsze je więcej niż Umama, dowolnego dnia, oraz Sal

zawsze je mniej niż Bill, dowolnego dnia.

Teraz, gdybym wam powiedział, że we wtorek Umama zjadła 300 kalorii

i we wtorek Bill zjadł 300 kalorii.

Zatem, moje pytanie do Was, ile kalorii zjadł Sal?

czyli ile zjadłem we wtorek?

Cóż, jem zawsze więcej niż Umama, więcej lub tyle samo co Umama

więcej lub tyle samo co Umama... i zawsze mniej lub tyle samo co Bill.

Zatem we wtorek, musiałem zjeść 300 kalorii.

I to jest istota Twierdzenia o trzech ciągach. Przedstawię to

nieco bardziej formalnie.

Ale ono zasadniczo mówi, że jeśli jestem zawsze większy od jednego

obiektu, oraz jestem zawsze mniejszy od innego obiektu, i w pewnym momencie

te dwa obiekty są równe, to wtedy ja muszę być równy

czemukolwiek te dwa obiekty są równe.

Jestem, tak jakby, ściśnięty przez nie.

Jestem zawsze pomiędzy Umamą i Billem, i jeśli są oni

w tym samym punkcie we wtorek, wtedy ja muszę być

w tym samy punkcie również.

Lub przynajmniej muszę tam zbiegać.

Zapiszę to językiem matematycznym.

Zatem, to wszystko sprowadza się do tego, że w jakiejś dziedzinie,

powiedzmy g(x) jest mniejsze lub równe f(x), które

jest mniejsze lub równe h(x) w pewnej dziedzinie.

I wiemy również, że granica g(x), przy x dążącym do a,

jest równa pewnej liczbie całkowitej L, oraz wiemy, że granica

h(x) , przy x dążącym do a, również jest równa L, to

Twierdzenie o trzech ciągach mówi nam - i nie zamierzam udowadniać tego prawa

tutaj, ale dobrze jest po prostu zrozumieć czym

twierdzenie o trzech ciągach jest - ono mówi nam że

przy x dążącym do a, f(x) musi też zbiegać do L.

I to jest to samo.

To jest przykład, w którym f(x) mogłoby oznaczać, ile Sal je

w danym dniu, to mogłoby być ile Umama je

w danym dniu, a to Bill.

Zatem, jem zawsze więcej od Umamy, ale zawsze mniej od Billa.

Czyli we wtorek, powiedzmy, że "a" to wtorek, jeśli Umama zjadła

300 kalorii, oraz Bill zjadł 300 kalorii, wtedy ja również

musiałem zjeść 300 kalorii.

Pozwólcie mi to narysować.

Powiedzmy, że narysuję to, zrobię to w innym kolorze.

Twierdzenie o trzech ciągach.

Twierdzenie o trzech ciągach.

Ok, zaznaczmy punkt (a,L)

punkt a,L

Powiedzmy, że to jest a , ważny dla nas punkt

a to jest L.

I znamy g(x), która jest mniejszą funkcją, prawda?

Powiedzmy, że ona będzie zielona

tutaj, to jest g(x)

To jest moja g(x).

I wiemy, że jako że g(x) zbiega - więc g(x)

może wyglądać jakoś tak, prawda?

I wiemy, że granica przy x dążącym do a funkcji

g(x) jest równa L.

To ta tutaj.

To jest g(x).

To g(x).

Pozwólcie, że zaznaczę h(x) innym kolorem.

Więc teraz h(x) może wyglądać jakoś tak.

Coś w tym rodzaju.

Zatem to jest h(x).

Wiemy również, że granica, przy x zbiegającym do a, funkcji h(x)

zobaczmy, to jest funkcja x-ów.

To możesz nazwać h(x), g(x), lub f(x).

To jest po prostu zależna wartość, a to jest oś x-ów.

Zatem jeszcze raz, granica przy x dążącym do a, h(x), cóż

w tym punkcie, h(a) równa jest L.

Lub przynajmniej granica jest temu równa

I żadna z tych funkcji, właściwie nie musi być

zdefiniowana w a, jako że te granice, te granice istnieją

i ta granica istnieje.

I to jest także ważna rzecz do zapamiętania.

Zatem co to nam mówi? f(x) jest zawsze większe

od tej zielonej funkcji.

Jest zawsze mniejsze od h(x), prawda?

Więc, dowolne f(x) jakie narysuję, mogłoby być tylko

pomiędzy tymi dwoma, prawda?

Czyli nieważne jak to narysuję, gdybym miał narysować funkcję

jest ona ograniczona przez te dwie funkcje, po prostu z definicji.

Więc to musi przechodzić przez ten punkt.

Lub przynajmniej musi zbiegać do tego punktu.

Może, to nie jest zdefiniowane w tym punkcie, ale granica

w punkcie a, f(x) też musi być w punkcie L.

I być może f(x) nie było tu zdefiniowane, ale

granica, o której wspomnieliśmy, powinna być równa L.

I na szczęście to ma sens, co więcej

mam nadzieję, że przykład z moimi kaloriami ma

jakiś sens dla Was.

Zatem zapamiętajmy to

twierdzenie o trzech ciągach.

Teraz użyjemy tego, aby udowodnić, że granica

przy x zbiegającym do 0, sin(x) / x jest równa 1.

I chcę pokazać właśnie tę granicę, bo jest ona

naprawdę bardzo przydatna.

Następna rzecz jest taka, że jak czasami uczycie się twierdzenia o trzech ciągach

reagujecie w stylu, ojej jakie to oczywiste!

Gdzie ono jest przydatne?

Zobaczymy.

Zasadniczo, zamierzam to pokazać w następnym filmiku, gdyż

dociągamy do 8 minut.

Ale zobaczymy w następnym filmie, że Twierdzenie o trzech ciągach

jest bardzo użyteczne, kiedy spróbujemy udowodnić to.

Do zobaczenia w następnym filmie.