스퀴즈 정리 (샌드위치 정리/압착 정리)

스퀴즈 정리의 (증명은 아니지만) 직관적인 설명.

"아, 그래 뭐 내용은 간단한데 이걸 어디다 써먹지"

(a,L)을 찍어봅시다

Bill도 화요일에
300 칼로리 어치를 먹었다고 해봅시다

Bill보다 적게 먹는다고 해봐요.

Bill이 먹는 것 이하를 먹는걸 알고 있으니까요

Sal은 어떤 날에도 Umama보다 많이 먹고,

Sal은 언제나 Umama보다 많이 먹는다.

Umama가 300, Bill이 300 칼로리를 먹었다면

Umama는 제 아내 이름인데요

Umama보다 항상 밥을 많이 먹는다고 해보죠

a하고, 이게 L이고요

f(x)가 정확히 저기로 정의된 게 아니어도

f(x)는 그 정의역 위에서 h(x) 이하라고 하고요

g(x)가 항상 f(x) 이하라고 하고

g(x)고요

g(x)의 극한이 L이고요

h(x)는 다른 색으로 그려보겠습니다

h(x)는 이렇게 생겼겠죠

h(x)보다는 작겠죠?

sin(x)/x의 극한이 1이라는 걸 보일 겁니다

x가 0으로 갈 때 sin(x)/x의 극한이
1이라는 사실입니다

x가 a로 갈 때 f(x)의 극한 또한 L이라는 겁니다.

x가 a로 갈 때 h(x)의 극한 또한 존재해 L이면

감이 좀 오시나요?

거의 8분이 지나가지고요

그 값이 L이라고 할 때,

그 극한은 정확히 L이 됩니다

그 점에서 나도 그것들과
같은 값이 되어야 한다는 얘깁니다

그게 중요한 내용이기도 합니다

그래도 우리는 다음 강의에서 스퀴즈 정리가

그래프를 한번 그려볼게요

그러니까 f(x)를 어떻게 그리든

그러니까 f(x)의 그래프를
어떻게 그리든 간에

그러니까 x가 a로 갈 때

그러니까 스퀴즈 정리가 보장하는 것은,

그러니까 이 점을 지나야 되는 겁니다

그러니까 이걸 가정해봅시다

그러니까 이걸 기억하시고요

그러니까 이게 g(x)입니다

그러니까 임의의 날에-- 어떤 날에도

그러니까 제가 항상 Umama 이상,
Bill 이하를 먹는다는 얘기죠

그럼 결론이 뭐죠?
f(x)를 보면

그럼 다음 강의에서 뵙겠습니다

그럼 화요일에 제가 먹었던 양은
300 칼로리 어치가 될 수밖에 없겠죠

극한만 존재한다면 말이죠

극한에서 또 다른 내용을 좀 설명하려고 합니다

극한을 본다면 x가 a로 갈 때
f(x)의 극한은 L이라는 말입니다

나도 그 위치에 있어야 한다는 거죠

나중에 삼각함수의 미분을 배울 때

내가 항상 Umama와 Bill 사이에 있고

다른 색으로 그래프를 그려볼게요

다시 x가 a로 갈 때
h(x)의 극한을 보면--

대충 이렇게 생겼겠죠?

도움이 됐기를 바라요

둘 사이에 딱 끼는 (압착) 상황인거죠

둘이 화요일에 같은 위치에 있다고 하면

또 Sal이 항상 누구보다 밥을 적게 먹냐면

또 x가 a로 갈 때 g(x)의 극한이 존재해서

또 동시에 항상 또 다른 것 이하라고 할 때

또 뭐가 있냐면 이 스퀴즈 정리를 배우면

또 뭘 아냐면 g(x)의 극한이 여기로--

만약 이해하기 어렵다면,
그냥 외우기만 해도 도움이 될 겁니다

만약 제가-- 그러니까 Sal이

말하고자 하는 건, 어떤 정의역 위에서

몇 칼로리 어치를 먹었을까요?

뭐 미적분학 책이나

미적분학 대비용 책이라든지요
(역주: 미국 교육과정은 미적분 전 단계로
미적분학 대비 과정이 있음)

바로 스퀴즈 정리 (샌드위치 정리/압착 정리) 인데요

본격적으로 삼각함수에 대한 이야기를 하기 전에,

사실 이 함수들은 a라는 점에서

솔직히 말해서 아주 간단합니다

수학적인 언어로 써볼까요?

스퀴-즈 정리.

스퀴즈 정리.

스퀴즈 정리...

스퀴즈 정리가 보장하는 것은--
바로 증명할 건 아니지만요,

스퀴즈 정리는 제가 수학에서
제일 좋아하는 정리인데요

스퀴즈 정리를요

스퀴즈라는 말의 어감이 맘에 듭니다

싶을 수가 있는데

아까랑 똑같은 거예요.

아무래도 이건 다음 강의에서 해야겠군요

아주 유용하게 쓰일 거거든요

어디, 이게 x에 관한 함수니까요

어디에 쓰는지 보자는 거죠

어떤 날에도 Sal은 Bill보다 적게 먹는 거죠

어떤 점에서 그것들 둘의 값이 같으면

엄청 복잡하게 생겼는데 사실 의미 자체는

엄청 복잡해요

여기가 되겠죠

예시를 하나 들어보죠

왜 이걸 보이려고 하냐면

왜냐면 스퀴즈 정리를 이해하기만 하면

음, 누구로 할까요

이 경우에 f(x)가 Sal이 하루에 먹는 양이라고 하고요,

이 극한을 스퀴즈 정리를 써서 보일 수 있기 때문이죠

이 녹색 그래프가, 어디 보자

이 둘 사이에 놓이겠죠. 그렇죠?

이 때 화요일에, 여기서 a가 화요일이라고 하면요

이 축을 h(x), g(x), f(x)의 축이라고 하고요

이걸 미적분학 책 펴고 찾아보면

이걸 보이려고 할 때 얼마나 유용한지 알 수 있을 겁니다

이게 Bill의 식사량이죠.

이게 Umama가 먹는 양이고

이게 g(x)예요.

이게 h(x)예요

이게 우리의 g(x)고요

이런 게 스퀴즈 정리의 요지인데요

이렇게요

이번 강의에서 제가 증명하려는 것은
바로 다음 극한,

이제 g(x)를 보면,
이게 지금 아래에 위치한 함수죠?

이제 스퀴즈 정리를 써서 x가 0으로 갈 때

이해 자체는 깔끔하고 만족스럽게 될 거예요

일단 정리가 무슨 뜻인지를 이해하는 게
중요하니까요--

자 그럼 스퀴즈 정리가 뭐냐?

자 이 점에서 h(a)=L이고요

자, 그럼 여기서 문제입니다.
화요일에 Sal은, 그러니까 저는

자, 그럼 화요일에 Umama가
300 칼로리 어치를 먹었고

자, 다시 x가 a로 갈 때
h(x)의 극한을 보면

자, 이게 a고요.
우리가 지금 보려는 값이죠

자, 점을 하나 찍읍시다.
(a,L).

저 점에서 정의는 안 됐을 수 있어도

저게 종속변수 축이고 이게 x축이죠

저도 300 칼로리를 먹었다는 결론을 얻는 거죠

적어도 그 위치에 가까워져야 한다는 거죠

적어도 극한값은 L이 되겠군요

정말 유용한 극한이거든요

정의가 안 돼 있어도 상관이 없습니다

정의에 의해 이 두 함수 사이에 놓이죠

정확히는 저 점에 가까이 가야한다는 얘기죠

제가 항상 Umama보다 많이--
뭐, Umama가 먹는 것 이상을 먹고요,

조금 더 형식적인 언어로 써볼 거예요

좀 복잡한 설명이 되긴 하겠지만

칼로리에 관한 예시가 조금

하지만 본질적으로는 결국
내가 항상 어떤 것 이상이고

항상 이 녹색 함수보단 크겠죠