Squeeze Theorem

In questo video ti dimostro che il limite per

x che tende a 0 di sin(x)/x e' uguale a 1.

Ma prima di farlo, prima di entrare nella trigonometria,

andro' su un altro aspetto dei limiti.

Ed e' il teorema della strizzata (dei due carabinieri in Italiano).

Perche' una volta che capisci cos'e' il teorema della strizzata,

puoi usare il teorema della strizzata per dimostrarlo.

In realta' e' una spiegazione piuttosto complicata, ma penso che la

troverai piuttosto fica e soddisfacente se la capisci.

Se non la capisci, magari la vuoi imparare a memoria.

Perche' e' un limite molto utile da sapere piu' in la' quando

facciamo le derivate delle funzioni trigonometriche.

Percio', cos'e' il teorema della strizzata?

Il teorema della strizzata e' il mio teorema di matematica

preferito, possibilmente perche' contiene la parola strizzata.

Teorema della strizzata.

E quando lo leggi sui libri di calcolo sembra

tutto complicato.

Non lo so quando lo leggi, su un libro di calcolo o

su un libro di precalcolo.

Sembra tutto complicato, ma quello che dice e'

francamente piuttosto ovvio.

Fammiti dare un esempio.

Se ti dicessi che io --- quindi Sal mangia

sempre piu' di Umama.

Umama e' mia moglie.

Se ti dicessi che e' vero, Sal mangia

sempre piu' di Umama.

E ti dicessi anche che Sal mangia sempre meno di --- non

lo so, fammi inventare un personaggio fittizio ---

di Bill.

Quindi in un qualsiasi certo giorno --- diciamo che questo e' un dato giorno.

Sal mangia sempre piu' di Umama in un qualsiasi giorno e Sal

mangia sempre meno di Bill in un qualsiasi giorno.

Ora se ti dicessi che Martedi' Umama ha mangiato 300 calorie

e che Martedi' Bill ha mangiato 300 calorie.

Percio' la domanda che ti faccio e': quante calorie ha mangiato Sal,

o ho mangiato io, Martedi'?

Beh, io mangio una quantita' sempre maggiore di Umama --- beh maggiore o

uguale a Umama --- e mangio sempre una quantita' minore o uguale a Bill.

Percio' Martedi' devo aver mangiato 300 calorie.

Quindi questo e' il succo del teorema dei due carabinieri e lo faccio

in un modo un po' piu' formale.

Ma essenzialmente sta dicendo, se sono sempre piu' grande di una

cosa e sono sempre piu' piccolo di un'altra cosa e ad un certo punto

quelle due cose sono uguali, allora io devo essere uguale

a qualsiasi cosa quelle due cose siano uguali.

Ci sono stato tipo strizzato in mezzo.

Sto sempre in mezzo tra Umama e Bill e se stanno allo

stesso identico punto Martedi' allora anche io devo

stare sullo stesso punto.

O almeno mi ci devo avvicinare.

Quindi fammelo scrivere in termini matematici.

Quindi tutto quello che dice e', in un qualche dominio, se dico che,

diciamo che g(x) ≤ f(x), che e'

≤ h(x) in un qualche dominio.

E sappiamo anche che il limite di g(x) per x che tende ad a

e' uguale ad un qualche limite, L maiuscola, e sappiamo anche che il limite

per x che tende ad a di h(x) e' anche lui uguale a L, poi il teorema dei

due carabinieri ci dice --- e non te lo dimostro qui adesso

ma e' bene capire cos'e' il teorema dei

due carabinieri --- il teorema dei due carabinieri ci dice che allora il limite

per x che tende a f(x) deve essere uguale a L.

E questa e' la stessa cosa.

QUesto e' l'esempio dove f(x), questo potrebbe essere quanto mangia Sal

in un giorno, questo potrebbe essere quanto mangia Umama in un

giorno, questo e' Bill.

Percio' io mangio una quantita' sempre maggiore di Umama o minore o uguale a Bill.

E poi Martedi', puoi dire che a e' Martedi', se Umama ha preso

300 calorie e Bill ha preso 300 calorie, allora anch'io

ho mangiato 300 calorie.

Fammiti fare il grafico.

Fammi fare il grafico, e lo faccio in un altro colore.

Teorema dei due carabinieri.

Teorema dei due carabinieri.

Ok, disegnamo il punto (a, L).

Il punto (a, L).

Diciamo che questo e' a, questo e' il punto che ci interessa

a e questo e' L.

E sappiamo, g(x), questa e' la funzione inferiore, giusto?

Quindi diciamo che questa cosa verde qui

questa e' g(x).

Percio' questa e' la mia g(x).

E sappiamo che quando g(x) si avvicina --- quindi g(x)

potrebbe essere fatta cosi', giusto?

E sappiamo che il limite per x che tende ad a di

g(x) = L.

Quindi sta qui.

Percio' questo e' g(x).

Questo e' g(x).

Fammi fare h(x) in un colore differente.

Percio' adesso h(x) potrebbe essere fatta cosi'.

Cosi'.

Quindi questa e' h(x).

E sappiamo anche che il limite per x che tende ad a di h(x) ---

vediamo, questa e' l'asse x della funzione.

Quindi puoi chiamarla h(x), g(x) o f(x).

Questo e' l'asse dipendente e questo e' l'asse x.

Quindi di nuovo, il limite per x che tende ad a di h(x), beh

a questo punto qui, h(a) = L.

O almeno il limite e' uguale a quello.

E nessuna di queste funzioni in realta' deve essere definita

su a, fintanto che questi limiti, questo limite esiste

e questo limite esiste.

E anche questa e' una cosa importante da tenere a mente.

Percio' cosa ci dice? f(x) e' sempre maggiore

di questa funzione verde.

E' sempre minore di h(x), giusto?

Quindi ogni f(x) che ho disegnato, dovrei stare in

mezzo a questi due, giusto?

Quindi non importa come lo disegno, se dovessi disegnare una funzione,

e' delimitata da queste due funzioni semplicemente per definizione.

Quindi deve passare per quel punto.

O almeno deve avvicinarsi a quel punto.

Magari non e' definita in quel punto, ma anche il limite man mano

che ci avviciniamo ad a di f(x) deve essere il punto L.

E magari f(x) non deve essere definita li', ma

il limite man mano che ci avviciniamo sara' L.

E si spera che abbia un po' di senso e

si spera che il mio esempio sulle calorie abbia

un po' di senso per te.

Quindi tienilo a mente,

il teorema dei due carabinieri.

E ora lo useremo per dimostrare che il limite per x

che tende a 0 del seno di x fratto x e' uguale a 1.

E voglio farlo perche' e'

un limite super utile.

E poi l'altra cosa e', alle volte impari il teorema dei due carabinieri

stai tipo: ok, beh e' ovvio ma

quand'e' che e' utile?

E vedremo.

In realta' lo faro' nel prossimo video, visto

che stiamo gia'a a 8 minuti.

Ma vedremo nel prossimo video che il teorema dei due carabinieri e'

tremendamente utile quando tentiamo di dimostrare questo.

Ci vediamo nel prossimo video.