-
.
-
Selles videos ma tõestan, et piirväärtus
-
kui x läheneb 0'le siinus x'st jagatud x'ga on võrdne 1'ga.
-
Aga enne seda teeme veidi trigonomeetriat,
-
vaatame üle ühe teise piirväärtuste aspekti.
-
Ja see on võileiva reegel.
-
Kui sa saad aru, mis on võileiva reegel, siis
-
me saame võileiva reeglit kasutada selle tõestamiseks.
-
See on tegelikult päris keerukas tõestus, aga ma usun, et
-
su arust on see päris meeldiv kui sa sellest aru saad.
-
Kui ei saa, siis tuleks see pähe õppida.
-
Kuna see on väga kasulik piirväärtus, mida oleks vaja teada
-
kui me tegeleme trigonomeetriliste tuletistega.
-
Mis on võileiva reegel?
-
Võileiva reegel on minu lemmik teoreem
-
matemaatikas, selle pärast, et seal on sõna võileib sees.
-
Võileiva reegel.
-
Ja kui sa loed seda matemaatilise analüüsi raamatust, siis
-
tundub see keeruline.
-
Ma ei tea, kas sa loed seda matemaatilise analüüsi raamatust
-
või analüüsi eelsest raamatust.
-
See tundub keeruline, aga see mida ta ütleb
-
on päris ilmselge.
-
Teeme näite.
-
Kui ma ütleksin, Sal alati
-
sööb rohkem kui Umama.
-
Umama on mu naine.
-
Kui ma ütleksin sulle, et see on tõsi, Sal alati
-
sööb rohkem kui Umama.
-
Ja kui ma sammuti ütleks, et Sal alati sööb vähem kui ---
-
mõtleme kellegi välja--
-
Bill.
-
.
-
Igal suvaliselt päeval.
-
Sal alati sööb rohkem kui Umama juhuslikul päeval ja
-
alati sööb vähem kui Bill.
-
Kui ma ütleksin, et teisipäeval Umama sõi 300 kalorit
-
ja teisipäeval Bill sõi 300 kalorit.
-
.
-
Minu küsimus on, kui mitu kalorit Sal söi,
-
või kas ma söin teisipäeval?
-
Ma söön alati rohkem kui Umama-- tegelikult rohkem
-
või sama palju-- ja ma söön alati vähem või sama palju kui Bill.
-
Järelikult teisipäeval söin ma 300 kalorit.
-
See ongi võileiva reegli sisu,
-
ma teen nüüd veidi formaalsemalt.
-
Aga põhimõtteliselt, kui ma olen alati suurem kui üks
-
asi ja ma olen alati väiksem kui teine asi, siis mingis
-
punktis kui need kaks asja on võrdsed, siis mina olen ka võrdne
-
ükskõik millega nemad on võrdsed.
-
Mind pressitakse nende vahele.
-
Ma olen alati Umama ja Billi vahel ja kui nemad on
-
täpselt samas punktis teisipäeval, siis mina pean ka
-
seal punktis.
-
Või ma vähemasti pean sellele lähenema.
-
Las ma kirjutan selle matemaatilisel kujul.
-
.
-
See ütleb, et , üle mingi määramispiirkonna,
-
ütleme, et g kohal x on väiksem või võrdne kui f kohal x'st, mis
-
on väiksem või võrdne h kohal x'st , mingil määramispiirkonnal.
-
Ja me sammuti teame, et piirväärtus g kohal x'st kui x läheneb
-
a'le on võrdne mingi piirväärtusega, suur L, ja me teame veel, et piirväärtus
-
kui x läheneb a'le h kohal x sammuti on võrdne L'ga, siis
-
võileiva reegel ütleb, ma ei tõesta seda
-
siin, aga on hea teada, mida see tähendab,
-
võileiva reegel ütleb, et siis
-
kui x läheneb a'le f kohal x peab sammuti võrduma L'ga.
-
Ja see on sama asi.
-
See on näide, kus f kohal x, see näitab kui palju Sal sööb
-
päevas, see näitab kui palju Umama sööb päevas
-
see on Bill.
-
Seega mina söön alati rohkem kui Umama ja vähem kui Bill.
-
Ja siis teisipäeva me võiksime kutsuda a'ks, kui Umama
-
söi 300 kalorit ja Bill söi 300 kalorit, siis sammuti mina
-
söin 300 kalorit.
-
Las ma joonestan selle.
-
Ma teen selle teise värviga.
-
Võileiva teoreem.
-
.
-
.
-
Joonestame punkti a koma L.
-
.
-
Ütleme, et see on a, see on meile oluline punkt.
-
ja see on L.
-
Ja me teame, et g kohal x on madalam funktsioon.
-
Ütleme, et see roheline asi
-
siin on g kohal x.
-
See on minu g kohal x.
-
Ja me teame, et kui g kohal x läheneb-- g kohal x
-
võib välja näha midagi sellist.
-
Ja me teame, et piirväärtus kui x läheneb a'le
-
g kohal x on võrdne L'ga.
-
See on siin.
-
See on g kohal x.
-
.
-
Ma teen h kohal x'i teise värviga.
-
Nüüd h kohal x võiks välja näha midagi sarnast.
-
.
-
Nagu see.
-
See on h kohal x.
-
Ja me sammuti teame, et piirväärtus kui x läheneb a'le h kohal x
-
see on funktsioon x teljest.
-
Sa võid seda kutsuda h kohal x'ks, g kohal x'ks või f kohal x'ks
-
See on y-telg ja see on x-telg.
-
Piirväärtuskui x läheneb a'le h kohal x,
-
sellel punktil siin, h kohal a on võrdne L'ga.
-
Või vähemasti piirväärtus on võrdne sellega.
-
.
-
Ja need funktsioonid ei pea isegi olema määratud
-
kohal a, peaasi, et need
-
piirväärtused eksisteerivad.
-
Ja see on ka üks asi, mida tasuks meeles pidada.
-
Mida see meile ütleb? f kohal x on alati suurem
-
kui see roheline funktsioon.
-
See on alati väiksem kui h kohal x.
-
Ükskõik millise f kohal x'i ma joonestan, see peaks
-
olema nende kahe vahel.
-
Ükskõik kuidas ma selle joonestan,
-
see funktsioon on piiritletud nende kahe funktsiooniga definitsiooni poolest.
-
Järelikult ta peab läbi selle punkti minema.
-
Või vähemasti peab lähenema sellele punktile.
-
Võib-olla see punkt ei määratud seal, aga piirväärtus on
-
kui me läheneme a'le f kohal x peab sammuti olema punktis L.
-
.
-
.
-
Ja loodetavasti see tundub loogiline ja
-
loodetavast kalorite näide tundus ka
-
loogiline sulle.
-
Seega hoiame seda meeles
-
võileiva reegel.
-
Ja nüüd me kasutame seda, et tõestada, et piirväärtus kui x
-
läheneb 0'le kohal siinus x jagatud x on võrdne 1'ga.
-
Ja ma tahan seda teha, sest see on
-
väga kasulik piirväärtus.
-
Ja teine asi on see, et mõnikord sa võib-olla õpid
-
võileiva teoreemi, aga siis mõtled, et miks see
-
kasulik on?
-
Ja me kohe näeme.
-
Tegelikult ma teen seda järgmises videos, sest me
-
oleme juba 8 minuti juures.
-
Aga järgmises videos me näeme, et piirväärtus teoreem on
-
ülimalt kasulik kui me üritame seda tõestada.
-
Näeme järgmises videos.
-
.
