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In diesem Video werde ich beweisen, dass der Grenzwert von
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x gegen 0 für den sinus von x geteilt durch x gleich 1 ist.
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Aber bevor ich damit anfange, bevore ich mit Trigonometrie anfange, werde ich
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einen anderen Aspekt von Grenzwerten zeigen.
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Und das ist der Einschnürungssatz.
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Sobald ihr einmal den Einschnürungssatz verstanden habt,
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können wir diesen zum beweisen verwenden.
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Es ist eigentlich eine recht komplizierte Erklärung, aber ich glaube ihr werdet
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es sehr hübsch und befriedigend finden, wenn ihr es versteht.
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Wenn nicht reicht es vielleicht es sich zu merken.
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Weil es ein sehr nützlicher Grenzwert ist wenn
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wir später die Ableitungen von trigonometrischen Funktionen bilden.
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Was ist also der Einschnürungssatz?
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Der Einschnürungssatz ist mein Lieblingssatz
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der Mathematik; wahrscheinlich weil er das Wort einschnüren (squeeze) enthält.
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Einschnürungssatz
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In Analysis Büchern sieht das
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sehr kompliziert aus.
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Ich weiß nicht in was für einem Mathebuch
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Analysis oder so.
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Es sieht super kompliziert aus, aber was ich sage ist
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wirklich ganz einfach.
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Machen wir ein Beispiel.
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Wenn ich sage, dass ich immer -- also Sal immer
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mehr isst als Umama.
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Umama ist meine Frau.
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Ich habe euch gesagt, dass es wahr ist, dass Sal immer
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mehr ist als Umama.
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Und ich sage auch, dass Sal immer weniger isst als -- keine Ahnung,
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ich erfinde einen Menschen --
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als Bill.
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Also an jedem Tag -- angenommen das gillt an jedem Tag.
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Sal isst immer mehr als Umama und Sal
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isst immer weniger als Bill an jedem Tag.
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Wenn ich euch jetzt sage dass Umama am Dienstag 300 Kalorien gegessen hat
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und am Dienstag aß Bill 300 Kalorien.
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Meine Frage an euch ist dann, wie viele Kalorien aß Sal,
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oder aß ich, am Dienstag?
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Also ich esser immer mehr als Umama -- also mehr oder gleich viel wie Umama --
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und ich esse immer weniger oder gleich viel wie Bill.
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Also muss ich am Dienstag 300 Kalorien gegessen haben.
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Das ist der Kern des Einschnürungssatzes und ich werde es
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ein wenig formaler machen.
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Im Grunde: wenn ich gleichzeitig immer größer als ein Ding bin
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und immer kleiner als ein anderes Ding und diese Dinge
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gleich sind, dann muss ich auch
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gleich den beiden Dingen sein.
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Ich bin wie eingeschnürt zwischen ihnen.
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Ich binn immer zwischen Umama und Bill und wenn sie
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dienstags am gleichen Punkt sind, dann muss ich
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auch an diesem Punkt sein.
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Oder wenigstens muss ich es annähern.
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Ich schreibe es also mathematisch auf.
