Squeeze Theorem

Intuition (but not a proof) of the Squeeze Theorem.

.

في هذا العرض سوف اثبت لكم ان نهاية

اقتراب x من الـ 0 لجيب x / x تساوي 1

وقبل ان اقوم بذلك، قبل ان اقطع على المثلثات

سوف اغطي ناحية اخرى من الحدود

وهي نظرية الضغط

لأنه عندما تفهمون ما هي نظرية الضغط

ستتمكنون من استخدام نظرية الضغط لاثبات هذا

في الواقع انها تنطوي على توضيح، لكنني اعتقد انكم

ستجدونها متقنة ومرضية اذا استوعبتموها

واذا لم تستوعبوها، ربما ستلجأون الى حفظها

لأن تلك النهاية مفيدة جداً لتعرفوها لاحقاً عندما

نأخذ مشتقات اقترانات علم حساب المثلثات

فما هي نظرية الضغط؟

ان نظرية الضغط هي النظرية المفضلة لدي في

الرياضيات، لأنها تحتوي على كلمة ضغط

نظرية الضغط

وعندما تقرأونها في موضوع التفاضل والتكامل فإنها تبدو

معقدة

لا اعلم عندما تقرأونها، في موضوع التفاضل والتكامل او

في مقدمة التفاضل والتكامل

انها تبدو معقدة، لكن مضمونها

واضح جداً

دعوني اعطيكم مثالاً

اذا اخبرتكم انني دائماً --اذاً دائماً سالي

تأكل اكثر من اميمة

اميمة هي زوجتي

اذا اخبرتكم ان هذا صحيح، سالي دائماً

تأكل اكثر من اميمة

واردت ان اقول ان سالي دائماً ما تأكل اقل من --لا

اعلم، دعوني احاول ايجاد شخصية--

من بيل

.

اذاً في يوم من الايم --دعونا نفترض ان هذا هو اليوم المعين--

سالي تأكل دائماً اكثر من اميمة في يوم ما، وسالي

دائماً ما تأكل اقل من بيل في يوم ما

الآن اذا اخبرتكم انه في يوم الثلاثاء اكلت اميمة بمقدار 300 سعرة حرارية

وفي يوم الثلاثاء اكل بيل 300 سعرة حرارية

.

اذاً سؤالي الآن هو، كم سعرة حرارية اكلت سالي

او اكلت انا، يوم الثلاثاء؟

حسناً، دائماً ما آكل اكثر من اميمة --حسناً، اكثر من او

يساوي اميمة-- ودائماً ما آكل اقل من او يساوي بيل

بالتالي في يوم الثلاثاء، يجب ان آكل 300 سعرة حرارية

اذاً هذا هو جوهر نظرية الضغط، وسوف اقوم

بحل بعض الامثلة عليها

لكن مضمونها، اذا كنت دائماً اكبر من

شيئ ما ودائماً اقل من شيئ آخر عند نقطة ما

فإن هؤلاء الشيئان متساويان، حسناً، بالتالي يجب ان اساوي

هذان الشيئان مهما كانا

انني نوعاً ما متموضع بينهما

انني دائماً اقع بين اميمة وبيل، واذا كانا يقعان على

نفس النقطة في يوم الثلاثاء، بالتالي يجب ان اكون على

تلك النقطة انا ايضاً

او على الاقل يجب ان اقاربها

لذا دعوني اكتب بعبارات رياضية

.

كل ما تتضمنه، فوق مجال ما، اذا قلت ان

دعونا نفترض ان g(x) < = f(x)، وهو

اقل من او يساوي h(x) فوق مجال ما

ونعلم ايضاً ان نهاية g(x) كلما اقتربت x من a

تساوي نهاية ما، لتكن L، ونعلم ايضاً ان نهاية

اقتراب x من a(h(x)) ايضاً تساوي L، بالتالي فإن

نظرية الضغط تخبرنا --وانا لن اثبت ذلك

هنا، لكنه من الجيد ان تفهمون ما هي

نظرية الضغط-- نظرية الضغط تخبرنا ان نهاية

اقتراب x من a(f(x)) يجب ايضاً ان تساوي L

وهذا نفس الشيئ

هذا مثال على f(x) يمكن ان يكون مقدار ما اكلته سالي

في يوم ما، يمكن ان يكون ايضاً مقدار ما اكلته اميمة في

يوم ما، هذا بيل

اذاً انا دائماً آكل اكثر من اميمة او اقل من بيل

ومن ثم في يوم الثلاثاء، يمكنك ان تقول ان a هو يوم الثلاثاء، اذا كان لدي اميمة

300 سعرة حرارية ولدى بيل 300 سعرة حرارية، بالتالي انا ايضاً علي

ان آكل 300 سعرة حرارية

دعوني امثل هذا بيانياً من اجلكم

دعوني امثل ذلك بيانياً، وسوف اقوم بذلك بلون مختلف

نظرية الضغط

.

نظرية الضغط

حسناً، دعوني ارسم النقطة a،L

النقطة a،L

دعونا نفترض ان هذه a، تلك هي النقطة التي نهتم

لأمرها، a، وهذه هي L

ونحن نعلم، ان g(x) اقل اقتران، اليس كذلك؟

اذاً دعونا نفترض ان هذا الشيئ الاخضر الموجود

هنا، عبارة عن g(x)

هذا هو g(x)

ونعلم انه كلما اقترب g(x) --اذاً g(x)

يمكن ان يبدو هكذا، اليس كذلك؟

ونعلم ان نهاية اقتراب x من

a(g(x)) = L

وهذا موجود هنا

هذا هو g(x)

ذلك هو g(x)

دعوني اضع h(x) بلون مختلف

اذاً الآن h(x) يمكن ان يبدو هكذا

.

بهذا الشكل

ذلك هو h(x)

ونعلم ايضاً ان نهاية اقتراب x من a(h(x))

دعونا نرى، هذا هو اقتران محور x

اذاً يمكنك ان تسميه h(x)، g(x)، f(x)

ذلك عبارة عن محوؤ تابع، وهذا محور x

مرة اخرى اذاً، نهاية اقتراب x من a(h(x))، حسناً

على تلك النقطة، اي h(a) تساوي L

او على الاقل ان النهاية مساوية لذلك

.

ولا يجب ان تكون اي من هذه الاقترانات

معرفة على a، طالما ان هذه النهايات، هذه النهاية موجودة

وهذه النهاية موجودة

وهذا ايضاً شيئ مهم لتتذكروه

اذاً ماذا يوضح لنا هذا؟ ان f(x) دائماً اكبر

من هذا الاقتران المكتوب باللون الاخضر

انه دائماً اقل من h(x)، اليس كذلك؟

اذاً اي من f(x) اقوم برسمه، سيقع

بين هذان الاثنان، اليس كذلك؟

اذاً لا مشكلة في كيفيةو رسمي له، اذا اردت ان ارسم اقترناً

فإنه محاط بهذان الاقترانان، وذلك من خلال التعريف

لذا يجب ان يمر بهذه النقطة

او على الاقل يجب ان يقارب تلك النقطة

ربما انه غير معرف على تلك النقطة، لكن نهاية

اقترابنا من a(f(x)) يجب ايضاً ان تكون على النقطة L

وربما ان f(x) لا يجب ان يكون معرفاً هناك، لكن

نهاية اقترابنا ستكون L

واتمنى ان ذلك منطقياً بعض الشيئ، و

اتمنى ان مثال السعرات الحرارية

قد وضح الامور قليلاً

اذاً دعونا نتذكر ذلك

نظرية الضغط

والآن سوف نستخدمها لاثبات ان نهاية

اقترا ب x من الـ 0 لجيب x / x تساوي 1

واريد القيام بذلك، اولاً، لأن هذه

نهاية مفيدة جداً

ومن ثم ان الشيئ الآخر انه في بعض الاوقات عندما تتعلمون

نظرية الضغط، سترونها واضحة لكن

متى تكون مفيدة؟

وسوف نرى ذلك

في الوافع، سوف اقوم بذلك في العرض التالي، بما انني

استغرقت الآن 8 دقائق من الوقت

لكننا سنرى في العرض التالي ان نظرية الضغط

مفيدة جداً عندما نحاول اثبات هذا

سأراكم في العرض التالي

.