-
-
-
โจทย์การหาอนุพันธ์โดยอ้อมที่คลาสสิคหอน่ย
-
คือโจทย์ y เท่ากับ x กำลัง x
-
แล้วก็หาว่าอนุพันธ์ของ y
-
เทียบกับ x คืออะไร
-
ผู้คนดูมัน โอ้ คุณก็รู้ ผมไม่ได้มีแค่
-
เลขชี้กำลังคงที่ตรงนี้ ผมเลยไม่สามารถใช้กฏ
-
ยกกำลัง แล้วจะทำยังไงดี
-
และกลเม็ดตรงนี้ก็คือ แค่ใส่ลอกธรรมชาติ
-
ทั้งสองข้างของสมการ
-
และนี่ก็ปูทางสู่สิ่งที่เราจะ
-
ทำในวิดีโอนี้
-
หากคุณใส่ลอกธรรมชาติทั้งสองข้างของสมการ
-
คุณจะได้ลอกธรรมชาติของ y เท่ากับลอก
-
ธรรมชาติของ x กำลัง x
-
ทีนี้กฏเลขยกกำลัง หรือผมว่า กฏลอกธรรมชาติ บอกว่า
-
ดูสิ หากผมใส่ลอกธรรมชาติของอะไรสักอย่าง
-
ยกกำลังอะไรสักอย่าง นี่ก็เท่ากับ ผมสามารถเขียนลอก
-
ธรรมชาติของ x กำลัง x ใหม่ว่าเท่ากับ x คูณ
-
ลอกธรรมชาติของ x
-
งั้นขอผมเขียนทุกอย่างใหม่อีกที
-
หากผมใส่ลอกธรรมชาติของทั้งสองข้างของสมการ ผม
-
จะได้ลอกธรรมชาติของ y เท่ากับ x กำลัง
-
ลอกธรรมชาติของ x
-
และตอนนี้เราสามารถหาอนุพันธ์ของทั้งสองข้าง
-
นี่เทียบกับ x
-
งั้นอนุพันธ์เทียบกับ x ของนั่น แล้วก็
-
อนุพันธ์เทียบกับ x ของนั่น
-
ตอนนี้เราจะใช้กฏลูกโซ่สักหน่อย
-
กฏลูกโซ่
-
อนุพันธ์ของอันนี้เทียบกับ x คืออะไร?
-
อนุพันธ์ของพจน์ด้านใน
-
เทียบกับ x คืออะไร?
-
มันคือการหาอนุพันธ์โดยอ้อมนิดหน่อย งั้นมันคือ dy
-
เทียบกับ x คูณอนุพันธ์ของทั้งหมด
-
นี่เทียบกับฟังก์ชันอันใน
-
แล้วอนุพันธ์ของลอกธรรมชาติของ x เท่ากับ 1/x
-
งั้นอนุพันธ์ของลอกธรรมชาติของ y
-
เทียบกับ y ได้ 1/y
-
เลยคูณ 1/y
-
-
-
และอนุพันธ์ของนี่ -- นี่ก็แค่กฏผลคูณ
-
และผมจะเปลี่ยนสีตามใจตรงนี้ -- คือ อนุพันธ์
-
ของเทอมแรก ซึ่งก็คือ 1 คูณเทอมที่สอง เลยคูณ
-
ลอกธรรมชาติของ x บวกอนุพันธ์ของเทอมที่สอง
-
ซึ่งก็คือ 1/x คูณเทอมแรก
-
ได้คูณ x
-
และเราก็ได้ dy/dx คูณ 1/y เท่ากับลอกธรรมชาติของ x
-
บวก -- นี่ปรากฏว่าเป็น 1 -- x หารด้วย x แล้ว
-
คูณก็คูณทั้งสองข้างนี้ด้วย y
-
คุณจะได้ dy/dx เท่ากับ y คูณลอกธรรมชาติ
-
ของ x บวก 1
-
และหากคุณไม่ชอบให้ y อยู่ตรงนี้ คุณก็
-
แค่แทนค่าลงไป
-
y เท่ากับ x กำลัง x
-
คุณก็บอกว่า อนุพันธ์ของ y เทียบกับ
-
x เท่ากับ x กำลัง x คูณลอกธรรมชาติของ x บวก 1
-
นั่นเป็นโจทย์ที่สนุก และนี่มักถูกให้เป็นโจทย์
-
หลอก หรือบางครั้งเป็นโจทย์โบนัส หากคน
-
ไม่รู้ว่าต้องใส่ลอกธรรมชาติทั้้งสองข้างของสมการ
-
แต่ผมได้รับโจทย์ที่ยากกว่านั้นอีก และ
-
นั่นคือสิ่งที่เราจะทำต่อไปในครั้งนี้
-
แต่มันดีที่จะเห็นวิธีทำโจทย์นี้ก่อน เพราะมัน
-
ให้เครื่องมือพื้นฐานกับเรา
-
แล้วโจทย์ที่ยากกว่า ที่เรากำลัง
-
จะทำคืออันนี้
-
ขอผมเขียนลงไปนะ
-
โจทย์คือ y เท่ากับ x กำลัง -- และนี่คือ
-
ข้อแตกต่าง -- x กำลัง x กำลัง x
-
และเราอยากหา dy/dx
-
เราอยากหาอนุพันธ์ของ y
-
เทียบกับ x
-
งั้นในการแก้โจทย์นี้ เราก็ใช้เครื่องมือเดิม
-
เราใช้ลอกธรรมชาติ เพื่อแยก
-
เลขชี้กำลังนี้ และได้รูปแบบที่เราจัดการได้
-
งั้นเราใช้กฏผลคูณ
-
ตอนนี้ลองใส่ลอกธรรมชาติของทั้งสองข้างของสมการก่อน
-
อย่างที่เราทำครั้งที่แล้ว
-
คุณได้ลอกธรรมชาติของ y เท่ากับ ลอกธรรมชาติของ
-
x กำลัง x กำลัง x
-
-
-
และนี่คือเลขชี้กำลังของอันนี้
-
งั้นเราก็เขียนมันใหม่เป็น x กำลัง x คูณลอกธรรมชาติ
-
คูณลอกธรรมชาติของ x
-
และตอนนี้ พจน์ของเรา สมการของเรา กลายเป็น
-
ลอกธรรมชาติของ y เท่ากับ x กำลัง x คูณ
-
ลอกธรรมชาติของ x
-
แต่เรายังมีเทอมน่าเกลียด x กำลัง x ตรงนี้
-
เรารู้ว่าไม่มีวิธีง่าย ๆ เพื่อหาอนุพันธ์ของมัน แม้ผม
-
จะแสดงให้คุณดูแล้วว่าอนุพันธ์ของมันคืออะไร งั้น
-
เราก็แค่ใช้ผลมันตรงนี้
-
ผมจะใส่ลอกธรรมชาติอีกที และมันควร
-
ออกเป็นสิ่งที่ใหญ่โต เลอะ และชวนงง แต่ผมตระหนัก
-
ว่ามาก่อนในวิดีโอนี้ว่า ผมเพิ่งแก้ได้ว่า
-
อนุพันธ์ของ x กำลัง x คืออะไร
-
มันคือสิ่งนี้ตรงนี้
-
มันคือพจน์เพี้ยน ๆ อันนี้ตรงนี้
-
เราแค่ต้องจำมันไว้แล้วใช้
-
มันแก้โจทย์ของเรา
-
งั้นกลับมาทำโจทย์ของเรากัน
-
และหากผมไม่ได้แก้อันนี้ไว้ก่อน มันอาจ
-
เป็นประโยชน์ที่ไม่คาดคิด ที่เราทำโจทย์ง่าย
-
ก่อน คุณสามารถใส่ลอกธรรมชาติของอันนี้ได้อีก
-
แต่มันจะทำให้เลอะเทอะขึ้นอีกนิด
-
แต่เนื่องจากเรารู้ว่าอนุพันธ์ของ x กำลัง x
-
คืออะไรแล้ว ก็ลองใช้มันดู
-
เราจะหาอนุพันธ์ของ
-
ทั้งสองข้างของสมการ
-
อนุพันธ์ของอันนี้ เท่ากับอนุพันธ์ของอันนี้
-
เราจะลืมอันนี้ไปก่อน
-
อนุพันธ์ของอันนี้เทียบกับ x คือนุพันธ์ของ
-
ลอกธรรมชาติของ y เทียบกับ y
-
นั่นก็คือ 1/y คูณ อนุพันธ์ของ y
-
เทียบกับ x
-
นั่นก็แค่กฏลูกโซ่
-
เราเรียนมันแล้วในการหาอนุพันธ์โดยอ้อม
-
และนี่เท่ากับ อนุพันธ์ของเทอมแรก
-
คูณเทอมที่สอง และผมจะเขียนมันออกมาตรงนี้
-
เพราะผมไม่อยากข้ามขั้นและทำให้คนงง
-
งั้นนี่เท่ากับอนุพันธ์เที่ยบกับ x ของ
-
x กำลัง x คูณลอกธรรมชาติของ x บวก อนุพันธ์
-
เทียบกับ x ของลอกธรรมชาติ
-
ของ x คูณ x กำลัง x
-
งั้นมาสนใจทางขวามือของสมการนี้ก่อน
-
อนุพันธ์ของ x กำลัง x เทียบกับ x คืออะไร?
-
เราได้แก้โจทย์นั่นไปแล้วตรงนี้
-
มันคือ x กำลัง x ลอกธรรมชาติของ x บวก 1
-
งั้นส่วนนี้ตรงนี้ -- ผมลืมแล้วว่ามัน
-
คืออะไร -- มันก็คือ x กำลัง x ลอกธรรมชาติของ x บวก 1
-
นั่นคือ x กำลัง x คูณลอกธรรมชาติของ x บวก 1
-
แล้วเราก็คูณมันด้วย
-
ลอกธรรมชาติของ x
-
-
-
แล้วเราก็บวกมันกับ บวก อนุพันธ์
-
ของลอกธรรมชาติของ x
-
นั่นตรงไปตรงมาทีเดียว นั่นคือ 1/x คูณ x กำลัง x
-
-
-
และแน่นอน ทางซ้ายมือของสมการ
-
ก็คือ 1/y dy/dx
-
และเราสามารถคูณทั้งสองข้างนี่ด้วย y และเรา
-
ได้ dy/dx เท่ากับ y คูณพวกเพี้ยน ๆ ทั้งหมดนี่ -- x กำลัง x
-
คูณลอกธรรมชาติของ x บวก 1 คูณลอกธรรมชาติ
-
ของ x บวก 1/x คูณ x กำลัง x
-
นั่นคือ x กำลังลบ 1
-
เราสามารถเขียนมันใหม่เป็น x กำลังลบ 1 แล้วคุณ
-
ก็บวกเลขชี้กำลัง
-
เราสามารถเขียนนี่เป็น x ยกกำลัง x ลบ 1
-
และหากคุณไม่ชอบ y ตรงนี้ เราก็แค่
-
แทนค่ามันลงไป
-
y เท่ากับนี่ พจน์เพี้ยน ๆ อันนี้ตรงนี้
-
งั้นคำตอบสุดท้ายของเราสำหรับอันนี้ -- ในระดับนึง
-
มันดูเหมือนโจทย์ง่าย ๆ แต่ในอีกระดับนึง
-
ตอนคุณซึ้งใจว่ามันหมายความอย่า่งไร มันเหมือนกับ โอ้
-
มีปัญหาซับซ้อนมาก -- คุณได้อนุพันธ์ของ y
-
เทียบกับ x เท่ากับ y ก็คืออันนี้
-
นั่นคือ x กำลัง x กำลัง x คูณก้อนทั้งหมดนี่ --
-
คูณ x กำลัง x ลอกธรรมชาติของ x บวก 1 คูณลอกธรรมชาติ
-
ของ x แล้วทั้งหมดนั่นบวก x กำลัง x ลบ 1
-
แล้วใครจะบอกเราได้
-
บางครั้งคณิตศาสตร์ก็สง่างาม
-
คุณหาอนุพันธ์ของอะไรแบบนี้
-
และได้อะไรสักอย่างที่เนี๊ยบ
-
ตัวอย่างเช่น ตอนคุณหาอนุพันธ์ของลอกธรรมชาติ
-
ของ x คุณได้ 1/x
-
นั่นมันเรียบง่ายและสง่างาม และมันดีที่คณิตศาสตร์
-
ออกมาเป็นเช่นนั้น
-
แต่บางครั้งคุณทำอะไรสักอย่าง คุณทำ
-
อะไรสักอย่างกับสิ่งที่ดูเรียบง่ายและสง่างาม แต่กลับ
-
ได้อะไรที่ยุ่บยั่บ และไม่น่าดูนัก
-
แต่มันก็เป็นโจทย์ที่น่าสนใจทีเดียว
-
และคุณก็เสร็จแล้ว
-
-
