Cálculo: Derivada de x^(x^x)

Cálculo: Derivada de x^(x^x)

Um problema clássico envolvendo derivadas

é o problema: y é igual a x elevado a x.

e então devemos encontrar a derivada de y

em relação a x

Quando as pessoas olham isso elas pensam: O expoente

não é uma constante, então eu não posso simplesmente utilizar a regra

de derivadas de polinômios. Então, como resolver esse problema?

O truque para resolver esse problema é aplicar o logarítmo natural

nos dois lados da equação.

Isso vai facilitar nossa vida, como veremos

mais tarde nesse video.

Então se aplicarmos o logarítmo natural nos dois lados da equação,

você obtém: logarítimo natural de y é igual ao

logarítmo de x elevado a x.

Agora nossa regra de logarítmo natural, diz que

veja, se eu tenho o logarítmo de alguma coisa elevada a

alguma coisa, isto é equivalente a, Eu posso reescrever o

logarítmo natural de x elevado a x como sendo igual a x vezes

o logarítmo natural de x

Então, deixe me reescrever tudo novamente.

Se eu aplico o logarítmo nos dois lados da equação,

Eu obtenho logarítmo natural de y é igual a x vezes o

logarítmo natural de x.

E então podemos derivar os dois lados da equação

com relação a x.

Então a derivada em relação a x disso, e então

a derivada em relação de x disso.

Agora vamos aplicar a regra da cadeia.

Então a regra da cadeia

Qual a derivada disso com relação a x?

Qual é a derivada da nossa expressão interna

com relação a x?

É um pouco de diferenciação implicita, então fica dy

com relação a x vezes a derivada disso aqui

com relação a essa função interna.

Então a derivada do logarítmo natural de x é 1/x.

Então a derivada do logarítmo natural de y

em relação a y é 1/y.

Então 1/y.

Então a derivada disso-- só aplicando a regra do produto,

eu vou trocar de cores aqui-- é a derivada

do primeiro termo, que é 1, vezes o segundo termo,

que é o logarítmo natural de x mais a derivada do segundo termo,

que é 1/x, vezes o primeiro termo.

que é x.

Então obtemos dy/dx vezes 1/y é igual ao logarítmo natural de x

mais-- isso aqui é igual a 1-- x dividido por x, e

então você multiplica os dois lados por y.

Você obtém dy/dx é igual a y vezes o logarítmo

natural de x mais 1.

Se você não gosta de y aqui, você pode simplesmente

fazer a substituição.

y é igual a x elevado a x.

Então você pode dizer que a derivada de y com relação a

x é igual a x elevado a x vezes o logarítmo natural de x mais 1.

Esse problema é divertido, e geralmente tido como um

problema difícil, ou serve como bônus se as pessoas

não sabem que devem determinar o logarítmo natural nos dois lados da equação.

Mas eu inicialmente estava pensando num problema mais difícil ainda,

e que vamos lidar com ele,

Mas foi melhor ter resolvido esse outro problema antes, por que

ele nos dá as ferramentas básicas para lidar com esse outro problema mais difícil.

Então o problema difícil que nós vamos lidar agora

é este aqui.

Deixe me escrever.

O problema é y é igual a x elevado a-- aqui vai--

x elevado a x elevado a x.

E queremos encontrar o valor de dy/dx.

Nós queremos encontrar o valor da derivada de y

em relação a x.

Basicamente, nós usamos as mesmas ferramentas para resolver esse problema.

Novamente nós usamos o logarítmo natural para quebrar este

expoente e trabalhar com coisas mais fáceis de se lidar.

Então nós podemos usar a regra do produto.

Então vamos aplicar o logarítmo natural nos dois lados da equação

como fizemos anteriormente.

Você obtém que o logarítmo natural de y é igual a logarítmo natural

de x elevado a x elevado a x.

E isso é somente o expoente disso.

Então podemos reescrever isso como x vezes x vezes o logarítmo natural

vezes o logarítmo natural de x.

Então nossa equação fica simplificada para

logarítmo natural de y é igual a x elevado a x vezes

o logarítmo natural de x.

Mas ainda nós temos esse termo x elevado a x aqui.

Nós não sabemos uma maneira fácil de lidar com essa derivada, apesar de eu

ter mostrado anteriormente como determinar essa derivada, então

podemos simplismente substituir aquele resultado aqui.

Eu estava pensando em aplicar o logarítmo natural novamente,

mas isso tornaria tudo mais confuso, então eu lembrei

que anteriormente nós resolvemos o problema de determinar

a derivada de x elevado a x.

É essa coisa aqui.

É essa expressão bizarra, que nós obtemos anteriormente.

Então, tudo o que precisamos fazer é relembrar esse resultado e substituí-la

em nosso problema.

Então vamos resolver nosso problema

Se nós não tivessemos resolvido isso antes,

esse é o tipo de vantagem que temos em resolver uma versão mais simples do problema.

você poderia simplesmente continuar aplicando o logarítmo natural aqui,

o que só tornaria a resolução um pouco mais confusa.

Mas uma vez que sabemos o resultado de x elevado a x

vamos simplesmente substituir aqui.

Então vamos aplicar a derivada nos

dois lados da equação.

A derivada disso é igual a derivada disso.

Vamos ignorar isso por enquanto.

A derivada disso em relação a x é a derivada do

logarítmo natural de y em relação a y.

Então isso é 1/y vezes a derivada de y

com relação a x.

Isso aqui é basicamente a regra da cadeia.

Nós aprendemos isso em derivadas implícitas.

E isso é igual a derivada do primeiro termo

vezes o segundo termo, e eu vou escrever isso aqui

por que eu não quero pular nenhum passo e confundir as pessoas.

Então isso é igual a derivada com relação a x de

x elevado a x vezes o logarítmo natural de x mais a derivada

com relação a x do logarítmo natural de

x vezes x elevado a x.

Então vamos focar no lado direito dessa equação

Qual é a derivada de x elevado a x em relação a x?

Bem, nós acabamos de resolver esse problema aqui

x elevado a x vezes o logarítmo natural de x mais 1.

Então esse pedaço aqui- Eu esqueci o que era isso--

Era x elevado a x vezes o logarítmo natural de x mais 1.

que é x elevado a x vezes o logarítmo natural de x mais 1.

E agora vamos multiplicar pelo

logarítmo natural de x.

E agora vamos somar isso com, mais a derivada

do logarítmo natural de x.

Isso é bem simples, ou seja, 1/x vezes x elevado a x.

E agora o lado esquerdo da equação

é simplesmente 1/y dy/dx.

E agora podemos multiplicar os dois dados por y, e obtemos

dy/dx é igual a y vezes toda essa coisa bizarra-- x elevado a

x vezes o logarítmo natural de x mais 1 vezes o logarítmo natural de

x mais 1/x vezes x elevado a x.

Isso aqui é igual x elevado a menos 1.

Então vamos reescrever isso como x elevado a menos 1, e então

somar os expoentes.

você pode escrever isso como x elevado a x menos 1.

Se você não gosta desse y aqui, você pode simplesmente

fazer a substituição.

y é igual a isso, essa coisa esquisita aqui.

Então nossa resposta para esse problema-- aparentemente

esse problema parece bem simples-- mas que na verdade

é um problema um pouco mais

complicado-- você obtém que a derivada de y

em relação a x é igual a y, que é isso aqui.

Então x elevado a x elevado a x vezes essa coisa aqui,

x elevado a x vezes o logarítmo natural de x mais 1 vezes o logarítmo natural

de x, e então tudo isso mais x elevado a x menos 1.

E então quem havia pensado.

Algumas vezes matemática é elegante.

Você pega a derivada de alguma coisa parecida com essa e

você obtém alguma coisa bem pura.

Por exemplo, quando você pega a derivada do logarítmo

natural de x você obtém 1/x.

Isso é bem simples e elegante, e é maravilhoso como a matemática

funciona dessa maneira.

Mas algumas vezes você faz alguma operação

que parece simples e elegante e você obtém

alguma coisa cabeluda e que não é agradável de se ver

mas esse é um problema bem interessante.

E é isso. Até a próxima.