Matemaatiline analüüs: x^(x^x) tuletis

Calculus: Derivative of x^(x^x)

Mõnes mõttes klassikaline kaudse diferentseerimise probleem

on y võrdub x astmel x.

Ja siis leida mis on y'i tuletis

x'i suhtes.

Ja inimesed vaatavad seda, ning arvavad, et

neil on konstantne astendaja, seega nad ei saa kasutada

astme reegleid, kuidas seda siis teha?

Nipp siin on võtta naturaallogaritm

mõlemast võrrandi poolest.

Ja see juhatab meid selleni,

mida me hiljem siin teeme.

Kui võtta mõlemast võrrandi poolest naturaallogaritm,

saame ln y võrdub

ln x^x

Meie astendamise reeglid, või siis naturaallogaritmi reeglid, ütlevad

kui võtta ln millestki mingis astmes

siis see on võrdne, ma võin uuesti kirjutada naturaal

log x^x, võrdub x korda

naturaal log x.

Las ma kirjutan kõik uuesti.

Kui ma võtan selle võrrandi mõlema poole naturaallogaritmi,

saan ma ln y võrdub x korda

naturaallogaritm x.

Ja nüüd me võtame mõlema poole tuletise

x'i suhtes.

Selle tuletis x'i suhtes, ja siis

selle tuletis x'i suhtes.

Nüüd me kasutame ahelreeglit.

Seega ahelreegel.

Mis on selle tuletis x'i suhtes?

Mis on meie sisemise avaldise tuletis

x'i suhtes?

See on kaudne diferentseerime, see on dy

x'i suhtes, korda kogu selle asja tuletis

sisemise funktsiooni suhtes.

Seega naturaallogaritm x tuletis on 1/x.

Seega ln y tuletis

y'i suhtes on 1/y.

Korda 1/y.

Ja selle tuletis -- see on lihtsalt korrutise reegel,

ja ma vahetan siin juhuslikult värvi -- on esimese

liikme tuletis, mis on 1, korda teine liige, seega korda

ln x pluss teise liikme tuletis,

mis on 1/x korda esimene liige.

Seega korda x.

Ja me saame dy/dx korda 1/y võrdub ln x

pluss -- sellest saab 1 -- x jagatud x, ja

siis korrutada mõlemad pooled y'ga.

Saame dy/dx võrdub y korda naturaal

logaritm x pluss 1.

Ja kui sulle ei meeldi see y siin, võib lihtsalt

teha asenduse.

y võrdub x astmel x.

Võib öelda, et y tuletis x'i suhtes

võrdub x astmel x korda ln x pluss 1.

Ja see on tore probleem, ja seda antakse tihti kui nipiga

probleem, või isegi boonusprobleemina kui inimesed

ei oska võtta mõlemast võrrandi poolest naturaallogaritmi.

Aga mulle anti ka raskem probleem, ja

seda me lahendame siin.

Aga on hea esmalt näha, kuidas seda probleemi lahendatakse,

sest see annab meil algsed oskused.

Raskem probleem, mida me

lahendame, on see.

Las ma kirjutan selle.

Probleem on, y võrdub x astmel -- ja siin on

nõks -- x astmel x astmel x.

Ja me tahame leida dy/dx.

Me tahame leida y'i tuletise

x'i suhtes.

Selle probleemi lahendamiseks kasutame me samu meetodeid.

Me kasutame naturaallogaritmi, et lõhkuda seda

astendajat ja saada liikmetesse, millega me midagi teha oskame.

Me võime kasutada korrutise reeglit.

Võtame mõlema võrrandi poole naturaallogaritmi,

nagu eelmine kord.

Saame, et ln y võrdub

ln x astmel x astmel x.

Ja see on lihtsalt astendaja sellele.

Me võime selle uuesti kirjutada kui x astmel x korda naturaal

logaritm x'ist.

Nüüd meie avaldis, võrrand on lihtsustatud järgnevaks

ln y võrdub x astmel x korda

ln x.

Aga meil on ikka see vastik x astmel x siin.

Me teame, et pole lihtsat moodust selle tuletise võtmiseks, kuigi

ma just näitasin teile, mis selle tuletis on, seega

me võiksime seda siin kasutada.

Ma plaanisin võtta jälle naturaallogaritmi ja see oleks

muutunud segaseks asjaks, aga ma sain aru, et

eelnevalt me lahendasime ära, mis

x astmel x tuletis on.

See on see asi siin.

See on see segane avaldis siin.

Me peame selle meelde jätma ja seda kasutama

ning lahendama meie probleemi.

Lahendame meie ülesande.

Kui me poleks seda enne lahendanud, see oli selline

ootamatu kasu probleemi lihtsama versiooni

tegemisest, võiks võtta jällegi naturaallogaritmi sellest,

aga see muutuks natuke segasemaks.

Aga kuna me juba teame, mis x astmel x

tuletis on, kasutame lihtsalt seda.

Me võtame mõlema võrrandi

poole tuletise.

Selle tuletis võrdub selle tuletisega.

Me ei tee sellest praegu välja.

Selle tuletis x'i suhtes on

ln y tuletis y'i suhtes.

Seega see on 1/y korda y'i tuletis

x'i suhtes.

See on lihtsalt ahelreegel.

Me õppisime seda kaudses diferentseerimises.

Ja see võrdub esimese liikme tuletis

korda teine liige, ja ma kirjutan selle siia välja,

et mitte jätta midagi vahele ega inimesi segadusse ajada.

See võrdub tuletis x'i suhtes järgnevast:

x astmel x korda ln x pluss

ln x korda x astmel x

x'i suhtes..

Keskendume nüüd võrrandi paremale poolele.

Mis on x astmel x tuletis x'i suhtes?

Me lahendasime selle probleemi juba.

See võrdub x astmel x ln x pluss 1.

See tükk siin -- ma juba unustasin, mis see

oli -- see oli x astmel x ln x pluss 1.

See on x astmel x korda ln x pluss 1.

Ja siis me korrutame seda

naturaallogaritmiga x'ist.

Ja siis me liidame selle, pluss

ln x tuletis.

See on iseenesestmõistetv, see on 1/x korda x astmel x.

Ja muidugi võrrandi vasak pool

oli lihtsalt 1/y dy/dx.

Ja me võime mõlemaid pooli korrutada y'ga. ja saame

dy/dx võrdub y korda kogu see värk -- x astmel

x korda ln x pluss 1 korda naturaallogaritm

x'ist pluss 1/x korda x astmel x.

See on x astmel -1.

Me võiksime selle kirjutada kui x astmel -1, ja siis

liidame astendajad.

Selle võiks kirjutada kui x astmel x miinus 1.

Ja kui meile ei meeldi see y siin, võime lihtsalt

selle asendada.

y võrdus sellega, see segane asi siin.

Ja meie lõplik vastus selle näiliselt -- noh mõnel tasandil

näeb väga lihtsa probleemina, aga teisel tasandil

kui hinnata mida see ütleb, on see nagu

väga keeruline probleem -- saame y'i tuletis

x'i suhtes võrdub y, mis on see.

Seega see on x astmel x astmel x korda kogu see värk -- korda

x astmel x ln x pluss 1 korda naturaallogaritm

x'st, ja siis kogu see pluss x astmel x miinus 1.

Kes oleks arvanud.

Mõnikord on matemaatika elegantne.

Sa võtad millegi sellise tuletise ja

saad midagi kaunist.

Näiteks, kui võtta naturaallogaritm x tuletis,

saame 1/x.

See on väga lihtne ja elegantne, ja on tore, et matemaatika

nii töötab.

Aga mõnikord sa teed midagi, sa teed millegi lihtsaga

tehte, ja saad

midagi, mis on karvane ja ebameeldiv vaadata,

aga on üpris huvitav probleem.

Ja nii ongi.