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Un poco de un problema clasico de diferenciación implicita
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es el problema y igual a x elevado a la x.
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Y luego encontrar la derivada de y
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con respecto a x
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Y miren que, oh ustedes saben, no tengo solo una
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constante exponencial aqui, asi que no puedo usar la regla de la potencia
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Como lo harias?
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Y el truco aqui es tomar el logaritmo natural de
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ambos lados de la ecuación.
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y esto va a construir lo que vamos a ver
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despues en este video.
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Asi que si tomas el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación
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obtienes el logaritmo natural de y es igual al
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logaritmo natural de x elevado a la x.
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Ahora nuestras reglas de potencia, o nuestras reglas de logaritmo natural, dicen
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mira, si tomo el logaritmo natural de algo elevado a la algo,
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es equivalente a, puedo reescribirlo logaritmo natural de x
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elevado a la x como siendo igual a x veces el
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logaritmo natural de x.
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Asi que dejenme esccribir todo de nuevo.
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Si tomo el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación
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obtengo el logaritmo natural de y es igual a x veces el
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logaritmo natural de x.
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Y ahora podemos derivar ambos lados de este
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con respecto a x.
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Asi la derivada con respecto a x de esto, y luego
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la derivada con respecto a x de esto.
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Ahora vamos a aplicar un poco la regla de la cadena.
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Asi la regla de la cadena.
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Que es la derivada de esto con respecto a x?
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Que es la derivada de nuestra expresion interna
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con respecto a x)
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Esto es un poco de diferenciación implicita, asi es dy
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con respecto a x veces la derivada de todo esta
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cosa con respecto a la funcion interna.
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Asi la derivada de logaritmo natural de x es 1/x.
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Asi la derivada de logaritmo natural de y con
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respecto a y es 1/y.
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asi veces 1/y.
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Y la derivada de esto --- esto es solo la regla del producto,
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y voy a cambiar los colores arbitrriamente aqui-- es la derivada
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de el primer termino, que es 1, por el segundo termino, por
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el logaritmo natural de x mas la derivada del segundo termino,
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que es 1/x por el primer termino.
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por x.
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y asi obtenemos dy/dx por 1/y es igual a logaritmo natural de x
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mas--- este es 1-- x dividido por x, y
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luego multiplicar ambos lados de esto por y.
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Obtenemos dy/dx es igual a y por el logaritmo natural
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de x mas 1.
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Y si no nos gusta esta y sentada aqui, solo
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hacemos la substitución
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y es igual a x elevada a la x
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Asi podemos decir que la derivada de y con respecto a
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x es igual a x elevada a la x por el logaritmo natural de x mas 1.
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y este es un problema divertido, y es a veces el tipo de problema
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truco dado, o a veces como problema bonus si
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no sabes poner el logaritmo natural de ambos lados de eso.
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Pero a mi me dieron un problema aun mas dificil, y
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es por eso que vamos a hacer este.
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Pero es bueno ver este problema primero porque
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te da las herramientas basicas.
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Por lo que el problema más difícil que vamos a
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tratar es éste.
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Permítaseme escribirlo.
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Asi el problema es y es igual a x elevada a --y aquí está el
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giro--x elevada a la x elevada a la x.
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Y queremos averiguar dy/dx.
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Queremos encontrar la derivada de y
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con respecto a x.
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Para resolver este problema esencialmente utilizamos las mismas herramientas.
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Utilizamos el logaritmo natural para esencialmente desglosar este
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exponente y obtenerlo en términos que podemos abordar.
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Para que podamos usar la regla del producto.
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Así que vamos a tomar el logaritmo natural de ambos lados de esta ecuación
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como lo hicimos la última vez.
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Obtendrá el logaritmo natural de y es igual al logaritmo natural
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de x a la x a la x.
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Y esto es sólo el exponente en este.
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Por lo tanto podemos reescribir como x a la x por el logaritmo natural
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por el logaritmo natural de x.
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Así que ahora nuestra expresión nuestra ecuación se ha simplificado a
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logaritmo natural de y es igual a x a la x por
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logaritmo natural de x.
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Pero todavía tenemos esta desagradable x a la x aquí.
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No sabemos de ninguna manera fácil de tomar la derivada, aunque yo he
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sólo mostrado que la derivada de esto es, lo
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podríamos aplicar ahora.
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Yo iba a tomar el logaritmoo natural de nuevo y convertiría
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esta cosa grande, desordenado, confuso, pero me di cuenta que
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anteriormente en este vídeo sólo resuelto por lo que la
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derivada de x a la x es.
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Es esta cosa aquí.
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Es esta expresión loca aquí.
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Por lo que sólo tenemos que recordar esto y aplicarlo y
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luego hacer nuestro problema.
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Así que vamos a hacer nuestro problema.
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Y si nosotros no habíamos resuelto esto antes, esto era un tipo de
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beneficio inesperado de hacer la versión más sencilla del
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problema, usted podría simplemente mantener poniendo el logaritmo natural de este,
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pero sólo obtendrá un poco de desastre.
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Pero desde ya sabemos lo que la derivada de x a la
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x, sólo vamos a aplicarlo.
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Así que vamos a tomar la derivada de ambos
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lados de la ecuación.
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Derivado de esto es igual a la derivada de esto.
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Vamos a ignorar esto por ahora.
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Derivada de esto con respecto a x es la derivada de
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el logaritmo natural de y con respecto a y.
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Así que 1/y por la derivada de y
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con respecto a x.
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Eso es simplemente la regla de la cadena.
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Aprendimos que en la diferenciación implícita.
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Así que esto es igual a la derivada del primer término
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por el segundo término y voy a escribir aquí justo aqui
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porque no quiero omitir pasos y confundir a las personas.
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Esto es igual a la derivada con respecto a x de
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x a la x por el logaritmo natural de x más la derivada
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con respecto a x el logaritmo natural de
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x por x a la x.
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Así que vamos a centrarnos en el lado derecho de esta ecuación.
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¿Qué es la derivada de x a la x a la x?
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Así sólo resolvimos ese problema aquí.
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Es x a la x logaritmo natural de x más 1.
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Así que esta pieza aquí--ya olvidé lo que
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fue--fue x a la x logaritmo natural de x más 1.
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Es decir x a la x por el logaritmo natural de x más 1.
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Y, a continuación, vamos a multiplicar esto por
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el logaritmo natural de x.
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Y, a continuación, vamos a añadir, además de la derivada
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del logaritmo natural de x.
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Es bastante sencillo, que es 1 / x por x a la x.
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Y por supuesto el lado izquierdo de la ecuación
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fue sólo 1/y dy/dx.
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Y nosotros podemos multiplicar ambos lados de esta ahora por y, y obtenemos
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dy/dx es igual a y por todo esto--x a la
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x por el logaritmo natural de x mas 1 por el logaritmo natural de
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x mas 1/ x por x a la x.
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Que el x a la menos 1 .
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Podríamos escribir esto como x al menos 1 y luego
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Agregar a los exponentes.
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Se podría escribir como x a la x menos 1 potencia.
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Y si no nos gusta este y aquí, sólo podemos
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sustituirlo atrás.
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y fue igual a esta, esta loca cosa aquí.
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Asi nuestro solución final para esto-- bien en un nivel
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se ve como un problema muy simple, pero en otro nivel
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cuando usted aprecia lo que está diciendo, es como oh hay un
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problema muy complicado --obtiene la derivada de y con
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respecto a x es igual a y, lo que es esto.
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Por lo que de x a la x a la x por todas estas cosas--por
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x a la x logaritmo natural de x mas 1 por el logaritmo natural
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de x, a continuación, más x a la x menos 1.
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Así que quién habría pensado.
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A veces las matemáticas es elegante.
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Tomar la derivada de algo como esto y
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obtendrá algo limpio.
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Por ejemplo, cuando haces la derivada de logaritmo natural
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de x se obtiene 1 / x.
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Que es muy simple y elegante, y es bueno que matemáticas
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salió de esa manera.
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Pero a veces haces algo, tener una operación
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algo que parece bastante simple y elegante y obtener
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algo que es peludo y no que agradable de ver
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pero es un problema bastante interesante.
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Y ahi tienen.
