Derivace x^(x^x)

Názorné vyřešení příkladu derivace x^x a následné využití tohoto příkladu k vypočítání ještě těžší derivace x^(x^x)

Klasickým příkladem na
derivování implicitních funkcí

je příklad y se rovná x na x s tím,
že máme spočítat derivaci y podle x.

Hodně lidí vyděsí, že máme x na
exponent, který není konstantní,

takže nejde použít
pravidlo o mocnině.

Jak to spočítat?

Trikem je na obě strany rovnice
použít přirozený logaritmus.

Tohle je taková příprava k tomu,
co bude později v tomto videu.

Když na obě strany rovnice aplikujeme
přirozený logaritmus, dostaneme,

že přirozený logaritmus z y
se rovná přirozenému logaritmu z (x na x).

Teď přijdou na řadu vzorce
pro mocniny, nebo spíše pro logaritmy.

Když mám přirozený logaritmus
z něčeho na něco, tak je to totéž co...

Přirozený logaritmus z (x na x) lze zapsat
jako x krát přirozený logaritmus z x.

Celé to
tedy přepíšu.

Když na obě strany rovnice
použiji přirozený logaritmus,

dostanu, že přirozený logaritmus z y
se rovná x krát přirozený logaritmus z x.

Teď můžeme zderivovat
obě strany téhle rovnice podle x.

Derivace podle x z tohoto
a potom derivace podle x z tohohle.

Nyní použijeme pravidlo
pro derivaci složené funkce.

Jaká je derivace
tohoto podle x?

Jaká je derivace našeho
vnitřního výrazu podle x?

Jde o implicitní
derivování.

Bude to dy podle x krát derivace
tohoto celého podle této vnitřní funkce.

Derivace přirozeného
logaritmu z x je 1 lomeno x.

Derivace přirozeného logaritmu z y
podle y je 1 lomeno y,

takže krát (1 lomeno y).

Tohle se rovná...

K derivaci tohohle použijeme
pravidlo pro derivaci součinu.

Vyberu si na to nějakou
libovolnou jinou barvou.

Bude to derivace prvního členu,
což je 1, krát druhý člen,

takže krát přirozený
logaritmus z x,

plus derivace druhého členu,
což je 1 lomeno x,

vynásobená prvním
členem, tedy krát x.

Z toho dostaneme, že (dy lomeno dx)
krát (1 lomeno y) se rovná

přirozený logaritmus z x plus...

Tohle je 1, že?

Je to x děleno x.

Nyní obě strany
vynásobíme y,

čímž dostaneme, že dy lomeno dx se rovná
y krát (přirozený logaritmus z x plus 1).

Pokud se vám tu
tohle y nelíbí,

můžete za něj dosadit,
protože y se rovná x na x.

Můžeme tedy říct,
že derivace y podle x se rovná

(x na x) krát
(přirozený logaritmus z x plus 1).

Je to zábavný příklad.

Často se udává jako trikový
nebo i jako bonusový příklad,

pokud lidé nevědí, že mají na obě strany
použít přirozený logaritmus,

ale máme tu ještě těžší příklad,
který půjdeme vyřešit právě teď.

Je ale dobře, že jsme nejdřív vyřešili
tento příklad, protože z něj můžeme vyjít.

Zadání onoho těžšího příkladu,
který budeme řešit, zní následovně.

Zapíšu to.

Zadání příkladu zní,
že y se rovná x na...

Teď přijde
to hlavní.

...x na (x na x) a my máme
spočítat dy lomeno dx.

Máme tedy spočítat
derivaci y podle x.

V tomto příkladu budeme
v zásadě postupovat stejně.

Použijeme přirozený logaritmus,
abychom se zbavili tohoto exponentu,

a dostali se k něčemu,
s čím umíme zacházet,

načež použijeme
pravidlo o součinu.

Na obě strany rovnice tedy
použijme přirozený logaritmus jako minule.

Vyjde nám, že přirozený logaritmus z y
se rovná ln(x na (x na x)).

Tohle celé je exponent,
na který mocníme x,

takže tohle můžeme přepsat jako
(x na x) krát přirozený logaritmus z x.

Náš výraz, nebo spíše
naše rovnice, teď má tvar

přirozený logaritmus z y se rovná
(x na x) krát přirozený logaritmus z x.

Stále tady však máme
to ošklivé x na x

a neznáme žádný jednoduchý
způsob, jak to zderivovat,

i když jsem vám vlastně před
chvílí ukázal, jak tohle zderivovat,

takže toho můžeme
rovnou využít.

Chtěl jsem znovu použít
přirozený logaritmus,

načež bych dostal
velkou a trochu matoucí rovnici,

ale uvědomil jsem si, že v tomhle videu
už jsme derivaci z (x na x) spočítali.

Máme to tady.

Je to tento
bláznivý výraz.

Musíme si to jen pamatovat, použít to
a dořešit tak tento příklad.

Pojďme tedy
dořešit náš příklad.

Kdybychom tohle
předtím nespočítali...

Máme teď nečekanou výhodu, protože
jsme vyřešili jednodušší verzi příkladu.

...tak bychom mohli opět
použít přirozený logaritmus,

ale bylo by to o
něco nepřehlednější.

Když už ale víme, jaká je derivace
x na x, tak toho využijme.

Zderivujme tedy obě
strany téhle rovnice.

Derivace tohoto se
rovná této derivaci.

Tohohle si zatím
nebudeme všímat.

Derivace tohoto podle x je derivace
přirozeného logaritmu z y podle y,

tedy 1 lomeno y, krát
derivace y podle x.

To je jen derivace
složené funkce,

naučili jsme se to u
derivování implicitních funkcí.

Toto se rovná derivaci prvního
členu vynásobené druhým členem...

Rozepíšu to pořádně, protože nechci
přeskakovat kroky a mást tím lidi.

Toto se tedy rovná derivaci podle x
z (x na x) krát přirozený logaritmus z x

plus derivace podle x z přirozeného
logaritmu z x vynásobená (x na x).

Zaměřme se teď
na pravou stranu naší rovnice.

Čemu se rovná derivace z
(x na x) podle x?

Tento příklad už jsme
před chvílí spočítali.

Je to (x na x) krát
(přirozený logaritmus z x plus 1).

Takže tato část...

Udělám to
jinou barvou.

...tato část...

Už jsem zapomněl,
jak to bylo.

Bylo to (x na x) krát
(přirozený logaritmus z x plus 1).

...tohle je (x na x) krát
(přirozený logaritmus z x plus 1),

což teď musíme vynásobit
přirozeným logaritmem z x.

K tomuhle přičteme derivaci
přirozeného logaritmu z x, takže plus...

Derivace přirozeného logaritmu z x je
poměrně přímočará, je to 1 lomeno x,

tohle krát (x na x).

Na levé straně rovnice bude jen
(1 lomeno y) krát (dy lomeno dx).

Teď můžeme obě strany
rovnice vynásobit y,

čímž dostaneme, že dy lomeno dx se rovná
y krát celá tahle šílená věc:

(x na x) krát (přirozený logaritmus z x
plus 1) krát přirozený logaritmus z x

plus (1 lomeno x)
krát (x na x).

Tohle je
x na minus prvou.

Tohle můžeme napsat jako x na minus prvou
a pak můžeme sečíst exponenty,

takže sem můžeme napsat
x na (x minus 1).

Pokud se nám tu nelíbí toto y,
můžeme za něj dosadit.

y se rovná tomuto,
téhle šílenosti.

Naše konečná
odpověď na tento zdánlivě...

Na jednu stranu to vypadá
jako jednoduchý příklad,

na druhou stranu když si uvědomíte, co nám
to říká, tak je to velmi složitý příklad.

Spočítali jsme, že derivace y podle x je
y, což je tohle, takže to dosadíme...

Je to x na (x na x) krát
toto celé, tedy krát...

Napíšu to zeleně.

...krát (x na x) krát
(přirozený logaritmus z x plus 1)

krát přirozený logaritmus z x a k tomu
celému přičteme x na (x minus 1).

Kdo by si
to pomyslel?

Občas je matematika
elegantní.

Zderivujete něco takového
a dostanete něco pěkného.

Například když zderivujete přirozený
logaritmus z x, dostanete 1 lomeno x,

což je jednoduché a elegantní a je hezké,
že to tak matematicky vyšlo,

ale někdy
něco uděláte,

použijete nějakou operaci na něco,
co vypadá jednoduše a elegantně,

a vyjde vám něco strašného,
co nevypadá hezky.

Tohle je ale poměrně
zajímavý příklad.

A je hotovo.