Inverting Matrices (part 3)

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我下面來講另一種求3×3逆方陣矩陣的方法
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我更喜歡這種方法，覺得更有趣些
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而且不那麽容易犯錯
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但是，如果我沒記錯的話
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《代數2》好像不教這個內容
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這也是爲什麽我先講前面那個方法
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我們先來過一遍新方法
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以後的影片裏，我會解釋這個方法的道理
0:20 - 0:22

知其所以然是很重要的
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但在線性代數裏，有那麽幾個知識點
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最好先掌握怎麽操作
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我認爲這是其中之一
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之後我們再來講爲什麽
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因爲，“怎麽操作”是個很機械的過程
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只涉及一些基礎的運算
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而“爲什麽”則更加深入
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所以我把它留到以後來講
0:41 - 0:44

通常，當你掌握了“怎麽操作”時
0:44 - 0:47

也就有信心進行更深入的思考了
0:47 - 0:50

言歸正傳，我們來看原矩陣
0:50 - 0:53

上段影片裏的原矩陣是多少來著？
0:53 - 1:04

它是1, 0, 1, 0, 2, 1, 1, 1, 1
1:04 - 1:07

要求它的逆矩陣
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我們介紹新的求逆方法，名叫：
1:10 - 1:14

高斯-若當消去
1:14 - 1:18

整個過程看起來就像是魔法一樣
1:18 - 1:20

以後的影片裏會有更詳細的解釋
1:20 - 1:22

我們先來“擴增”(augment)這個矩陣
1:22 - 1:24

什麽叫“擴增”(augment)？
1:24 - 1:27

就是給它加上些東西（這裡就是在原函數右邊寫上單位方陣）
1:27 - 1:32

我習慣畫一條分開線；有些人不畫，也是可以的
1:32 - 1:38

在分開線的另一邊，我寫上同樣大小的單位方陣
1:38 - 1:41

這裡是3×3矩陣，所以寫上3×3的單位方陣
1:41 - 1:50

即1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1
1:52 - 1:55

好了，接下來做什麽呢？
1:55 - 2:00

我會進行一係列“基本行運算”(elementary row operation)
2:00 - 2:04

我呆會兒再教你什麽叫做“基本行運算”
2:05 - 2:07

但是無論我對左邊矩陣的做什麽操作
2:07 - 2:10

我都要對右邊的相應行做同樣的運算
2:10 - 2:14

我的目標是：對左邊矩陣進行一係列的運算
2:14 - 2:17

當然也對右邊矩陣進行同樣的操作
2:17 - 2:22

使得左邊的矩陣，最終變成單位方陣
2:22 - 2:24

而當左邊變成單位方陣的時候
2:24 - 2:29

右邊的矩陣，就會變成左邊原逆方陣矩陣
2:29 - 2:32

當左邊變成單位方陣的時候
2:32 - 2:35

我們會管它叫“簡式行階梯形”（reduced row echelon form）
2:35 - 2:37

後面會有專門的影片來講這個
2:37 - 2:39

線性代數裏有很多術語和定義
2:39 - 2:42

但它們實際上都是很簡單的概念
2:42 - 2:44

先不扯遠了，我們動手計算
2:44 - 2:46

算完後你們就會更清楚些
2:46 - 2:47

至少會清楚計算過程
2:47 - 2:50

雖然可能還無法理解道理何在
2:50 - 2:51

我說過我們要進行一係列運算
2:51 - 2:53

所以首先，我們先要弄明白：
2:53 - 2:55

什麽樣的運算是合法的？
2:55 - 2:56

也就是“基本行運算”
2:56 - 2:58

合法的運算包括下面這些：
2:58 - 3:04

我可以拿某一行，乘上一個倍數
3:04 - 3:05

這是可以的
3:05 - 3:08

我可以交換任意兩行的位置
3:08 - 3:11

當然，如果我在左邊交換第一和第二行
3:11 - 3:13

我也必須在右邊做同樣的操作
3:13 - 3:17

我還可以拿某一行加上或減去另一行
3:17 - 3:21

比如說，我可以拿第三行，加上第二行
3:21 - 3:24

所以第三行的數字就變成它們的和
3:24 - 3:26

等下你們就明白這是什麽意思了
3:26 - 3:28

而且，這些運算可以組合起來
3:28 - 3:30

比如說，拿第二行乘以負1
3:30 - 3:33

然後把結果加到第三行上
3:34 - 3:41

你可能覺得這挺像在解一次方程組
3:41 - 3:44

確實如此，因爲矩陣就是一個
3:44 - 3:46

用來表示方程組的好方法
3:46 - 3:48

這一點我以後會給你們解釋
3:48 - 3:52

回到主題，我們來做點“基本行運算”
3:52 - 3:55

把左邊這個矩陣轉化成“簡式行階梯形”
3:55 - 3:59

其實也就是說“我們把它化成單位方陣”
4:00 - 4:01

我們的目標也就是：
4:01 - 4:03

得讓這一條對角線上全變成1
4:03 - 4:05

剩下的都變成0
4:05 - 4:07

我們來看看有沒有什麽簡便的方法
4:08 - 4:11

我們把新矩陣寫在下面
4:11 - 4:16

第一步，我要把左下角的1化成0
4:16 - 4:18

看起來很簡單
4:18 - 4:20

前兩行不變，照寫下來
4:20 - 4:21

1, 0, 1
4:22 - 4:23

然後是分開線
4:23 - 4:25

1, 0, 0
4:25 - 4:27

第二行也不做任何操作
4:27 - 4:29

0, 2, 1
4:33 - 4:36

0, 1, 0
4:37 - 4:40

我現在的目標，是要拿這一行
4:40 - 4:44

把它的第一個數字1，變成0寫在這裡
4:44 - 4:48

這樣一來，我們就朝單位方陣前進了一步
4:48 - 4:50

怎麽讓這裡得到0？
4:50 - 4:55

我可以這麽做：拿上面的第三行減去第一行
4:56 - 5:00

然後把結果寫在新的第三行的位置上
5:00 - 5:04

第三行減去第一行，結果是什麽？
5:04 - 5:07

1減去1，得0
5:08 - 5:10

1減去0，得1
5:11 - 5:13

1減去1，得0
5:14 - 5:16

我在左邊做了一次減法
5:16 - 5:18

也必須在右邊做相同的操作
5:18 - 5:20

也就是拿第三行減去第一行
5:20 - 5:23

即，0減去1，得負1
5:24 - 5:27

0減去0，得0
5:27 - 5:29

1減去0，得1
5:30 - 5:31

很好
5:31 - 5:33

接下來怎麽辦？
5:33 - 5:38

現在左邊的第三行，兩邊是0，中間是1
5:38 - 5:41

很像單位方陣裏的第二行
5:42 - 5:44

那何不直接交換這兩行呢？
5:44 - 5:46

直接交換第二行和第三行
5:46 - 5:47

我們把它寫下來
5:48 - 5:50

交換第二行和第三行
5:50 - 5:53

第一行不變，還是1, 0, 1
5:55 - 5:58

右邊的第一行也是一樣
5:58 - 6:02

現在我們交換第二行和第三行
6:02 - 6:05

所以第二行變成：0, 1, 0
6:05 - 6:07

右邊也同樣交換
6:07 - 6:09

變成：負1, 0, 1
6:09 - 6:12

直接交換兩行的位置就行了
6:13 - 6:16

所以第三行現在就變成了前面的第二行
6:16 - 6:18

0, 2, 1
6:18 - 6:21

這邊是0, 1, 0
6:22 - 6:23

好的
6:23 - 6:25

接下來又該怎麽辦？
6:25 - 6:27

如果第三行的這個2變成0就好了
6:27 - 6:30

這樣一來等於朝單位方陣前進了一大步
6:30 - 6:33

我怎麽才能把它變成0呢？
6:33 - 6:37

拿第三行減去2倍的第二行怎麽樣？
6:37 - 6:40

2倍的第二行，中間的數就是2
6:41 - 6:45

從第三行中減去它，中間就得0
6:45 - 6:46

就這麽辦
6:48 - 6:51

第一行，很幸運地，一直不用動
6:51 - 6:53

我們照寫下來
6:53 - 6:58

1, 0, 1, 1, 0, 0
6:59 - 7:02

第二行這回也不需要變
7:02 - 7:05

右邊是：負1, 0, 1
7:06 - 7:07

我剛才說要怎麽做來著？
7:07 - 7:12

我要從第三行裏減去“2倍的第二行”
7:13 - 7:18

就是：0，減去“2乘以0”，得0
7:19 - 7:24

2，減去“2乘以1”，就是0
7:24 - 7:29

1，減去“2乘以0”，得1
7:29 - 7:44

0，減去“2乘以負1”，就是0減去負2，得正2
7:45 - 7:50

1，減去“2乘以0”，還是等於1
7:50 - 7:56

0，減去“2乘以1”，得到負2
7:57 - 7:58

我都算對了嗎？
7:58 - 7:59

我來檢查下
7:59 - 8:05

0減去“2乘以負1”，“2乘以負1”等於負2
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0減去負2，所以是正2
8:07 - 8:08

好的，快完成了
8:08 - 8:10

左邊看起來已經很像單位方陣了
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或者說“簡式行階梯形”
8:12 - 8:14

唯一不同的是右上角的1
8:14 - 8:16

所以我們終於要對第一行下手了
8:17 - 8:18

我應該怎麽做？
8:19 - 8:24

我從第一行裏減去第三行怎麽樣？
8:24 - 8:26

因爲右上角的1減去右下角的1，就得0
8:26 - 8:28

我們把它寫下來
8:28 - 8:31

從第一行裏減去第三行
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1減去0，得1
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0減去0，得0
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1減去1，得0
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這就是我們想要的
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然後是：1減去2，得負1
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0減去1，得負1
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0減去負2，就得到正2
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其余的兩行不變
9:02 - 9:07

0, 1, 0, 負1, 0, 1
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下面是：0, 0, 1, 2, 1, 負2
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大功告成
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我們對左邊的矩陣做了一係列運算
9:20 - 9:23

也對右邊的矩陣進行同樣的操作
9:23 - 9:27

左邊的變成了單位方陣，或者叫“簡式行階梯形”
9:27 - 9:30

所用的方法叫“高斯-若當消去”
9:30 - 9:32

那麽右邊的這是什麽？
9:32 - 9:35

它就是左邊原逆方陣矩陣
9:37 - 9:39

原矩陣和它相乘，就等於單元矩陣
9:39 - 9:43

如果原矩陣叫A的話
9:44 - 9:46

那麽這個就是“A逆”
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就這麽簡單
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你們可以看到，這只花了我上次所用時間的一半
9:51 - 9:53

而且計算更容易
9:53 - 9:57

不用求伴隨矩陣、余因子、行列式什麽的
9:58 - 10:01

爲了幫助你們理解，我稍微講講這個方法的原理
10:01 - 10:07

我對左邊這個矩陣所做的每一步操作
10:07 - 10:10

都可以視爲是對它做了一次矩陣乘法
10:10 - 10:13

比如，要從原矩陣，到下面這個矩陣
10:13 - 10:15

就好像說，存在某個矩陣
10:15 - 10:18

乘以它的效果，就等於做了這第一步的操作
10:18 - 10:22

而第二步操作，相當於乘上了另一個矩陣
10:22 - 10:24

所以實質上，我們相當於拿原矩陣
10:24 - 10:28

乘上一係列的矩陣，最終得到單位方陣
10:28 - 10:31

這一係行矩陣，叫做“消元矩陣”（elinimation matrix）
10:31 - 10:34

我們把它們相乘，就得到原逆方陣矩陣
10:34 - 10:36

這是什麽意思呢？
10:36 - 10:39

比如，我們有原矩陣A
10:41 - 10:47

從A到下面這個矩陣，相當於乘上了一個消元矩陣
10:47 - 10:51

要是你們覺得一頭霧水，可以完全忽略
10:51 - 10:53

但它也可能會有所啓發
10:53 - 10:58

因爲第一步操作消去了元素(3, 1)（第三行第一列）
10:58 - 11:03

所以我們管這一步對應的消元矩陣叫做E(3,1)
11:04 - 11:07

而第二步操作，相當於乘上另一個矩陣
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以後的影片裏，會有更詳細的解釋
11:09 - 11:12

我會教你們如何構造這些消元矩陣
11:12 - 11:16

這裡的第二步操作，是兩行元素交換位置
11:16 - 11:20

我們姑且管它對應的矩陣，叫做“交換矩陣”S
11:20 - 11:25

乘上它，效果是交換第二行和第三行，所以寫成S(2, 3)
11:25 - 11:28

第三步也相當於一次乘法
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我們消去了什麽？消去了第三行第二列
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所以其對應的消元矩陣叫做E(3, 2)
11:37 - 11:40

最後一步，也相當於乘上了一個消元矩陣
11:40 - 11:44

消去了右上角的元素，也就是第一行第三列
11:44 - 11:47

所以它叫做E(1, 3)
11:47 - 11:51

你們現在不用搞清楚這些矩陣長什麽樣
11:51 - 11:54

後面我會教你們如何去構建它們
11:54 - 11:56

我現在只是想讓你們提前確信：
11:56 - 12:01

這裡的每一步操作，都可以通過“乘上一個矩陣”來完成
12:01 - 12:04

而我們知道，乘上這些矩陣之後
12:04 - 12:07

原矩陣A就變成了單位方陣I
12:07 - 12:08

也就是這裡
12:08 - 12:11

所以這幾個矩陣的乘積
12:11 - 12:13

如果我們把它們相乘的話
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肯定就等於A的逆矩陣
12:16 - 12:22

這些消元、交換矩陣乘起來，肯定等於A的逆矩陣
12:23 - 12:26

因爲拿它們乘上A，結果等於單位方陣
12:27 - 12:29

那麽，這會給我們什麽結論呢？
12:29 - 12:33

如果這些矩陣相乘等於逆矩陣
12:33 - 12:37

那麽拿單位方陣乘上它們
12:37 - 12:41

也就是：第一步乘以E(3, 1)
12:41 - 12:43

第二步乘以S(2, 3)
12:43 - 12:45

第三步乘以E(3, 2)
12:45 - 12:46

如此往複
12:46 - 12:48

當你把這些步驟合在一起
12:48 - 12:53

實際上就相當於拿逆矩陣乘以單位方陣，明白嗎？
12:53 - 12:55

我不希望把你弄糊塗
12:55 - 12:58

你明白我所說的當然好，不明白也沒關係
12:58 - 13:01

但是，如果你著眼於大效果的話
13:01 - 13:04

這些步驟的效果，實際上相當於：
13:04 - 13:10

把這個擴增矩陣的左右兩邊都乘上逆矩陣
13:11 - 13:14

左邊的乘上逆矩陣，得到單位方陣
13:14 - 13:19

而右邊，單位方陣乘上逆矩陣，當然就得到逆矩陣
13:19 - 13:22

話說回來，我不想把你弄糊塗
13:22 - 13:24

只是希望能給你一點點解釋
13:24 - 13:26

以後我會用更具體的例子來解釋它的原理
13:26 - 13:28

目前你只要知道有這麽個簡便的方法
13:28 - 13:33

不用去算伴隨、余因子、子式矩陣、行列式之類的
13:33 - 13:35

好的，那我們下段影片再見

Title:: Inverting Matrices (part 3)
Description:: 使用“高斯-若当消元法”来求一个3×3矩阵的逆矩阵

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Video Language:: English
Duration:: 13:36

David Chiu added a translation

Chinese, Traditional subtitles

Revisions

Revision 1

David Chiu

Inverting Matrices (part 3)

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