Proof - Opposite Sides of Parallelogram Congruent

ما سنثبته الآن في هذا العرض عبارة عن مجموعة

مباشرة من متوازيات الاضلاع

وسنقول عن الاول

"اذا كان لدينا متوازي الاضلاع ABCD

دعونا نثبت ان الاضلاع المتقابلة لها نفس الطول"

اي نثبت ان AB = DC وان AD = BC

اذا دعوني ارسم قطراً هنا

سأرسم قطر

وهذا القطر، اعتماداً على كيفية رؤيتنا ه فإنه يقطع

مجموعتين من الخطوط المتوازية، اذاً يمكنكم ايضاً اعتباره

كمستقيم قاطع

في الواقع دعوني ارسم بطريقة متقنة اكثر من ذلك

يمكنني فعل شيئ افضل

لا هذا ليس افضل

هذا افضل ما يمكنني فعله

فاذا نظرنا، اعتبرنا DBـ هذا القطر DB، يمكننا اعتباره

كخط قاطع للخطوط المتوازية AB و DC

او اذا اعتبرته بهذه اطريقة، فيمكنك ان تختار تلك الزاوية ABD

ستكون مطابقة

اذاً الزاوية ABD، وهي تلك الزاوية الموجودة هنا، ستكون

مطابقة للزاوية BDC لأنهما زوايا داخلية بديلة

لدينا مستقيم قاطع، خطوط متوازية

ونحن نعلم ان الزاوية ABD ستكون مطابقة

للزاوية BDC

الآن يمكنكم ايضاً اعتبار القطر DB، يمكنكم اعتباره

كمستقيم قاطع لهذان الخطان المتوازيان

للزوج الآخر من الخطوط المتوازية، AD وBC

واذا نظرتم اليه بهذه الطريقة سترون مباشرة ان الزاوية

DBC، هنا، الزاوية DBC ستكون مطابقة للزاوية

ADB، لنفس السبب، اي انهما زوايا داخلية بديلة

للمستقيم الذي يقطع هذان الخطان المتوازيان

اذاً يمكنني ان اكتب هذا

هذه الزوايا الداخلية البديلة تكون متطابقة عندما يكون لدينا

مستقيم يقطع الخطان المتوازيان

ونرى ايضاً ان كل من هذان المثلثان

اي المثلث ADB والمثلث CDB كلاهما يتشاركان بهذا الضلع

انه وبكل وضوح مساوياً لنفسه

الآن، لما يعتبر هذا مفيداً

حسناً، ربما انك تدرك اننا اوضحنا ن كلاً من هذه

المثلثات، لديها هذه الزاوية الوردية ولديها هذا الضلع

المشترك ثم ان لديها الزاوية الخضراء

الزاوية الوردية، ضلع مشترك ثم الزاوية الخضراء

لقد اوضحنا من خلال زاوية ضلع زاوية ان هذان

المثلثان متطابقان

دعوني اكتب هذا اذاً

اوضحنا ان المثلث --سأنتقل من الزاوية غير المسماة الى الوردية

من الزاوية غير المسماة الى الوردية الى الخضراء-- CBD وهذه اتوا من

تطابق زاوية ضلع زاوية

اذاً هذا من خلال تطابق زاوية ضلع زاوية

حسناً، ماذا فعل هذا

حسناً، اذا كان مثلثان متطابقان بالتالي فإن جميع تماثلات

المثلثين سيكونوا متطابقين

بشكل خاص، الضلع DC يماثل الضع BA--

الضلع DC الذي يقع اسفل المثلث يماثل الضلع BA

الموجود اعلى المثلث

اذاً يجب ان يكونا متطابقين

اذاً DC

حصلنا على DC سيكون مساوياً لـ BA و

السبب لأنهما اضلاع متماثلة لمثلثات متطابقة

اذاً هذا سيكون مساوياً لذلك باتباع نفس المنطق

AD يماثلCB

AD = CB لنفس السبب:

اضلاع متماثلة للمثلثات المتطابقة

وانتهينا!

لقد اثبتنا ان الاضلاع المتقابلة تكون متطابقة

الآن، دعونا ننتقل للوجهة الاخرى

دعونا نفترض ان لدينا شكل رباعي ما

ونعلم ان الاضلاع المتقابلة تكون متطابقة

هل بامكاننا ان نثبت ان هذا متوازي اضلاع

حسناً، انه نفس الاثبات نوعاً ما

اذاً دعونا نرسم قطر هنا

بما اننا نعرف عن المثلثات

اذاً دعوني ارسم

سندأ

هذا هو الجزء الاصعب، دعونا نرى

نرسم على --هذا جيد--

حسناً

نحن نعلم ان CB سيساوي نفسه

سأرسمه بهذا الشكل

نحن بكل وضوح --لأن هذا نفس الخط

ثم لدينا شيئاً مثيراً للاهتمام

لقد قمنا بتقسيم هذا الشكل الرباعي الى مثلثين: المثلث ACB

والمثلث DBC

ولاحظوا، ان فيهما جميع الاضلاع الثلاثة لهذان المثلثان

متساوية

نحن نعلم ذلك التطابق من خلال ضلع ضلع ضلع

نحن نعلم ان ذلك المثلث، سأبدأ من A وسأنتقل

الى نصف الضلع، اذاً ACB يطابق المثلث DBC

وذلك عن طريق تطابق ضلع ضلع ضلع

حسناً، ماذا فعل هذا

حسناً، هذا يوضح ان جميع الزوايا المتناظرة

ستكون متطابقة

على سبيل المثال، ABC، الزاوية ABC ستكون

--يمكنك ان ترى ABC-- ستكون مطابقة لـ DCB

الزاوية DCB ويمكنك ان تقول ان الزوايا المتناظرة

للمثلثات المتطابقة تكون متطابقة

انني استخدم بعض الاختصارات هنا حتى اوفر بعض الوقت

اذاً ABC ستكون مطابقة لـ DCB

اذاً هاتان الزاويتان ستكونان متطابقتين

حسناً، هذا مثير للاهتمام لأنه لدينا هنا خط طويل جداً

وهذا مثير للاهتمام، AB و CD --وقد رأينا بكل وضوح ان هذه

يمكنها ان تكون زوايا بديلة، زوايا داخلية بديلة--

متطابقان

ولأن لدينا هاتان الزاويتان الداخليتان البديلتان

نحن نعلم ان AB يجب ان يوازي CD

اي ان هذا يجب ان يوازي ذلك

نحن نعلم ان AB موازياً لـ CD من خلال الزوايا الداخلية البديلة

للمستقيمات التي تقطع الخطوط المتوازية

الآن، يمكننا استخدام المنطق نفسه

الزاوية ACB مطابقة للزاوية DBC

ونعلم هذا عن طريق التناظر

الزوايا المتطابقة في المثلثات المتطابقة

ما نقوله هنا هو ان هذه الزاوية تساوي تلك الزاوية

حسناً، مرة اخرى هاتان يمكن ان تكونا وايا داخلية بديلة

يبدوان كما يجب، هذا مستقيم قاطع

ويوجد هنا خطان لسنا متأكدين اذا كانا متوازيان

لكن لأن الزوايا الداخلية البديلة تكون متطابقة

سنعرف انهما متوازيان

اذاً هذا موازياً لذلك

نحن نعلم ان AC يوازي BD عن طريق الزوايا الداخلية البديلة

وانتهينا!

ما فعلناه كان ممتعاً

لقد وضحنا انه اذا كان لدينا متوازي اضلاع، فتكون الاضلاع المتقابلة

يكون للاضلاع المتقابلة نفس الطول

واذا كان للاضلاع المتقابلة نفس الطول بالتالي يكون لدينا

متوازي اضلاع

وقد اثبتنا هذا فعلياً بكلا الاتجاهين

ولذلك يمكننا تكوين ما تسمونه

بجملة شرطية

يمكن ان نقول "اذا كانت الاضلاع المتقابلة في الشكل رباعي الاضلاع متوازية"

او يمكن ان تقولوا "الاضلاع المتقابلة في الشكل الرباعي تكون متوازية

اذا وفقط اذا كانت اطوالها متساوية"

ويمكنك ان تقول "اذا وفقط اذا"

فاذا كانت متوازية بالتالي يمكنك ان تقول ان اطوالها متساوية

وفقط اذا كانت اطوالها متساوية ستكون متوازية

لقد قمنا باثبات ذلك بكلا الاتجاهين