< Return to Video

Lin Alg: Orthogonal Complement of the Nullspace

  • 0:00 - 0:02
    Rozpatrzmy pewną macierz A.
  • 0:02 - 0:06
    Nauczyliśmy się ostatnio, że
    przestrzeń rozpięta na wierszach A jest
  • 0:06 - 0:11
    tym samym co przestrzeń rozpięta
    na kolumnach macierzy A transponowanej.
  • 0:11 - 0:20
    Mamy więc przestrzeń rozpiętą na
    wierszach macierzy A.
  • 0:20 - 0:23
    Dopełnienie ortogonalne A,
    a więc zbiór wszystkich
  • 0:23 - 0:26
    wektorów, które są
    do niej ortogonalne,
  • 0:26 - 0:31
    dopełnienie ortogonalne jest równe
    jądru przekształcenia A.
  • 0:31 - 0:35
    Oczywiście, uzyskamy ten sam
    rezultat, jeśli zamienimy A
  • 0:35 - 0:39
    z A transponowanym. Zauważamy, że
    dopełnienie ortogonalne
  • 0:39 - 0:46
    przestrzeni rozpiętej na kolumnach A
    jest równe
  • 0:46 - 0:49
    kojądru A.
  • 0:49 - 0:52
    Jest to to samo co
    jądro macierzy A transponowanej.
  • 0:52 - 0:55
    Możemy zapisać to inaczej, żeby
    zrozumieć terminologię,
  • 0:55 - 1:00
    to jest kojądro, które
    jest tym samym co
  • 1:00 - 1:01
    jądro macierzy A transponowanej.
  • 1:01 - 1:06
    Teraz, czym jest dopełnienie
    ortogonalne
  • 1:06 - 1:10
    jądra macierzy A?
  • 1:10 - 1:14
    Można by przyjąć, że jest to
    przestrzeń rozpięta na wierszach A,
  • 1:14 - 1:16
    jednak nie mieliśmy narzędzi
    aż do poprzedniej lekcji
  • 1:16 - 1:17
    aby do tego dojść.
  • 1:17 - 1:22
    Ostatnim razem zobaczyliśmy, że
    jeśli weźmiemy dopełnienie ortogonalne
  • 1:22 - 1:25
    (pozwólcie mi zapisać to w ten sposób)
    jeśli weźmiemy
  • 1:25 - 1:28
    dopełnienie ortogonalne dopełnienia
    ortogonalnego
  • 1:28 - 1:31
    otrzymujemy wyjściową podprzestrzeń.
  • 1:31 - 1:32
    Co teraz należy zrobić?
  • 1:32 - 1:35
    Weźmy dopełnienie ortogonalne
  • 1:35 - 1:37
    jądra A.
  • 1:37 - 1:41
    Jądro A znajduje się w tym
    miejscu.
  • 1:41 - 1:45
    Jest to więc równoważne
    dopełnieniu ortogonalnemu
  • 1:45 - 1:46
    jądra A.
  • 1:46 - 1:49
    Jednak jądro A jest w tym miejscu.
  • 1:49 - 1:55
    Jest to dopełnienie ortogonalne
    przestrzeni rozpiętej na wierszach.
  • 1:55 - 1:58
    Weźmy teraz dopełnienie
    ortogonalne
  • 1:58 - 1:59
    dopełnienia ortogonalnego.
  • 1:59 - 2:02
    Możemy użyć własności udowodnionej
    w ostatniej lekcji
  • 2:02 - 2:05
    aby powiedzieć, że jest to równe
    po prostu
  • 2:05 - 2:07
    przestrzeni rozpiętej na wierszach A.
  • 2:07 - 2:11
    To to samo, co przestrzeń
    rozpięta na kolumnach A transponowanej.
  • 2:11 - 2:14
    Dopełnienie ortogonalne przestrzeni
    rozpiętej na wierszach
  • 2:14 - 2:16
    jest jądrem oraz dopełnienie
    ortogonalne jądra
  • 2:16 - 2:19
    jest przestrzenią rozpiętą
    na wierszach.
  • 2:19 - 2:20
    Możemy użyć tej własności
  • 2:20 - 2:23
    po tej stronie tutaj.
  • 2:23 - 2:29
    Czym jest dopełnienie
    ortogonalne
  • 2:29 - 2:33
    kojądra A?
  • 2:33 - 2:34
    Co to jest?
  • 2:34 - 2:36
    Cóż, będzie to równe dopełnieniu
    ortogonalnemu
  • 2:36 - 2:38
    tej rzeczy,
  • 2:38 - 2:41
    ponieważ jest to równe kojądru A.
  • 2:41 - 2:43
    Jest to więc równo dopełnieniu
    ortogonalnemu
  • 2:43 - 2:47
    dopełnienia ortogonalnego przestrzeni
    rozpiętej na kolumnach.
  • 2:47 - 2:49
    W ostatniej lekcji zobaczyliśmy,
    że jeśli weźmiemy
  • 2:49 - 2:51
    dopełnienie ortogonalne
    dopełnienia ortogonalnego
  • 2:51 - 2:53
    jest ono równe
    wyjściowej podprzestrzeni.
  • 2:53 - 2:57
    Jest to więc równe przestrzeni
    rozpiętej na kolumnach A.
  • 2:57 - 2:59
    Dostrzegamy tutaj pewną symetrię.
  • 2:59 - 3:03
    Jądro jest dopełnieniem ortogonalnym
  • 3:03 - 3:07
    przestrzeni rozpiętej na wierszach,
    która jest
  • 3:07 - 3:09
    dopełnieniem ortogonalnym jądra.
  • 3:09 - 3:12
    Podobnie, kojądro
    jest dopełnieniem ortogonalnym
  • 3:12 - 3:14
    przestrzeni rozpiętej na kolumnach.
  • 3:14 - 3:18
    Przestrzeń rozpięta na kolumnach jest
    dopełnieniem ortogonalnym
  • 3:18 - 3:20
    kojądra.
  • 3:20 - 3:23
    Zauważamy tutaj symetrię, więc
    jesteśmy w stanie w końcu
  • 3:23 - 3:26
    udowodnić to, co zaczęliśmy
    w poprzedniej lekcji.
Title:
Lin Alg: Orthogonal Complement of the Nullspace
Description:
more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
03:27

Polish subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.