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洛必达法则 绪论

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    我们之前学微积分的时候
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    多半时间都在使用极限的概念
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    我们用极限来算出函数的导数。
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    事实上，导数的定义用了
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    极限的概念
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    当我们把曲线上的点和其中一个点越来越靠近的时候
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    所算出来的斜率就会等于导数
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    而想必你也看过了很多很多次了
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    在这个视频
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    我想我要从相反的方向来做
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    我们要用导数来计算极限
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    尤其是会变成未定式的极限
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    我说的未定式
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    是当我们取极限的时候 我们会算到 0/0
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    或者除以无穷大 或者负无穷大除以无穷大
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    又或者是负无穷大除以负无穷大
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    或者无穷大除以负无穷大
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    这些全部都是未定式，没有定义的形式
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    所以解决它的方法是用洛必达法则
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    在这个视频我将演示
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    什么是洛必达法则 如何套用这个法则
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    这十分直截了当 这也是一个十分有用的工具
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    有时候如果你参加一些数学比赛
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    题目可能会是一个难解的极限
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    当你直接把数字代入时 就会得到这样的结果
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    他们通常在考你洛必达法则
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    在未来的视频 我可能会证明洛必达法则
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    虽然它可能会比较复杂
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    应用方面其实相当简单
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    洛必达法则说明 如果我们——
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    我会先以抽象的形式来做
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    当我再解一个例子的时候 一起都会很清楚
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    所以如果 x 趋近 c 时 f(x) 的极限等于 0
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    和当 x 趋近 c 时 g(x) 的极限等于 0
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    还有当 x 趋近 c 时
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    f'(x) 除以 g'(x) 的极限存在并等于 L
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    所以这些条件都必须符合
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    这是未定式 0/0
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    这是我们第一个案例
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    我们可以说当 x 趋近 c 时
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    f(x) 除以 g(x) 的极限也将是等于 L
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    这可能对你来说很异于寻常
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    但我先展示另一个案例
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    然后我再解一个例子
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    我们会解几个题目
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    这些题目会把这些说明清楚
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    这是第一个案例
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    所以我们先做有关这的例子
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    另一个案例是 当 x 趋近 c 时
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    f(x) 的极限将等于正或负无穷大
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    而 x 趋近 c 时g(x) 的极限将等于正或负无穷大
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    还有——我想你猜得到——
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    它们的商存在
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    当 x 趋近 c 时 f'(x) 除以 g'(x)
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    将等于 L
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    所以我们能再做了相同的陈述
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    让我复制这个
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    编辑 复制 然后再贴上
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    所以在这两个情况
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    确保你了解你在看什么
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    这是当你尝试计算这个极限
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    你会得到 f(c)=0 的情况
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    或者当 x 趋近 c 时 f(x) 的极限
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    除以当 x 趋近 c 时 g(x) 的极限
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    结果将是 0/0
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    所以你说 嘿 我可不知道这极限是啥
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    但是瞧瞧
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    如果这个极限存在的话
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    我可以取这些函数的导数 再尝试计算极限
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    如果我算得一个号码 如果它存在的话
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    他们将会是同样的极限
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    这是另一个情况
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    如果我们取无穷大除以无穷大的极限
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    无论上下有没有负号
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    所以这是两个未定式
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    为了让这更清楚明白 我会解一个例题
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    因为我觉得这将清楚解释这一切
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    所以比方说我们要取——
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    换个颜色好了
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    换成紫色——
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    比方说我们要取当 x 趋近 0 时
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    sin x 除以 x 的极限
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    现在如果我们想要直接解题 直接把 0 代入
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    或者取这每一个函数当 x 趋近 0 时的极限
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    我们将得到 0/0
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    sin 0 等于 0
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    或者说当 x 趋近 0 时 sin x 的极限等于 0
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    当然显而易见的是当 x 趋近 0 时
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    x 当然会变成 0
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    所以这就是未定式
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    当你想想看 这是我们的 f(x)
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    f(x) 等于 sin x
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    而我们的 g(x)
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    在第一个案例 是 x
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    g(x) 等于 x 和 f(x) 等于 sin(x)
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    注意 我们已经确定
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    这符合前两个条件
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    当 x 趋近 c 时的极限，在这里 c 是 0
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    当 x 趋近 0 时 sin x 的极限是 0
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    而当 x 趋近 0 时 x 的极限也是 0
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    所以这是未定式
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    所以至少瞧瞧这极限是否真的存在
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    当我们取 f(x) 的导数 除以 g(x) 的导数
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    再取当 x 趋近 0 时的极限
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    在这里 这是我们的 c
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    让我们算算这极限是否存在
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    我用蓝色来写
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    让我写下来这两个函数的导数
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    f'(x)
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    如果 f(x) 是 sin (x) f'(x) 是什么？
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    嗯，这等于 cos x
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    你已经学过很多很多次了
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    而如果 g(x) 是 x，那 g'(x)为何呢？
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    十分简单
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    x 的导数是 1
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    所以让我们取当 x 趋近 0 时
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    f'(x) 除以 g'(x) 的极限——就是两个导数的商
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    所以这将是当 x 趋近 0 时
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    cos x 除以 1 的极限
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    这个 1 写得有点奇怪
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    这份直截了当
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    这将等于什么？
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    嗯 当 x 趋近 0 时
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    cos x 将等于 1
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    很明显的 当 x 趋近 0 时
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    1 的导数也是 1
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    所以在这情况 我们看到了当 x 趋近 ——
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    我们的 c 是 0 ——
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    当 x 趋近 0 时
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    f'(x) 除以 g'(x) 的极限是 1
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    这极限存在并等于 1
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    所以我们符合全部三项条件
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    这就是我们解的例子
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    当 x 趋近 0 时 sin x 的极限等于 0
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    当 x 趋近 0 时 x 的极限等于 0
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    当 x 趋近 0 时 sin x 的导数除以 x 的导数
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    是 cos x 除以 1
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    我们得到 1
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    这符合上面的全部条件
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    所以我们知道这一定是这样
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    当 x 趋近 0 时
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    sin x 除以 x 的极限也一定等于 1
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    这也等于这个极限的值
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    我们取了 f(x) 和 g(x) 的导数
  • 8:46 - 8:48
    我将在接下来的几个视频做多一些例子
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    我想这将让你的概念更清楚
Title:
洛必达法则 绪论
Description:

洛必达法则的介绍
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Video Language:
English
Duration:
08:51
Kin Guan Wee added a translation

Chinese, Simplified subtitles

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