-
ส่วนใหญ่ที่เราทำก่อนหน้านี้ตอนที่เราเริ่มเรียนเกี่ยวกับ
-
แคลคูลัส ก็คือการใช้ลิมิต
-
เราใช้ลิมิตเพื่อที่จะหาอนุพันธุ์(derivative)ของฟังก์ชัน
-
อันที่จริงแล้ว การนิยามความหมายของอนุพันธุ์ก็ใช้
-
แนวคิดของลิมิต
-
มันก็คือความชันรอบจุดเมื่อเราจำกัด
-
จุดให้เข้าไปใกล้จุดที่เราสนใจมากมาก
-
พวกคุณก็คงจะเห็นมามากมายหลายรอบแล้ว
-
ในวิดิโอนี้ พวกเรากำลังจะทำ
-
ในทิศทางตรงกันข้าม
-
เราจะใช้อนุพันธุ์เพื่อที่จะหาลิมิต
-
โดยเฉพาะ ลิมิตที่สุดท้ายแล้วอยู่ในรูปที่ไม่ชัดเจน (indeterminate)
-
และที่บอกว่ารูปที่ไม่ชัดเจน ฉันหมายถึงเวลา
-
หาลิมิตตามรูปที่มันเป็น แล้วสุดท้ายเราได้รูป 0/0 หรือ
-
ค่าอนันต์/ค่าอนันต์ หรือ ลบอนันต์/อนันต์
-
หรืออาจจะ ลบอนันต์/ลบอนันต์
-
หรือ อนันต์/ลบอนันต์
-
ทั้งหมดนี้คือรูปแบบที่ไม่ชัดเจน หรือไม่นิยาม
-
และเพื่อที่จะแก้โจทย์นี้ เราจะใช้ กฎของโลปิตาล (l'Hopital's rule)
-
และในวิดิโอนี้ ฉันกำลังจะแสดงให้ดูว่าอะไรที่
-
กฎของโลปิตาลบอก และเราจะใช้มันอย่างไร เพราะว่ามันค่อนข้างจะ
-
ตรงไปตรงมา และจริงๆแล้ว มันก็มีประโยชน์มาก
-
บางครั้ง ถ้าคุณอยู่ในการแข่งขันคณิตศาสตร์อะไรซักอย่าง และ
-
เขาถามคุณให้หาลิมิตยากๆที่ถ้าคุณแค่
-
ใส่ตัวเลขเข้าไปแล้วคุณได้ค่าอะไรแบบนี้
-
กฎของโลปิตาลก็คือสิ่งที่เค้าอยากจะทดสอบคุณ
-
และในวิดิโออื่น ฉันอาจจะพิสูจน์ให้ดู แต่ว่านั่น
-
ค่อนข้างจะยุ่งยากเล็กน้อย
-
การใช้งานก็ค่อนข้างจะตรงไปตรงมา
-
กฎของโลปิตาลบอกเราว่า ถ้าเรามี... และเราจะ
-
ทำมันในรูปแบบทฤษฎีก่อน แต่ฉันคิดว่าพอฉันแสดง
-
ตัวอย่างให้เห็น มันจะชัดเจนเอง
-
ว่าถ้าลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ c ของ f(x) มีค่าเท่ากับ 0
-
และลิมิตของ x เข้าใกล้ c ของ g(x) ก็เท่ากับ 0
-
และ อีกรอบ ...และลิมิตของ x เข้าใกล้ c ของ
-
f'(x)/ g'(x) มีค่า โดยเท่ากับ L
-
คือจะต้องมีคุณสมบัติทุกอย่างนี้
-
นี่คือรูปแบบ indeterminate ของ 0/0 และนี่
-
เป็นเคสแรก
-
เราจะสามารถบอกได้ว่า ลิมิตของ x เข้าใกล้ c ของ
-
f(x)/g(x) จะมีค่าเท่ากับ L
-
มันอาจจะดูแปลกๆซักหน่อยตอนนี้ และ
-
ฉันจะกำลังจะเขียนอีกเคสหนึ่ง แล้ว
-
ก็จะทำตัวอย่างให้ดู
-
เราจะทำหลายๆตัวอย่าง และตัวอย่างก็จะ
-
ทำให้ทุกอย่างชัดเจนขึ้น
-
นี่เป็นเคสแรกและตัวอย่างที่เราจะ
-
ทำก็จะเป็นตัวอย่างของเคสนี้
-
อีกเคสหนึ่งคือ ถ้าลิติของ x เข้าใกล้ c ของ f(x)
-
มีค่าเท่ากับบวกหรือลบอนันต์ และ
-
ลิมิตของ x เข้าใกล้ c ของ g(x) เป็นค่าบวก หรือ
-
ลบอนันต์ และลิมิตของ
-
ผลหารของอนุพันธุ์มีค่า และลิมิตของ
-
x เข้าใกล้ c ของ f'(x)/g'(x)
-
มีค่าเท่ากับ L
-
เราก็จะสามารถบอกแบบเดียวกันได้
-
ฉันขอลอกมันมาเลยละกัน
-
แก้ ลอก แล้วก็แปะ
-
ดังนั้น ในเหตุการณ์ใดใดในสองอย่างนี้ ก็แค่จะ
-
ทำให้แน่ใจว่า คุณเข้าใจสิ่งที่คุณกำลังดูอยู่ มันคือ
-
เหตุการณ์ที่คุณแค่จะพยายามหาค่าลิมิต
-
ตรงนี้ คุณจะหาค่า f(c) ซึ่งเท่ากับ 0
-
หรือลิมิตของ x เข้าใกล้ c ของ f(x) หารด้วย ลิมิตของ
-
x เข้าใกล้ c ของ g(x)
-
ซึ่งก็จะให้ค่า 0/0
-
คุณก็เลยบอกว่า เฮ่ย ฉันไม่รู้หรอกว่าลิมิตมันคืออะไร
-
แต่ว่านี่ ดู
-
ถ้าลิมิตมีค่า ฉันจะสามารถหาค่าอนุพันธุ์ของแต่ละ
-
ฟังก์ชั่นพวกนี้ได้ แล้วก็พยายามที่จะหาค่าลิมิต
-
และถ้าฉันได้ค่าเป็นตัวเลข ถ้ามีมีค่า มันก็จะ
-
เป็นลิมิตเดียวกัน
-
นี่เป็นเหตุการณืที่เมื่อเราหาลิมิตแล้วเราได้
-
อนันต์/อนันต์ หรือ ลบหรือบวกอนันต์ส่วน
-
ลบหรือบวกอนันต์
-
นี่คือสองรูปแบบของ indeterminate
-
เพื่อที่จะทำให้ชัดเจนขึ้นไปอีก ฉันจะแสดงตัวอย่างให้คุณดู
-
เพราะฉันคิดว่ามันจะทำให้ทุกอย่างชัดเจนขึ้นมาก
-
เอางี้ เรากำลังพยายามหาค่าลิมิต ฉันจะ
-
ทำอันนี้ด้วยสีใหม่ละกัน
-
เอาเป็นสีม่วง
-
ถ้าเราอยากหาค่าลิมิตที่ x เข้าใกล้ 0
-
ของ sin (x) / x
-
ถ้าเราแค่เห็นแล้วพยายามจะหาค่ามันที่ 0 หรือ
-
หาค่าลิมิตที่เข้าใกล้ 0 ของแค่ละฟังก์ชั่น
-
เราก็จะได้อะไรที่หน้าตาเหมือน 0/0
-
sin(0) = 0
-
หรือก็คือ ลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 0 ของ sin(x) ก็คือ 0
-
และก็ชัดเจนว่า ค่า x เมื่อ x เข้าใกล้ 0 ก็
-
จะเป็น 0 ด้วยเหมือนกัน
-
นี่ก็คือรูปแบบ indeterminate ของเรา
-
และถ้าพวกคุณอยากจะลองคิดดู นี่ก็คือ f(x) ของเรา
-
f(x) ในนี้ก็คือ sin (x)
-
และ g(x) ค่า g(x) สำหรับ
-
เคสแรกนี้ ก็คือ x
-
g(x) มีค่าเท่ากับ x และ f(x) มีค่าเท่ากับ sin (x)
-
และสังเกตดู เราก็จะรู้ว่านี่มันผ่าน
-
สองข้อจำกัดแรกอย่างแน่นอน
-
ลิมิตของ x เข้าใกล้ c ซึ่งในกรณีนี้เท่ากับ 0
-
ลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 0 ของ sin(x) เท่ากับ 0 และ
-
ลิมิตของ x เท่าใกล้ 0 ของ x ก็เท่ากับ 0
-
ดังนั้นเราก็จะได้รูปแบบ indeterminate ของเรา
-
มาดูกัน ว่าอย่างน้อยๆลิมิตนี้มีค่าหรือเปล่า
-
ถ้าเราหาอนุพันธุ์ของ f(x) และก็ใส่มันไว้เหนือ
-
อนุพันธุ์ของ g(x) และก็หาลิมิตเข้าใกล้ 0
-
ซึ่งในกรณีนี้ ก็คือค่า c ของเรา
-
มาดูซิว่าลิมิตมีค่าไหม
-
ฉันจะทำอันนี้ด้วยสีฟ้า
-
ฉันจะเขียนค่าอนุพันธุ์ของสองฟังก์ชั่นนี้
-
f'(x)
-
ถ้า f(x) = sin(x) อะไรคือ f'(x)?
-
ก็แค่ cos(x)
-
คุณก็เรียนมาหลายรอบแล้วแหละ
-
และถ้า g(x) = x อะไรคือ g'(x)?
-
สุดแสนจะง่าย
-
ค่าอนุพันธุ์ของ x ก็คือ 1
-
มาลองหาค่าลิมิตของ x เข้าใกล้ 0 ของ f'(x)
-
หาร g'(x) ค่าอนุพันธุ์
-
มันจะเป็นค่าลิมิตของ x เข้าใกล้ 0
-
ของ cos(x)/1
-
ฉันเขียนเลข 1 แปลกๆเล็กน้อย
-
แล้วก็ค่อนข้างจะตรงไปตรงมา
-
มันจะเป็นค่าอะไร
-
ก็ เมื่อ x เข้าใกล้ 0 ของ cos(x)
-
มันก็จะเท่ากับ 1
-
และก็ชัดเจนว่า ลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 0 ของ 1
-
มันจะเท่ากับ 1 ด้วยเหมือนกัน
-
ดังนั้น ในสถานการณ์นี้ เราก็จะเป็นแค่ลิมิต
-
เมื่อ x เข้าใกล้ค่า c ของเรา ในที่นี้ เท่ากับ 0
-
เมื่อ x เข้าใกล้ 0 ของ f'(x)/g'(x)
-
เท่ากับ 1
-
ลิมิตมีค่า และเท่ากับ 1 ดังนั้น เราผ่าน
-
เงื่อนไขทั้งหมด
-
และนี่คือกรณีที่เราต้องรับมือรับ
-
ลิมิตเป็น x เข้าใกล้ 0 ของ sin(x) มีค่าเท่ากับ 0
-
ลิมิตของ x เข้าใกล้ 0 ของ x ก็มีค่าเท่ากับ 0
-
ลิมิตของอนุพันธุ์ของ sin(x) หารด้วย
-
อนุพันธุ์ของ x ก็คือ cos(x)/1 เราพบว่า
-
มันก็มีค่าเท่ากับ 1
-
เราผ่านเงื่อนไขต่างๆทั้งหมด ดังนั้นตอนนี้เราก็รู้
-
นี่มันจะต้องเป็นกรณีนี้แน่ๆ
-
ที่ลิมิตของ x เข้าใกล้ 0 ของ sin(x)/x
-
ต้องเท่ากับ 1
-
มันจะต้องเป็นลิมิตเดียวกันกับค่าที่ได้จาก
-
การหาอนุพันธุ์ของ f(x) และของ g(x)
-
ฉันจะทำตัวอย่างเพิ่มเติมให้ดูในวิดิโอหน้าและฉันคิดว่า
-
มันจะทำให้ทุกอย่างเป็นชิ้นเป็นอันขึ้น
