-
Wat we vaak als eerste doen als we calculus leren
-
is limieten gebruiken.
-
Limieten worden ingezet om afgeleiden van functies te berekenen.
-
De definitie van de afgeleide maakt zelfs gebruik
-
van het begrip limiet.
-
De afgeleide in een punt is de helling rond dat punt van de limiet
-
van punten die steeds dichter bij het gevraagde punt liggen.
-
En dat hebben jullie al vele, vele, vele malen gezien.
-
In deze video gaan we dit in de
-
omgekeerde richting doen.
-
We gaan afgeleiden gebruiken om limieten te berekenen.
-
En meer specifiek, berekeningen van limieten die eindigen in een ongedefinieerde staat.
-
En met ongedefinieerde staat bedoel ik dat als we de limiet gewoon
-
invullen in de functie zoals hij is, we eindigen met iets als 0 gedeeld door 0, of
-
oneindig gedeeld door oneindig, of min oneindig gedeeld door
-
oneindig, of misschien min oneindig gedeeld door min
-
oneindig, of plus oneindig gedeeld door min oneindig.
-
Dit zijn allemaal ongedefinieerde staten.
-
En om die limieten te berekenen gaan we de wet van l'Hopital gebruiken.
-
In deze video ga ik slechts laten zien hoe
-
wet van l'Hopital eruit ziet en hoe je deze toe moet passen, omdat het redelijk
-
eenvoudig is, en het gewoon een erg nuttig tool is.
-
In wiskunde wedstrijden
-
vragen ze je soms om een moeilijke limiet te berekenen, die eindigt
-
in de ongedefinieerde toestand als je gewoon de getallen invult.
-
Meestal zijn ze dan aan het testen of je de wet van l'Hopital kent.
-
In een latere video zal ik deze wet misschien bewijzen, maar
-
dat wordt iets ingewikkelder.
-
Het gebruik is eigenlijk vrij eenvoudig.
-
Wat de wet van l'Hopital ons vertelt is ... - en ik doe dit eerst
-
op een abstracte manier, maar ik denk dat het met een
-
voorbeeld helemaal duidelijk wordt -
-
...dat als de limiet voor x naar c van functie f(x) gelijk is aan 0, en
-
als de limiet voor x naar c van functie g(x) gelijk is aan 0, en
-
(en dit is nog een en) de limiet voor x naar c van
-
f'(x)/g'(x) bestaat and gelijk aan L is
-
dan - dus aan alledrie de voorgaande condities moet voldaan zijn -
-
Dit is de ongedefinieerde staat 0/0, dus dit
-
is het eerste geval.
-
Dan kunnen we zeggen dat de limiet voor x naar c van
-
van f(x)/g(x) ook gelijk aan L is.
-
Dit kan er nu misschien een beetje raar uitzien, en
-
ik ga nu het andere geval laten zien, en dan
-
laat ik een voorbeeld zien.
-
We zullen verschillende voorbeelden laten zien en die voorbeelden
-
maken het allemaal duidelijk.
-
Dus dit is het eerste geval en het voorbeeld dat we zometeen gaan laten zien
-
is eigelijk een voorbeeld van dit geval.
-
Het andere geval is als de limiet voor x naar c van f(x)
-
gelijk is aan plus of min oneindig, en als de
-
limiet voor x naar c van g(x) gelijk is aan plus of
-
min oneindig, en de limiet van
-
het quotient van de beide afgeleiden bestaat, en de limiet
-
voor x naar c van f'(x)/g'(x)
-
gelijk is aan L.
-
Dan kunnen we weer hetzelfde zeggen.
-
Ik zal het even kopiëren.
-
Edit, copy, en nu paste.
-
Dus in elk van deze twee situaties, en om er zeker van te zijn
-
dat jullie begrijpen waar jullie naar kijken, dit is de
-
situatie waar als je slechts probeert de limiet te evalueren
-
hier dan krijg je f(c), en die is gelijk aan 0.
-
Ofwel, de limiet voor x naar c van f(x) gedeeld door de limiet
-
voor x naar c van g(x)
-
Die resulteert in 0/0.
-
En dus zeg je op dat moment: ik weet niet wat de limiet is.
-
Maar deze wet zegt, kijk eens.
-
Als deze limiet bestaat, dan kan ik de afgeleiden van elk
-
van deze functies nemen en dan proberen om de limiet daarvan te vinden.
-
En als ik dan een getal krijg dat bestaat, dan hebben
-
ze dezelfde limiet.
-
En dit is de situatie waarin we oneindig gedeeld door oneindig
-
krijgen als we de limiet berekenen, of min oneindig of plus
-
oneindig gedeeld door plus of min oneindig.
-
Dus dit zijn de twee ongedefinieerde toestanden.
-
En om het allemaal helemaal duidelijk te maken zal ik een voorbeeld laten zien
-
omdat ik denk dat dat het helemaal duidelijk zal maken.
-
Stel dat we de limiet proberen te vinden - ik zal
-
dit in een andere kleur doen.
-
Laat ik een paarse kleur gebruiken.
-
Stel dat we de limiet proberen te vinden voor x naar 0 van
-
sin(x) gedeeld door x.
-
Als we dit berekenen voor 0 of
-
de limiet berekenen als we 0 benaderen in deze functies,
-
dan krijgen we iets dat eruit ziet als 0/0.
-
Sin(0) is gelijk aan 0.
-
Ofwel, de limiet voor x naar 0 van sin(x) is gelijk aan 0.
-
En vanzelfsprekend: als x naar 0 gaat in functie x,
-
dan wordt deze ook gelijk aan 0.
-
Dus dit is onze ongedefinieerde staat.
-
En als je erover nadenkt, dan is dit onze f(x), de
-
f(x) hier is sin(x).
-
En onze g(x), deze g(x) hier in dit
-
eerste geval, is de functie x.
-
g(x) is x en f(x) is sin(x).
-
En merk op dat we zeker weten dat dit aan de
-
eerste twee voorwaarden voldoet.
-
De limiet voor x, en in dit geval is c gelijk aan 0.
-
De limiet voor x naar 0 van sin(x) is gelijk aan 0 en
-
de limiet voor x naar 0 van functie x is ook gelijk aan 0.
-
Dus krijgen we onze ongedefinieerde staat.
-
Dus laten we tenminste even kijken of deze limiet bestaat.
-
Als we de afgeleide van f(x) nemen en we delen deze door
-
de afgeleide van g(x), en we nemen de limiet voor x naar 0.
-
In dit geval is 0 onze c.
-
Laten we kijken of deze limiet bestaat.
-
Dat zal ik in de kleur blauw doen.
-
Ik zal de afgeleiden van de twee functies opschrijven.
-
Dus f'(x).
-
Als f(x) gelijk is aan sin(x), wat is dan de afgeleide?
-
Dat is simpelweg cos(x).
-
Jullie hebben dat al vaak geleerd.
-
En als g(x) gelijk is aan x, wat is dan de afgeleide?
-
Dat is erg gemakkelijk.
-
De afgeleide van functie x is 1.
-
Laten we proberen de limiet te berekenen voor x naar 0 van f'(x)
-
gedeeld door g'(x) - van hun afgeleiden.
-
Dat is de limiet voor x naar 0
-
van cos(x)/1.
-
Ik heb die 1 een beetje raar geschreven.
-
En dit is erg eenvoudig.
-
Wat zal het worden?
-
Als x naar 0 gaat in cos(x), dan wordt
-
deze gelijk aan 1.
-
En uiteraard wordt de limiet voor x naar 0 van 1
-
ook gelijk aan 1.
-
Dus in deze situatie hebben we gezien dat de limiet voor x
-
naar - in dit geval is onze c gelijk aan 0.
-
Als x naar 0 gaat in f'(x)/g'(x)
-
dan wordt deze gelijk aan 1.
-
De limiet bestaat en is gelijk aan 1, dus we hebben voldaan
-
aan alle voorwaarden.
-
Dus dit is het geval waar we mee te maken hebben.
-
Limiet voor x naar 0 van sin(x) is gelijk aan 0.
-
Limiet voor x naar 0 van functie x is ook gelijk aan 0.
-
De limiet van de afgeleide van sin(x) gedeeld door de afgeleide
-
van functie x, dat is cos(x)/1 - en we hebben berekend dat
-
dit gelijk is aan 1.
-
Aan ieder van de bovenste condities is voldaan, dus we weten
-
dat dit het geval moet zijn.
-
Dat de limiet voor x naar 0 van sin(x)/x
-
gelijk moet zijn aan 1.
-
Het moet dezelfde limiet zijn als de waarde hier waar we
-
de afgeleide van f(x) en g(x) hebben genomen.
-
Ik ga meer voorbeelden laten zien in de volgende video's en ik denk
-
dat deze het een stuk concreter zullen maken.
