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Ce que l'on fait surtout au début, lorsque l'on apprend
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les maths, c'est d'utiliser les limites.
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Nous utilisons les limites pour trouver les dérivés de fonctions.
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En réalité, la définition de la dérivée utilise
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la notion de limite.
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C'est la pente autour d'un point quand nous prenons la limite
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de points de plus en plus rapprochés du point en question.
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Et vous avez vu ça d'innombrable fois.
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Dans cette vidéo, nous allons le faire
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en sens inverse.
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Nous allons utiliser les dérivées pour trouver les limites.
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Et en particulier, les limites qui donnent lieu à des formes indéterminées.
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Et quand je dit indéterminée, je veux dire que si nous prenons
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juste la limite tel qu'elle, on se retrouve avec quelque chose comme 0/0, ou
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l'infini / infini ou moins l'infini / infini
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ou peut être moinsl' infini / moins l' infini
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ou plus infini / moins infini.
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Toutes ces formes sont indéterminées.
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Et pour ce faire nous allons utiliser le théorème de l’hôpital.
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Et dans cette vidéo je vais juste vous montrer ce que
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le théorème de l’hôpital dit et comment l'appliquer. C'est assez
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simple, et c'est un outil très utile
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si vous êtes dans une compétition mathématique et
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qu'on vous demande de trouver une limite difficile qui
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après simplification donne quelque chose comme ça.
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Le théorème de l’hôpital est généralement ce que l'on attend de vous.
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Et dans une vidéo à venir je pourrais le démontrer, mais ça devient
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un peu plus compliqué.
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L'application est en fait assez simple.
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Donc, que nous dit le théorème de l'hôpital si on a -- et je vais
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le faire de façon abstraite d'abord, mais je pense que quand je vous montrerai
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l'exemple tout sera clair.
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Donc si la limite quand x tend vers c de f(x) est égale à 0, et
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que la limite quand x tend vers c de g(x) est égale à o, et - et
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ceci est un autre et - et que la limite quand x tend vers c de f prime (x)
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sur g prime (x) existe et est égale à L.
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Alors - donc toutes ces conditions doivent être réunies.
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Ceci est une forme indéterminée de 0/0, donc c'est
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le premier cas.
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Alors nous pouvons dire que la limite quand x tend vers c de
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f(x) sur g(x) est également égale à L.
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Donc ça peut vous sembler un peu étrange pour le moment, et
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je vais écrire l'autre cas, et ensuite
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je donnerai un exemple.
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Nous allons faire plusieurs exemples et les exemples rendrons
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tout ça plus clair.
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C'est le premier cas et l'exemple que nous allons traiter
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sera en fait un exemple de ce cas-ci.
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Maintenant, l'autre cas est si la limite quand x tend vers c de f(x)
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est égale à plus ou moins l'infini, et
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la limite quand x tend vers c de g(x) est égale à plus ou
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moins l'infini, et que la limite - je suppose qu'on peut le dire comme ça -
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du quotient de ces dérivés existe, et que la limite quand x tend vers c
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de f prime (x) sur g prime (x)
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est égale à L.
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Ensuite nous pouvons affirmer la même chose encore une fois.
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laissez moi copier ça.
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Editer, copier, et je le colle.
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Donc dans chacune de ces deux situations, juste pour être
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sûr que vous comprenez ce que vous regardez, ceci est
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la situation où si vous essayez simplement d'évaluer cette limite,
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vous obtiendrez f(c) qui est 0.
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Ou bien la limite quand x tend vers c de f(x) sur la limite
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quand x tend vers c de g(x).
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Ca vous donnera 0/0
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Et donc, vous dites,hé, je ne connais pas cette limite !
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Mais ceci vous dit, et bien, regardez.
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Si cette limite existe, je pourrai prendre la dérivée de chacune
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de ces fonctions et ensuite essayer d'évaluer cette limite.
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Et si j'obtiens un nombre - qui existe - alors ce sera
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la même limite.
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C'est une situations où quand on prend la limite on obtient
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l'infini sur l'infini ou moins l'infini ou plus l'infini
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sur plus ou moins l'infini.
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Donc ceci sont les deux formes indéterminées.
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Et pour que ce soit clair laissez moi vous montrer un exemple.
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Parce que je pense que ça rendra tout ça plus digeste.
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Donc, disons que nous essayons de trouver la limite - je vais
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faire ça dans une nouvelle couleur.
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permettez moi de le faire en violet.
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Disons que nous voulons trouver la limite quand x tend vers
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0 de sin(x)/x
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Donc, si nous essayons juste de l'évaluer en 0 ou
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si nous prenons la limite quand on tend vers 0 dans chacune de ces fonctions,
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nous allons obtenir quelque chose que ressemblera à du 0/0
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( sin(0) = 0 )
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Ou la limite quand x tend vers 0 de sin(x) est 0.
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Et évidemment quand x tend vers 0 de x, c'est également
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0.
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Donc c'est notre forme indéterminée.
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Et si on veut, ça c'est notre f(x),
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ce f(x) juste ici est sin(x).
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et notre g(x), ce g(x) pour cet
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exemple est x.
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g(x)=x et f(x)=sin(x).
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Et rendez-vous compte, et bien, que nous savons pertinemment que ça remplit les
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deux premiers prérequis.
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La limite quand x, dans ce cas, c est 0.
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la limite quand x tend vers 0 de sin(x) est 0, et
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la limite de x tend vers 0 de x est également 0.
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Donc nous avons notre forme indéterminée.
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Donc voyons voir, au moins, si cette limite existe.
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Si nous prenons la dérivée de f(x) et qu'on la met sur la
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dérivée de g(x), et qu'on prend la limite quand x tend vers 0
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dans ce cas, c'est notre c
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voyons si cette limite existe.
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Je le fais en bleu
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Ecrivons les dérivées des deux fonctions.
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donc f prime (x)
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si f(x) est sin(x) que vaut f prime (x) ?
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Et bien, c'est juste cos(x).
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Vous avez vu ça de nombreuses fois.
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Et si g(x)=x, que vaut g prime (x) ?
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trop facile.
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la dérivée de x est juste 1.
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Essayons de prendre la limite quand x tend vers 0 de f prime (x)
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sur g prime (x) - sur leur dérivées.
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donc ce sera la limite quand x tend vers 0
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de cos(x) sur 1
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j'ai écrit ce 1 un peu bizarrement.
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Et c'est assez évident.
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Qu'est ce que ce sera ?
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Et bien, quand x tend vers 0, cos(x)
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vaut 1.
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et bien entendu la limite quand x tend vers 0 de 1
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est égale à 1.
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donc dans cette situations nous avons vu que la limite quand x
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tend vers - le c dans ce cas est 0.
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quand x tend vers 0 de f prime (x) sur g prime (x)
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vaut 1.
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Cette limite existe et est égale à 1. donc nous avons
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réuni toutes les conditions.
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C'est le cas que nous traitons.
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la limite quand x tend vers 0 de sin(x) est égale à 0.
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la limite de x tend vers 0 de x est également égale à 0.
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La limite de dérivée de sin(x) sur la dérivée
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de x, qui est cos(x)/1 - nous avons trouvé 1.
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toutes les conditions écrites plus haut sont réunies, donc nous savons
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que c'est ce cas.
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Donc la limite quand x tend vers 0 de sin(x) / x
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doit être égale à 1.
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Ca doit être la même valeur que cet valeur ci où nous
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prenons la dérivée de f(x) et g(x).
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Je ferai d'autre exemples dans la prochaine vidéo et je pense
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que ce sera beaucoup plus concret.
