-
Suurin osa siitä,
-
mitä teemme, kun alamme opiskella calculusta
-
liittyy raja-arvoihin.
-
Käytämme raja-arvoja
-
kun selvitämme funktioiden derivaattoja.
-
Itse asiassa, derivaatan määritelmä
-
liittyy raja-arvon määritelmään.
-
Se on funktion kulmakerroin pisteessä, kun otamme raja-arvon
-
lähempää ja lähempää kyseistä pistettä.
-
Ja olet nähnyt sen jo moneen kertaan.
-
Tässä videossa teemmekin sen
-
toiseen suuntaan.
-
Aiomme käyttää derivaattaa raja-arvon löytämisessä.
-
Erityisesti raja-arvoissa, jotkä päätyvät määrittelemättömään muotoon.
-
Ja kun sanon määrittelemätön, tarkoitan sitä kun
-
yritämme ottaa raja-arvon ja saamme jotakin tyyliin 0/0 tai
-
ääretön jaettuna äärettömällä, tai miinus ääretön jaettuna
-
äärettömällä, tai ehkä miinus ääretön jaettuna miinus
-
äärettömällä, tai ääretön jaettuna miinus äärettömällä.
-
Kaikki nämä ovat määrittelemättömiä.
-
Ja jotta voimme ratkaista raja-arvon,
-
käytämme l'Hôspitalin sääntöä.
-
Tässä videossa aion näyttää mitä
-
l'Hospitalin sääntö sanoo, ja miten sitä voi käyttää, sillä se on
-
melko suoraviivainen ja itse asiassa todella hyödyllinen apukeino
-
joskus jos olet jonkinlaisessa matematiikka kilpailussa ja
-
sinua pyydetään löytämään vaikea raja-arvo, josta
-
tulee jotain tällaista kun sijoitat luvut siihen.
-
L'Hôspitalin sääntö on tavallisesti se, mistä sinua testataan.
-
Ja jossain tulevassa videossa saatan todistaa sen, mutta
-
se vaatiikin jo vähän syventymistä.
-
L'Hôspitalin säännön käyttäminen on oikeastaan aika suoraviivaista.
-
Eli se, mitä l'Hôstpitalin sääntö kertoo meille on, että jos meillä on --
-
teen tämän yleisessä muodossa ensin, mutta sitten kun näytän
-
esimerkin, kaikki selvenee.
-
Että jos f:n raja-arvo, kun x lähestyy c:tä on yhtä kuin 0, ja
-
jos g:n raja-arvo, kun x lähestyy c:tä on yhtä kuin 0, ja -- ja
-
tämä on toinen 'ja' -- ja jos otetaan raja-arvo f'(x) jaettuna g'(x):llä
-
kun x lähestyy c:tä, ja se on yhtä kuin L.
-
Silloin -- jos siis nämä kaikki ehdot ovat voimassa.
-
Tämä on määrittelemätön muoto 0/0, eli siis
-
tämä on ensimmäinen tapaus.
-
Silloin voimme sanoa, että f(x) yli g(x):n raja-arvo,
-
kun x lähestyy c:tä, on myös yhtä kuin L.
-
Tämä saattaa vaikuttaa vielä hieman kummalliselta,
-
aion myös kirjoittaa toisen tapauksen, ja sitten
-
annan esimerkin.
-
Teemme useita esimerkkejä, ja
-
esimerkit tekevät kaiken selväksi.
-
Eli tämä on ensimmäinen tapaus, ja ensimmäinen esimerkki jonka teemme
-
on esimerkki tästä.
-
Toinen tapaus on, kun f:n raja-arvo, kun x lähestyy c:tä
-
on yhtä kuin positiivinen tai negatiivinen ääretön, ja
-
g:n raja-arvo, kun x lähestyy c:tä on yhtä kuin positiivinen tai
-
negatiivinen ääretön, ja derivaattojen osamäärä on määritelty,
-
ja otamme siis raja-arvon f'(x) jaettuna g'(x):llä
-
kun x lähestyy c:tä
-
ja se on yhtä kuin L.
-
Silloin voimme todeta saman kuin aiemminkin.
-
Kopion sen.
-
Muokkaus, kopionti, ja sitten vielä liitän sen.
-
Eli kummassakin näissä tapauksessa,
-
haluan varmistaa, että ymmärrät mitä me teemme,
-
tämä on siis tilanne, missä jos yrität selvittää tämän raja-arvon tässä,
-
ja saat f(c) = 0, tai siis
-
f:n raja-arvo, kun x lähestyy c:tä jaettuna g:n raja-arvolla
-
kun x lähestyy c:tä.
-
Siitä tulee 0/0.
-
Ja sanot siis, hei, en tiedä mikä tuo raja-arvo on!
-
Mutta tämä kertoo sen, katso.
-
Jos raja-arvo on olemassa, voin ottaa molempien funktioiden derivaatan
-
ja sitten yrittää ratkaista raja-arvon.
-
Ja jos saan luvun, jos se on olemassa, sitten niiden raja-arvo
-
tulee olemaan sama raja-arvo.
-
Tämä on tilanne, missä otamme raja-arvon, ja saamme
-
ääretön jaettuna äärettömällä, tai negatiivinen tai positiivinen ääretön
-
jaettuna positiivisella tai negatiivisella äärettömällä.
-
Eli nämä ovat kaksi määrittelemätöntä muotoa.
-
Ja teen tämän selväksi esimerkin kautta,
-
sillä uskon, että se selkeyttää paljon.
-
Eli, sanotaan vaikka, että yritämme löytää raja-arvon --
-
teen tämän uudella värillä.
-
Teen sen lilalla.
-
Sanotaan, että haluamme löytää raja-arvon funktiolle sin(x)/x
-
kun x lähestyy nollaa.
-
Nyt, jos me vain katsomme tätä, tai yritämme löytää sen pisteessä 0, tai
-
yritämme ottaa raja-arvon kun lähestymme nollaa kummassakin näistä yhtälöistä,
-
saamme 0/0.
-
Sin(0) = 0.
-
Tai sin(x):n raja-arvo, kun x lähestyy nollaa, on 0.
-
Ja selvästi, x:n raja-arvo, kun x lähestyy nollaa,
-
se on myös 0.
-
Eli tämä on määrittelemätön muoto.
-
Ja jos haluat miettiä sitä, tämä on on meidän f(x), tuo
-
f(x) tuossa on sin(x).
-
Ja meidän g(x), tuo g(x) tuossa tälle ensimmäiselle tapaukselle,
-
on x.
-
g(x) on yhtä kuin x ja f(x) on yhtä kuin sin(x).
-
Ja huomaa, tiedämme varmasti, että
-
kaksi ensimmäistä ehtoa pätevät.
-
sin(x):n raja-arvo, x lähestyy, tässä tapauksessa c on 0.
-
sin(x):n raja-arvo, kun x lähestyy nollaa on 0 ja
-
x:n raja-arvo, kun x lähestyy nolla on 0.
-
Eli saamme määrittelemättömän muodon.
-
Eli katsotaanpa onko tämä raja-arvo edes määritelty.
-
Jos otamme f(x):n derivaatan ja jaamme sen
-
g(x):n derivaatalla, ja otamme raja-arvon kun x lähestyy nollaa,
-
tässä tapauksessa se on c:mme.
-
Katsotaan onko tämä raja-arvo määritelty.
-
Teen sen sinisellä.
-
Eli kirjoitan molempien funktioiden derivaatat.
-
f'(x)
-
jos f(x) on sin(x), mitä on f'(x)?
-
No, se on yksinkertaisesti cos(x).
-
Olet oppinut sen monta kertaa.
-
Ja jos g(x) on x, mikä on g'(x)?
-
Se on todella helppo.
-
x:n derivaatta on yksinkertaisesti 1.
-
Yritetään löytää raja-arvo f'(x) jaettuna g'(x):llä
-
kun x lähestyy nollaa.
-
Eli se tulee olemaan raja-arvo cos(x) jaettuna 1:llä,
-
kun x lähestyy nollaa.
-
Kirjoitin 1:n hieman oudosti.
-
Ja tämä on melko suoraviivaista.
-
Mitä siitä tulee?
-
No, kun x lähestyy nollaa,
-
cos(x) on yhtä kuin 1.
-
Ja selvästi, 1:n raja-arvo, kun x lähestyy nollaa,
-
se on myös yhtä kuin 1.
-
Eli tässä tapauksessa f'(x) jaettuna g'(g)
-
kun x lähestyy -- meidän tapauksessamme c on 0 --
-
kun x lähestyy nollaa,
-
on yhtä kuin 1.
-
Raja-arvo on olemassa ja se on yhtä kuin 1, eli
-
kaikki ehdot pätevät.
-
Tämä on se tapaus mitä käsittelemme.
-
sin(x):n raja-arvo, kun x lähestyy nollaa, on yhtä kuin 0.
-
x:n raja-arvo, kun x lähestyy nollaa, on myöskin yhtä kuin 0.
-
Raja-arvo sin(x):n derivaatta jaettuna
-
x:n derivaatalla, mikä on cos(x) yli 1:n -- selvitimme,
-
että tämä on yhtä kuin 1.
-
Kaikki ehdot toteutuvat, joten tiedämme nyt
-
että näin on oltava.
-
Että sin(x) yli x:n raja-arvo, kun x lähestyy nollaa,
-
on yhtä kuin 1.
-
Sen on oltava sama raja-arvo kuin tämä arvo tässä, missä
-
me otamme f(x):n ja g(x):n derivaatat.
-
Annan lisää esimerkkejä seuraavissa videoissa ja
-
uskon että tästä tulee
-
paljon konkreettisempaa.
