Einführung in die Regel von l`Hopital

Einführung in die Regel von l`Hopital

Einführung in die Regel von l`Hopital

Das Meiste, was wir vorher getan haben, als wir zuerst etwas über

Infintesimalrechnung gelernt hatten, das war der Gebrauch des Limes

Wir gebrauchen den Limes, um herauszufinden, wie die Ableitung der Funktion ist.

Tatsächlich, benutzt die Definition der Ableitung

die Idee des Grenzwertes.

Das ist eine Annäherung um ein bestimmten Punkt, wenn wir den Grenzwert

von Punkten festlegen, die dem besagten Punkt im näher und näher sind.

Und ihr habt dies viele viele Male zuvor schon gesehen.

In diesem Video werden wir die in

der umgekehrten Richtung machen

Wir werden Ableitung, um den Grenzwert zu bestimmen.

Insbesondere, Grenzwerte, die in unbestimmter Ausdruck.

Und wenn ich in unbestimmtem Ausdruck sage, meine ich,

wenn wir den Grenzwert annehmen, wie er ist, dann ergibt das etwas ähnlich wie der Quotient 0/0, oder

Unendlich über Unendlich, oder negativ Unendlich über

Unendlich oder vielleicht, negativ Unendlich über negativ

Unendlich, oder positiv Unendlich über negativ Unendlich

Diese sind alle unbestimmte, indefinite Formen

Und um dies zu lösen, werden wir die L´Hopital Regel anwenden.

Und in diesem Video werde ich Euch zeigen,

was die l`Hopital Regel besagt und wie diese anzuwenden ist, weil dies

manchmal, wenn ihr in einem Mathematik-Wettbewerb seid und

sie Euch fragen, einen komplizierten Grenzwert zu finden, dass

wenn Ihr die Zahlen einsetzt, ihr so etwas ähnliches wie dies erhalten werdet.

L´Hopital Regel ist normalerweise etwas, worin ihr getestet werdet.

Und in einem zukünftigen Video, werde ich es vielleicht beweisen, aber

wenn wir tiefer in der Materie sind.

Die Anwendung ist eigentlich ziemlich einfach.

So, was us die L´Hopital Regel besagt, ist dass wir ...

und ich werde das in einer abstrakten From zuerst darstellen, aber ich denke, wenn ich Euch

das Beispiel zeige, wird alles klarer

Das, wenn Limes - während sich x der Funktion c von f von x annähert - gleich 0 wäre und

der Limes während sich x annähert an c von g von x gleich 0 wäre, und - und - und dies ein weiteres und

dies ist ein anderes - und der Grenzwert während sich x an c der Limes während sich x an sich an c von der ersten Ableitung von f`von x

über die erste Ableitung von g von x existiert und es L ergibt.

dann sind das alle Kriterien, die eingehalten werden müssen.

Dies ist die unbestimmte form von o/o, so dies

ist der erst Fall.

Dann können wir sagen, dass der Limes während x sich an c

von f von x über g von x annähert es L sein wird.

So dies mag ein bisschen bizarr jetzt auf euch wirken, und

Ich werde einfach einen anderen Fall aufschreiben, und dann

werde ich ein Beispiel geben.

Wir werden eine Vielzahl von Beispielen bringen und die Beispiele werden

dies verständlich machen.

So dies ist der erste Fall, und das Beispiel, das wir gleich

machen werden, wird tatsächlich genau ein Beispiel für diesen Fall sein.

Nun der andere Fall ist, wenn Limes, während x sich c von f

von x nähert, dann gleich positiv oder negativ unendlich sein.

und Limes gerade wenn x sich c von g von x nähert, gleich

positiv oder negativ unendlich sein. Und ich glaube ihr könntet sagen,

Und der Limes von dem Quotienten von den Ableitungen existiert

und indem x , sich c von der ersten Ableitung von f über x über der Ableitung g über x nähert

dass der Limes gleich L ist.

Dann können wir den gleichen Ausdruck nochmals wiederholen.

Lasst mich das hier gerade kopieren.

Bearbeiten, kopieren und lasst mich es hier einsetzen.

So es sind entweder einer dieser beiden Situationen - dies nur um sozusagen

klarzustellen, dass ihr versteht auf was ihr schauen sollt -

das ist die Situation, wenn ihr gerade versucht, diesen Limes

gleich hier zu bestimmen, dann erhaltet ihr f von c, was gleich 0 ist.

Oder Limes, wenn x sich c von f von x über dem Limes,

wo x sich c von g von x nähert.

Das ergibt 0/0.

Und ihr sagt, heh, ich weiß nicht was der Grenzwert ist?

Aber das besagt, nun, schaut.

Wenn dieser Grenzwert besteht, dann können wir die Ableitung von

jeder einzelnen Funktion bilden und diese versuchen den Limes zu bestimmen.

Und wenn ich eine Zahl erhalte, wenn das bestehen, dann

wird es der selbe Limes sein.

Dies ist eine Situation, wo wenn wir den Grenzwert nehmen

erhalten wir unendlich über unendlich oder negative unendlich oder positiv unendlich

über positiv oder negative unendlich.

So dies sind zwei unbestimmte Formen

Und um dies alles klar zu machen, lasst mich euch ein Beispiel geben,

weil ich denken, dass dies die Dinge viel anschaulicher macht.

So lasst uns sagen, dass wir versuchen den Limes-

ich werde das in einer neuen Farbe machen.

Lasst mich dies in einer violetten Farbe zeigen.

Lasst uns sagen, wir wollen den Grenzwert bestimmen, sobald x

sich 0 von Sinus von x über x nähert.

Nun wenn wir uns nur dies ansehen, wenn wir nur versuchen bei 0 zu bestimmen oder

wenn wir den Grenzwert nehmen, sobald wir uns der 0 in jedem dieser Funktionen nähern

dann erhalten wir etwas, das so ähnlich aussieht wie der Quotient 0/0.

Der Sinus von 0 ist 0.

Oder sobald sich x der 0 von sinus von x nähert, dann ist der Limes 0.

Und selbstverständlich, wenn x sich 0 von x annähert, dann

wird auch 0 sein.

So dies ist unsere unbestimmte Form

Und wenn ihr darüber nachdenken möchten, dies ist f von x,

das f von x genau dort gleich dem Sinus von x ist.

Und unser g von x, dies ist g von x genau dort für diesen

ersten Fall, ist es das x.

g von x ist gleich x und f von x ist gleich der Sinus von x.

Und beachtet, nun, wir wissen definitive, dieses die

ersten beiden Einschränkungen einhält.

Der Grenzwert als x, und in diesem Fall, ist c gleich 0.

Sobald sich x der 0 von Sinus von Sinus von x nähert ist der Limes 0,

und der Grenzwert ist ebenfalls 0, wenn x sich der 0 von x nähert.

So wir erhalten unsere unbestimmte Form.

So lasst uns zumindest sehen, ob dieser Grenzwert eigentlich existiert.

Wenn wir die Ableitung von f von x nehmen und wir das über die

Ableitung von g von x stellen, und nehmen wir den Limes, wenn x sich der 0 nähert

in diesem Fall, ist das unser c

Lasst uns einmal schauen ob dieser Grenzwert existiert.

So ich werde dies in Blau darstellen.

Lasst mich die Ableitungen dieser beiden Funktionen niederschreiben.

So die erste Ableitung von x.

wenn f von x gleich sinus von x ist, was ist die erste Ableitung von x.

Nun, es ist einfach cosinus von x.

Das habt ihr mehrmals gelernt.

Und wenn g von x gleich x ist, was ist die erste Ableitung von g von x?

Das ist super einfach.

Die Ableitung von x ist lediglich 1.

Lasst uns versuchen, den Grenzwert zu nehmen, sobald sich x der 0 von der ersten Ableitung von x

über der ersten Ableitung von x nähert - über ihre Ableitungen.

So das wird der Grenzwert sein, sobald sich x der 0 von

Cosinus von x über 1 nähert.

I habe diese 1 ein wenig seltsam geschrieben.

Das ist ziemlich unkompliziert.

Was wird das sein?

Nun, indem sich x der 0 von cosinus von x nähert, dann wird

es gleich 1 sein.

Und offensichtlich, wird der Limes sobald sich x an der 0 von 1 nähert,

gleich 1 sein.

So in dieser Situation, haben wir gerade gesehen, das der Limes, sobald sich x

annähert --- an das c, in diesem Fall 0 ist.

Und sobald x sich der 0 von der Ableitung von f von x über der Ableitung von g von x nähert

dann ist der Limes gleich 1.

Dieser Grenzwert existiert und ist gleich 1, so haben wir

alle Bedingungen eingehalten.

Dies ist der Fall, mit dem wir uns beschäftigen werden.

Der Grenzwert ist, sobald x sich 0 von Sinus von x nähert gleich 0.

Der Limes ist, sobald sich z der 0 von x nähert, gleichfalls 0.

Der Grenzwert von der Ableitung von Sinus von x über der Ableitung

von x, welches Cosinus von x über 1 ist - haben wir festgestellt,

dass dies gleich 1 ist.

Und all diese oben aufgeführten Bedingungen wurden eingehalten, so dann wissen wir,

dass dies der Fall sein muss.

Dass dann, sobald x sich 0 von Sinus von x über x nähert,

der Limes gleich 1 sein muss.

Es muss der selbe Grenzwert sein wie dieser Wert genau hier, wo wir

die Ableitung von f von x und von dem g von x gebildet hatten.

Ich werde mehr Beispiele in den nächsten paar videos geben und ich denke

das dies es deutlich konkreter macht.