-
První věc, co se učíme při seznámení
s matematickou analýzou, je použití limit.
-
Používáme limity k výpočtu
derivací funkcí.
-
Ve skutečnosti definice
derivace používá pojem limita.
-
Derivací získáme sklon tečny v bodě,
-
který vznikl limitním
zmenšováním vzdálenosti bodů.
-
To jste již viděli mnohokrát.
-
V tomto videu si to
ukážeme v opačném směru.
-
Využijeme derivace k výpočtu limit.
-
Zejména k výpočtu
limit v neurčitém tvaru.
-
Neurčitým tvarem myslím, že
když vezmu limitu tak, jak je
-
a vyjde nám 0 děleno 0, nebo
plus nekonečno děleno plus nekonečnem,
-
nebo minus nekonečno
děleno plus nekonečno,
-
nebo minus nekonečno
děleno minus nekonečno,
-
nebo plus nekonečno
děleno minus nekonečnem.
-
Všechny jsou neurčité a nedefinované.
-
K výpočtu takovýchto limit
použijeme l'Hospitalovo pravidlo.
-
V tomto videu vám pouze ukáži,
co nám l'Hospitalovo pravidlo říká
-
a jak jej můžeme využít, protože
je velmi přímočaré a užitečné.
-
Až budete na nějaké
matematické soutěži
-
a zeptají se vás na řešení složité
limity, do které když dosadíte čísla,
-
vyjde vám nějaký takovýto neurčitý výraz,
pak vás testují na l'Hospitalovo pravidlo.
-
V budoucím videu si ho i dokážeme,
ale to je trochu víc komplikované.
-
Aplikace je ve skutečnosti
velmi přímočará.
-
Co nám tedy l'Hospitalovo
pravidlo říká?
-
Nejdřív vám to ukáži obecně,
ale až vám ukáži příklad,
-
bude vám to hned jasné.
-
Nechť se limita ,x' blížící
se k ,c' z f(x) rovná 0
-
a limita ,x' blížící
se k ,c' z g(x) se rovná také 0
-
a limita ,x' se blíží k ,c' z derivace
f(x) děleno derivace g(x) existuje
-
a je rovna nějakému číslu L.
-
Všechny tyto podmínky platí.
-
Máme zde nedefinovaná tvar 0 děleno 0,
takže zde máme první případ.
-
Pak můžeme říct,
-
že limita ,x' blížící se k ,c' z f(x)
děleno g(x) se bude také rovnat L.
-
Tohle vám může
připadat trochu bizarní.
-
Nyní vám napíši druhý případ
a pak si ukážeme příklad.
-
Tedy spíš několik příkladů
a ty vám vše ujasní.
-
Toto je první případ
a příklad, který si ukážeme,
-
ve skutečnosti bude spojen
s tímhle případem.
-
Další případem je,
-
když je limita ,x' blížící se k ,c' z f(x)
rovna plus nekonečno nebo minus nekonečno
-
a limita x blížící se c z g(x) je rovna
plus nekonečno nebo minus nekonečno.
-
A zároveň můžu říct,
že podíl derivací existuje
-
a limita ,x' blížící se k ,c' z derivace
f(x) děleno derivace g(x) se rovná L.
-
Můžeme říct stejné prohlášení.
-
Nechte mě to zkopírovat.
-
Editovat, kopírovat a vložit.
-
Ujistěte se v těchto případech,
že víte, o čem je řeč.
-
Pokud v tomto případě zkusíte vypočítat
limitu, po dosazení ,c' do f dostaneme 0.
-
Nebo-li limita ,x' blížící se k ,c' z f(x)
děleno limita ,x' blížící se k ,c' z g(x)…
-
Vyjde vám 0 děleno 0.
-
My ale nevíme,
kolik je ta limita.
-
Ale tohle nám to říká.
-
Pokud limity existují, mohu vzít derivace
jejich funkcí a vypočítat jejich limitu.
-
Pokud dostanu číslo,
pak mají stejnou limitu.
-
Toto je situace, kde, pokud vezmeme limitu,
dostaneme nekonečno děleno nekonečnem,
-
nebo minus nekonečno
děleno plus nekonečnem,
-
nebo minus nekonečno
děleno minus nekonečnem.
-
Máme druhý nedefinovaný výraz.
-
Abych vám vše objasnil,
dovolte mi udělat příklad,
-
protože si myslím,
že mnoho věcí objasní.
-
Řekněme, že se
snažíme najít limitu.
-
Použiji novou barvu.
-
Dovolte mi to napsat
purpurovou barvou.
-
Řekněme, že chceme najít limitu
,x' blížící se k 0 ze sin(x) děleno x.
-
Vidíme, že pokud dosadíme 0 nebo
limitu pošleme do 0 v obou funkcích,
-
dostaneme něco
ve smyslu 0 děleno 0.
-
Sinus 0 je 0.
-
Nebo limita ,x' blížící
se 0 ze sin(x) je 0.
-
Samozřejmě, když se
,x' blíží 0 z ,x', pak to bude také 0.
-
To je náš nedefinovaný výraz.
-
Pokud nad tím chcete
přemýšlet, sin(x) je naše f(x)
-
a naše g(x) je zde x.
-
g(x) se rovná x a f(x) se rovná sin(x).
-
Všimněte si, že to splňuje
první dvě podmínky.
-
Limita ,x' blížící se k 0,
v tomto případě ,c' je 0,
-
ze sin(x) je 0, sin(0) je 0,
-
a limita ,x' blížící se k 0
z x je také rovna 0.
-
Dostali jsme nedefinovaný výraz.
-
Podívejme se, zda-li
tyto limity vůbec existují.
-
Máme tedy podíl derivací funkcí
f(x) a g(x) a limita podílu jde do 0.
-
Tedy v tomto případě je 0 naše ,c'.
-
Podívejme se, zda limity existují.
-
Budu psát modře.
-
Napíšeme derivace
našich dvou funkcí.
-
Pokud f(x) je sin(x),
jaká je derivace f(x)?
-
No přeci cos(x).
-
Učili jste se to již mnohokrát.
-
Pokud g(x) je x,
čemu je rovna derivace g(x)?
-
To je jednoduché.
-
Derivace x je 1.
-
Limita ,x' blížící se k 0 z
derivace f(x) děleno derivace g(x).
-
To bude limita ,x' blížící se
k 0 z cos(x) děleno 1.
-
Napsal jsem tu
jedničku trochu zvláštně.
-
Nyní je to velmi přímočaré.
-
Kolik to může být?
-
Pokud x je 0, pak
cos(x) bude roven 1.
-
Samozřejmě limita ,x' blížící
se k 0 z 1 bude též rovna 1.
-
V této situaci vidíme, že limita ,x'
blížící se k ,c', v tomto případě 0,
-
tedy ,x' blížící se k 0 z derivace f(x)
děleno derivace g(x) je rovna 1.
-
Limita existuje a je rovna 1,
splnili jsme tedy všechny podmínky.
-
Toto je příklad, který jsme počítali.
-
Limita ,x' blížící se k 0
ze sin(x) je rovna 0.
-
Limita ,x' blížící se k 0
z x je rovna 0.
-
Limita podílu derivace sin(x)
a derivace x je podíl cos(x) a 1.
-
Zjistili jsme, že je rovna 1.
-
Všechny podmínky nahoře jsou splněny,
proto víme, že toto musí být případ,
-
kde limita ,x' blížící se k 0
ze sin(x) děleno x je rovna 1.
-
Musí mít stejnou limitu
jako jsme vypočítali zde,
-
derivace f(x) a g(x).
-
V následujících videích
jsou další příklady,
-
podívejte se na ně
a bude vše ještě jasnější.
