Увод към правилото на Лопитал

Увод към правилото на Лопитал

-

Нещо, на което се научаваме веднага, щом навлезем във висшата

математика, и да използваме граници

Използваме граници, за да намираме производни на функции

-

Всъщност, определението на производна

включка идеята за граница

Наклонът около точка, като вземем границата

на точки все по-близо до въпросната точка

Това сме го виждали много пъти

В този клип, ще направим това в

обратната посока

Ще използваме производни, за да намерим граници

И по-точно, границите, които водят до неопределена форма

Като говоря за неопределена форма, искам да кажа, че когато

вземем границата такава, каквато е, получаваме нещо като 0/0

или безкрайност върху безкрайност, или отрицателна безкрайност

върхъ безкрайност, или може би отрицателна безкрайност върху отрицателна безкрайност,

или положителна безкрайност върху отрицателна безкрайност

Всички тези са неопределени, недефинирани форми

За да направим това, ще използваме правилото на Лопитал

-

В този клип просто ще ви покажа какво гласи

правилото на Лопитал и как можете да го прилагате, защото

това е простичко правило и всъщност е много полезно

Например, ако сте на математическо състезание и

от вас се иска да немерите някоя сложна граница

Обикновено, това, което се очаква от вас с такива

случаи е да използвате правилото на Лопитал

Мига да ви го докажа в отделен клип, но

това вече е малко по-сложно

А приложението е доста простичко

Първо ще ви разкажа за правилото на Лоспитал и

мисля, че всичко ще ви стане ясно когато

ви дам пример

Ако границата когато x се приближава до c от f от x е равна на 0

и границата когато x се приближава до c от g от x е равна на 0,

и границата когато x се приближава от c от f прим

от x върху g прим он x съществува и е равна на L,

тогава – значи всички тези условия трябва да са изпълнени

Това е неопределената форма 0/0, значи това е

първият случай

Значи, можем да кажем, че границата когато x се приближава до c

от f от x върху g ор x също ще бъде равна на L

Това може все още да ви изглежда малко странно

Сега ще запиша другия случай и

след това ще ви дам пример

Ще дам няколко примера и те

ще направят всичко това ясно

Значи, това е първият случай и примера, който ще дам,

всъщност ще е пример от този случай

Другият случай е ако границата когато x се приближава до c от f от

x е равно на положителна или отрицателна безкрайност

и границата когато x се приближава до c от g от x е равно на положителна или

отрицателна безкрайност и границата на, да кажем,

коефициента на производните съществува, и границата когато x

се приближава до c от f прим от x върху g прим от x

е равно на L

Тогава можем да направим същото твърдение

Нека просто копирам това

'редактирай,' 'копирай' и сега нека поставя

В тези две ситуации, искам да съм сигурен че разбирате

това, което гледате, това е ситуацията, в тояко

ако се опитате да пресметнете тази граница тук,

ще получите f от c, което е 0

Или, границата когато x се приближава до c от f от x върху границата

когато x се приближава до с от g от x

Това ще ви даде 0/0

И ще си кажете, но аз не знам каква е тази граница

Но вижте какво ни казва това

Ако съществува такава граница, мога да взема производните

на тези функции и да я пресметна

И ако получа някакво число, ако съществува такова,

значи те ще имат една и съща граница

А това е ситуация, където като вземем границата, получаваме

безкрайност върху безкрайност, или отрицателна или положителна

безкрайност върху положителна или отрицателна безкрайност

Това са ни две неопределени форми

И сега нека ви покажа един пример, защото

мисля, че това доста ще изясни нещата

Ще взема нов цвят

пурплиш цолор.

Нека бъде това лилаво

Да кажем, че искам да намеря границата когато x се

приближава до 0 от синус от x върху x

Сега, ако просто разгледаме това и ако се опитаме да го пресметнем за 0

или вземем границата когато се приближаваме към 0 в тези функции

ще получим нещо подобно на 0/0

Синус на 0 е 0

Или, границата когато x се приближава до 0 от синус от x е 0.

И очевидно, когато x се приближава до 0 от x, това също

ще бъде 0

Значи, това ни е неопределената форма

И ако искате да си го представите по-добре, това ни е f от x,

това f от x тук ни е синус от x

И g от x тук, в първия случай,

ни е x

g от x е равно на x и f от x е равно на синус от x

И забелязваме, че това определено отговаря

на първите две ограничения

и в този случай, c е 0

Границата когато x се приближава до 0 от синус от синус от x е 0

и границата когато x се приближава до 0 от x също е равна на 0

Ето я неопределената ни форма

Накрая, да видим дали такава граница изобщо съществува

Ако вземем производната на f от x и разделим на

производната от g от x и вземем границата когато x се приближава до 0,

в този случай, това ни е c...

Да видим дали такава граница съществува

Ще направя това със синьо

Нека напиша производните на двете функции

Значи, f прим от x

Ако f от x е синус от x, какво ни е f прим от x ?

Ами, това е просто косинус от x

Това сте го учили много пъти

И ако g от x е x, какво е г прим от x ?

Това е много лесно

Производната от x е просто 1

Нека опитаме да вземем границата когато x се приближава до 0 от f прим от x

върху g прим от x– върху техните производни

Значи, това ще бъде границата когато x се приближава до 0

от косинус от x върху 1

Това '1' го направих много странно

И това е доста просто

Какво ще ни е това ?

Ами ; когато x се приближава до 0 от косинус от xь, това ще

бъде равно на 1

И, очевидно, границата когато x се приближава до 0 от 1

също ше бъде равно на 1

Значи, в тази ситуация, току що видяхме, че границата

(c ни е 0 тук) когато x се приближава

до 0 от f прим от x върху

g прим от x е равно на 1

Рази граница съществува и е равна на 1, значи сме

отговорили на всички условия

Това е случая, с който работим

Границата когато x се приближава до 0 от синус от x е равна на 0

Границата когато z се приближава до 0 от x също е равна на 0

Границата на производната на синус от x върху производната

на x, която е косинус от x върху 1 – намерихме

че е равна на 1

Зсички тези условия са изпълнени, така че знаем,

че това е вярно – че границата когато

x се приближава до 0 от синус от x върху x

трябва да е равна на 1

Трябва да бъде същата граница като тази стойност тук, когато

вземем производната на f от x и на g от x

Ще видим още примери в следващите няколко клипа и мисля,

-

-